四升五第三单元对策问题.docx
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四升五第三单元对策问题
四升五第三单元对策问题
引入:
你会抢15吗?
【教学目标】
1、初步体会对策论方法在解决实际问题中的应用
2、通过具体的问题情景体会到解决问题策略的多样性,学会用逆推法、分组法、对称法解决问题。
形成寻找解决问题最优方案的意识。
3、进一步提高应用意识和解决实际问题的能力。
学会从简单问题中寻找规律。
例1、从前,有一个农夫。
他带着一只狼、一只山羊和一些白菜过河,由于船太小,每次只能运一种东西,假如先把白菜运过河,剩下狼和山羊,山羊就会被狼吃掉。
假如先把狼运过河,山羊就会把白菜吃掉。
同学们,请你帮助农夫想一想该怎样过这条河呢?
方法一:
(1)先把山羊送过河;
(2)空手回来,再把狼带过去,返回时把山羊带回;
(3)把白菜带过去,空手回来;
(4)再把山羊带过去。
方法二:
(1)先把山羊送过河;
(2)空手回来,再把白菜带过去,返回时把山羊带回;
(3)把狼带过去;
(4)再回来把山羊带过去。
例2.一堆火柴有20根,两个人轮流从中拿走1根、2根或3根,谁取走最后一根火柴棒,谁就获胜。
问:
谁一定能获胜?
方法一:
本题我们可以采用“倒推法”分析
获胜方在最后一次取走最后1根;往前倒推,在倒数第二次取时,必须留给对方4根,此时无论对方取1根、2根或3根,获胜方都可以取走最后1根;再往前倒推,获胜方要想留给对方4根,在倒数第三次时必须留给对方8根,……由此可知,获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根,则必胜。
现在这堆火柴有20根,先取的人最多取3根,又不能不取,不能留给后取者4的倍数根,而后取的人每次都能留给先取的人4的倍数根,所以后取者必胜。
方法二:
本题还可以采用“分组法”
游戏规则中每次最少拿1根火柴,最多拿3根火柴,把两个人每人拿一次看作一轮的话,每轮中后拿的人可以控制两个人的和为4根。
20÷4=5。
说明5轮后一定后拿的人赢。
总结;
例3.有一筐苹果,共53个,甲、乙2人轮流从中拿走1或2个苹果,规定谁拿走最后一个苹果,谁获胜。
如果让甲先拿,那么他有没有必胜的策略?
分析:
要想获胜,必须要拿走最后一个苹果,规则中规定每次最少拿1个苹果,最多拿2个苹果,那么两个人每人拿一次就是一轮,53÷3=17(轮)…2(个),那么先拿的人只要把多余的2个拿了,后面每轮中先拿的人都可以控制两个人拿的和为3个苹果,甲先拿2个后,乙如果拿1个,甲就可以拿2个,乙如果拿2个,甲就可以拿1个,总之,甲第一次拿完2个后,后面的每轮都是乙先拿,甲后拿,所以,甲第一次拿2个后,把后面每轮中两人拿的苹果数的和控制为3,则甲必胜。
答:
甲先拿2个,以后每轮乙拿n个,甲就拿3﹣n个,甲必胜。
例4、两人做一种游戏:
轮流报数,必须报不大于6的自然数,两人报的数依次加起来,谁报数后加起来的数是100,谁就获胜。
如果你先报数,那么为了获胜,你第一次报几?
以后怎样报?
分析:
本题中按照规定既要先报数,还要最后一次报数,以确保两人报数最终和是100而取胜,在此报0是没有什么意义的,因此这里不大于6的自然数应该是从1到6,观察1、2、3、4、5、6这几个自然数,发现1+6=7,2+5=7,3+4=7,且100÷7=14…2,也就是说100-2=98是7的整数倍,先报者报2,接下来两人可以报14轮,在这14轮里每轮都是对方先报,这样最初的先报者就可以控制每轮两人所报数的和是7的倍数,假如对方报1,你就报6;对方若报2,你就报5;对方若报3,你就报4;对方若报6,你就报1……以满足你俩所报数之和为100。
所以,必胜。
答:
如果我先报数,我第一次报2,以后每轮对方报n,我就报7-n,我必胜。
例5、有1994个球,甲乙两人用这些球进行取球比赛。
比赛的规则是:
甲乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者。
(1)甲先取,甲为了取胜,他应采取怎样的策略?
(2)乙先拿了3个球,甲为了必胜,应当采取怎样的策略?
解决第一个问题
为了叙述方便,把这1994个球编上号,分别为1~1994号。
取球时先取序号小的球,后取序号大的球,还是采用倒推法。
甲为了取胜,必须把1994号球留给对方,因此甲在最后一次取球时,必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993(也许他取的球不止一个)。
为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990~1992。
因此,甲在最后第二次取球时,必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989。
为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986~1988。
这样,甲在最后第三次取球时,必须使他自己取球中序号最大的一个是1985,……把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来:
1993、1989、1985、……
通过转化这道题变成了一个抢1993的题目:
因为:
1993÷(1+3)=498……1
由上面的分析可知,甲为了获胜,必须取到那些序号为被4除余1的球,第一次取1号球一定获胜。
解决第二个问题:
现在乙先拿了3个,甲就应拿5-3=2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球。
答:
(1)甲为了获胜,甲应先取1个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球。
(2)乙先拿了3个球,甲为了必胜,甲应拿2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球。
练一练
1.一个猎人要带一棵白菜、一只狗、两只儿狼和一只羊过河,可现在小船只有3个座位,这人每次最多只能送两样东西过河,先带谁哟?
没有狗看管,狼会吃羊,狗和羊单独相处就吵架,山羊和白菜在一起,白菜就遭殃了。
有什么妙计能帮助猎人顺利过河?
2.一堆火柴有25根,两个人轮流从中拿走2根、或3根,谁取走最后一根火柴棒,谁就获胜。
问:
谁一定能获胜?
3、有70个球,甲、乙两人用这些球进行取球比赛。
比赛的规则是:
甲、乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者。
(1)甲先取,甲为了取胜,他应采取怎样的策略?
(2)乙先拿了3个球,甲为了必胜,应当采取怎样的策略?
4、玛丽和老师两人从1开始轮流报数,每人每次只能报1个或2个自然数。
规定玛丽先报,玛丽可以报1,老师可以报2或2、3;玛丽还可以报1、2,老师可以报3或3、4。
这样继续报下去,谁报到20,谁就获胜,谁有必胜的策略?
5.有2008个球,甲、乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是:
甲、乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者。
甲先取,甲为了取胜,他应采取怎样的策略?
例6、
桌子上有8枚硬币,甲、乙两人轮流拿,他们规定,假如甲先拿(当然乙也可以先拿)甲可以拿任意枚但不能全拿光,接着乙拿,乙可以拿不多于甲所拿硬币的2倍,又轮到甲拿,甲可以拿不多于乙拿硬币的2倍,这样交替进行,谁最后把硬币拿光就算胜利,采取怎样的策略可以取胜呢?
(1)当有3枚硬币时,甲无论拿走1枚还是2枚硬币,乙都可以在第二次时拿光所有硬币,甲(先拿者)必败。
(2)当有4枚硬币时,甲可以拿走1枚硬币,这时留给乙3枚硬币,乙(后拿者)必败。
(3)当有5枚硬币时,甲第一次如果拿走2(3、4)枚硬币,乙都可以在第二次时拿光所有硬币,甲(先拿者)必败;甲第一次拿走1枚硬币,乙第二次也拿走1枚硬币,此时乙又把3枚硬币留给了甲,甲(先拿者)必败。
(4)当桌子上有6(或7)枚硬币时,甲第一次可以拿走1(或2)枚硬币,把5枚硬币留给乙,这时乙(后拿者)必败。
(5)当桌子上有8枚硬币时,可以分成两堆来考虑,第一堆有3枚硬币,第二堆有5枚硬币,每一堆都是先拿者必败,无论先拿哪一堆,第一堆是先拿者失败,他又必是第二堆的先拿者,第二堆的失败者还是这个人,所以当桌子上有8枚硬币时,先拿者(甲)必败。
知识拓展
实际这个数字游戏与斐波那契数列有关。
(从第三个数起,每个数都是前两个数的和)
1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
8为该数列中的数,事实上是:
如果甲、乙二人都熟悉这个游戏的“技巧”,那么如果硬币数是该数列中的某一项,则先拿者输,如果硬币数不是该数列的某一项,则先拿者必赢。
挑战思维
左下图是国际象棋的棋盘,玛丽和老师轮流往棋盘的空格内放入“相”(“相”是国际象棋中的一种棋子,它的走法是沿斜线方向,格数不限,并且在它的行走路线上可以攻击其它棋子。
)。
一方持黑棋,一方持白棋。
当任何一方放入“相”时,要保证不受到对方已放的“相”的攻击。
无法放的人为失败者,玛丽要想取胜,它应该选择先放棋子,还是后放棋子?
玛丽要想取胜,应该先放还是后放棋子。
这道题我们可以利用“对称”的思路来解答。
因为棋盘是“轴对称图形”,所以先放者必输。
先放者无论将棋子放在什么位置,后放者都可以将棋子放在对称的位置(以棋盘的竖直平分线为对称轴),一定不被其攻击,如右上图。
这样就能保证:
(1)只要先放者能够在棋盘上放入棋子,后放者一定也可以在棋盘上放入棋子;
(2)后放者放入的棋子与先放者放入的棋子在一条水平线上,所以不会受到先放者棋子的攻击。
如此摆放下去,必然是先放者最终找不到放棋子的位置。
所以玛丽要想取胜,一定要让老师先放棋子。
练一练
6.甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币,规定每人每次只能放一枚,硬币平放且不能有重叠部分,放好的硬币不再移动。
谁放了最后一枚,使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了。
甲先放,要想百战百胜应怎样放?
家庭作业
1、从前,有一个猎人。
他带着一只狼、一只兔子和一个白菜过河,由于船太小,每次只能带一种东西,假如先把白菜运过河,剩下狼和兔子,山羊就会被狼吃掉。
假如先把狼带过河,兔子就会把白菜吃掉。
同学们,请你帮助农夫想一想该怎样过这条河呢?
2、现在有9根火柴,两人轮流从中取1根、2根、3根、直到取完为止,最后一根由谁取得谁就取胜,先拿的人能否取胜?
3、有一堆棋子共53枚,甲,乙两人轮流从中拿走1枚或2枚棋子。
规定谁拿走最后一枚棋子,谁获胜。
如果甲先拿,乙后拿,谁有必胜的策略?
必胜策略是什么?
4、有2017个汽球,甲乙两个用这些汽球进行取球比赛,比赛的规则是:
甲乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者.
(1)甲先取球,甲为了取胜,他应采取哪些策略?
(2)乙先拿了3个球,甲为了必胜,应当采取什么策略?
5、甲、乙二人轮流从下面的数列中划数,要求每次必须划去3个连续的自然数,当某个人无法划时算做失败,甲先划数,要想一定取胜的话,最初要划去哪些数?
请说明理由。
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- 四升五 第三 单元 对策 问题