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离散数学第3次解析
第3次作业
一、单项选择题(本大题共30分,共10小题,每小题3分)
1.在完全m叉树中,若树叶数为t,分枝点数为i,则有()。
A.
(m-1)i B. (m-1)i>t-1 C. (m-1)i=t-1 D. (m-1)i≤t-1 2.一棵有向树,如果恰有一个节点的入度为0,其余所有节点的入度都为1,则称为____________ A. 根树 B. 普通树 C. 树根 D. 树节点 3. n个节点的无向完全图Kn的边数为_________________ A. B. C. D. 4.在集合A={1,2,3,⋯,10},问下面定义的二元运算*关于集合A是不封闭的()。 A. x*y=max(x,y) B. x*y=min(x,y) C. x*y=GCD(x,y) D. x*y=x+y 5. 下图的最小生成树是() A. B. C. D. 6. (P→Q)→R的合取范式为 。 A. (┐P∨R)∧(Q∨┐R) B. (P∨R)∧(┐Q∨R) C. P∧Q∧R D. P∨Q∨R 7.函数f: R×R→R,f()=(x+y)/2是()函数。 A. 入射 B. 满射 C. 双射 D. 以上答案都不对 8.设C(x): x是国家选手,G(x): x是健壮的。 命题“没有一个国家选手不是健壮的”可符号化为() A. ¬(∀x)(C(x)⋀¬G(x) B. ¬(∀x)(C(x)→¬G(x) C. ¬(∃x)(C(x)⋀¬G(x) D. ¬(∃x)(C(x)→¬G(x) 9.一阶逻辑公式∀x(F(x,y)⋀G(y,z))→∀zF(z,y)是() A. 前束范式 B. 封闭公式 C. 永真式 D. 永假式 10.设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31则构造的最优二叉树权值为____________ A. 495 B. 505 C. 515 D. 520 二、判断题(本大题共30分,共10小题,每小题3分) 1.判断对错: 集合{2,4,6,•••2n}是无限集() 2.下列句子的说法是否正确。 谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算推理方法的扩张。 3.N为自然数集,N上的运算*定义为: x*y=min{x,y},其中x,y∈N,则是独异点。 4.对于图G着色时,需最少颜色数称为着色数。 5.群 6.P→(┐Q)是命题公式。 7.蕴含式(P→Q)∧(Q→R)⇒P→R是正确的。 8.因为P∨┐P重言式,所以(P∧S)∨┐(P∧S)也是重言式。 9.设集合A={1,2,3},I_A是A上的恒等关系,则I_A={,,}. 10.设A={1,2,8,24,48},则A上的整除关系是A上的偏序,不是一个全序.() 三、计算题(本大题共10分,共2小题,每小题5分) 1. 设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R={(x,y)|x,y∈A,且x≥y},求R的关系图与关系矩阵 2. 试将公式P∧(P→Q)化为析取范式和合取范式: 四、简答题(本大题共12分,共2小题,每小题6分) 1. S=Q×Q,Q为有理数集,为S上的二元运算,∀〈a,b〉,〈x,y〉∈S有 〈a,b〉*〈x,y〉=〈ax,ay+b〉 问*运算是否有幺元、零元? 如果有,请指出,并求S中所有可逆元素的逆元。 2. 构造公式┐(P→Q)∧Q的真值表,并解释其结果。 五、证明题(本大题共18分,共3小题,每小题6分) 1. 证明: (∃x)A(x)→(∀x)B(x)=>(∀x)(A(x)→B(x)) 2. 符号化下列命题并证明。 每个考生或者勤奋或者聪明,所有勤奋的人都将有所作为,但并非所有考生都将有所作为。 所以,一定有些考生是聪明的。 3. 设A,B,C为三个任意集合,试证明 若A×A=B×B,则A=B; 答案: 一、单项选择题(30分,共10题,每小题3分) 1.C2.A3.D4.D5.D6.B7.B8.C9.C10.B 二、判断题(30分,共10题,每小题3分) 1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.× 三、计算题(10分,共2题,每小题5分) 1. 参考答案: R={(x,y)│x,y∈A,且x≥y} ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(4,4) R的关系图如图3-1所示。 解题方案: 评分标准: 2. 参考答案: ┐(P∨Q)↔(P∧Q) =(﹁(P∨Q)→(P∧Q))∧((P∧Q)→┐(P∨Q))(等值律) =((P∨Q)∨(P∧Q))∧(┐(P∧Q)∨┐(P∨Q)) (蕴涵律) =(P∨Q)∧(┐P∨┐Q) (分配律)合取范式 =(┐P∨P)∨(┐P∨Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q) (分配律)析取范式 解题方案: 评分标准: 四、简答题(12分,共2题,每小题6分) 1. 参考答案: 容易验证〈1,0〉为幺元,没有零元。 当a≠0时,〈a,b〉的逆元为〈1/a,b/a〉 解题方案: 评分标准: 2. 参考答案: 真值表 P Q P→Q ┐(P→Q) ┐(P→Q)∧Q 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 可见: ┐(P→Q)∧Q是恒假的。 解题方案: 评分标准: 五、证明题(18分,共3题,每小题6分) 1. 参考答案: 证明: 间接证法 (1)¬(∀x)(A(x)→B(x))P(附加条件) (2)(∃x)¬(A(x)→B(x)) T (1)E (3)¬(A(c)→B(c)) ES (2) (4)¬(¬A(c)∨B(c)) T(3) (5)A(c)∧¬B(c) T(4)E (6)(∃x)A(x) EG(5) (7)(∃x)A(x)→(∀x)B(x) P (8)(∀x)B(x) T(6),(7)I (9)B(c)US(8) (10)¬B(c) T(5)I (11)B(c)∧¬B(c) T(9),(10)矛盾 解题方案: 评分标准: 2. 参考答案: 解题方案: 评分标准: 3. 参考答案: 设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此A⊆B. 对任意b∈B,有(b,b)∈B×B,则(b,b)∈A×A,于是b∈A,因此B⊆A,所以A=B. 解题方案: 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明。 评分标准:
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