高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章24.docx
- 文档编号:11571374
- 上传时间:2023-03-19
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:173.96KB
高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章24.docx
《高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章24.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章24.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章24
§2.4 幂函数与二次函数
最新考纲
1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=
y=
的图象,了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0,+∞)上单调递增
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2.二次函数的图象和性质
【解析】式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈
上单调递减;
在x∈
上单调递增
在x∈
上单调递增;
在x∈
上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x=-
对称
概念方法微思考
1.二次函数的【解析】式有哪些常用形式?
提示
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
y=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),写出f(x)≥0恒成立的条件.
提示 a>0且Δ≤0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是
.( × )
(2)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(3)函数y=
是幂函数.( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(5)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
题组二 教材改编
2.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点
则k+α等于( )
A.
B.1C.
D.2
答案 C
【解析】 由幂函数的定义,知
∴k=1,α=
.∴k+α=
.
3.已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.a≥3B.a≤3
C.a<-3D.a≤-3
答案 D
【解析】 函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.
题组三 易错自纠
4.幂函数f(x)=
(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于( )
A.3B.4C.5D.6
答案 C
【解析】 因为a2-10a+23=(a-5)2-2,
f(x)=
(a∈Z)为偶函数,
且在区间(0,+∞)上是减函数,
所以(a-5)2-2<0,从而a=4,5,6,
又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C.
5.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是______.
答案 -1
【解析】 函数y=2x2-6x+3的图象的对称轴为x=
>1,∴函数y=2x2-6x+3在[-1,1]上单调递减,
∴ymin=2-6+3=-1.
6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)________0.(填“>”“<”或“=”)
答案 >
【解析】 f(x)=x2-x+a图象的对称轴为直线x=
且f
(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),
∴m-1<0,∴f(m-1)>0.
题型一 幂函数的图象和性质
1.若幂函数的图象经过点
则它的单调递增区间是( )
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)
答案 D
【解析】 设f(x)=xα,则2α=
α=-2,即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0).故选D.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.d>c>b>a
B.a>b>c>d
C.d>c>a>b
D.a>b>d>c
答案 B
【解析】 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B.
3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)
(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( )
A.-3B.1C.2D.1或2
答案 B
【解析】 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意,故选B.
4.(2018·潍坊模拟)若(a+1)
<(3-2a)
则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,-1)∪
【解析】 不等式(a+1)
<(3-2a)
等价于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或
<a<
.
思维升华
(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其【解析】式.
(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.
(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
题型二 求二次函数的【解析】式
例1
(1)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的【解析】式为________________.
答案 f(x)=x2-2x+3
【解析】 由f(0)=3,得c=3,
又f(1+x)=f(1-x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴
=1,∴b=2,
∴f(x)=x2-2x+3.
(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.
答案 x2+2x
【解析】 设函数的【解析】式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),
所以f(x)=ax2+2ax,由
=-1,
得a=1,所以f(x)=x2+2x.
思维升华 求二次函数【解析】式的方法
跟踪训练1
(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.
答案 x2+2x+1
【解析】 设函数f(x)的【解析】式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),
又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,
故f(x)=x2+2x+1.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=________.
答案 x2-4x+3
【解析】 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的【解析】式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)的【解析】式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
题型三 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的图象
例2 (2018·重庆五中模拟)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
【解析】 若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-
<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,选C.
命题点2 二次函数的单调性
例3 函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,0)B.(-∞,-3]
C.[-2,0]D.[-3,0]
答案 D
【解析】 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.
当a≠0时,f(x)的对称轴为x=
由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知
解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].
引申探究
若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________.
答案 -3
【解析】 由题意知f(x)必为二次函数且a<0,
又
=-1,∴a=-3.
命题点3 二次函数的最值
例4已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.
解 f(x)=a(x+1)2+1-a.
(1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
(2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f
(2)=8a+1=4,解得a=
;
(3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.
综上可知,a的值为
或-3.
引申探究
将本例改为:
求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值.
解 f(x)=(x+a)2+1-a2,
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a.
(1)当-a<
即a>-
时,f(x)max=f
(2)=4a+5,
(2)当-a≥
即a≤-
时,f(x)max=f(-1)=2-2a,
综上,f(x)max=
命题点4 二次函数中的恒成立问题
例5
(1)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为____________.
答案 (-∞,-1)
【解析】 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,令g(x)=x2-3x+1-m=
2-
-m,x∈[-1,1],g(x)在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g
(1)=1-3+1-m>0,所以m<-1.
(2)函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为________.
答案 2
【解析】 令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以
≤t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,t∈
显然g(t)在
上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值为2.
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意:
(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论;
(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路:
一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.
跟踪训练2
(1)函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是( )
A.b≥0B.b≤0
C.b>0D.b<0
答案 A
【解析】 ∵函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数,∴图象的对称轴x=-
在区间[0,+∞)的左边或-
=0,即-
≤0,得b≥0.
(2)已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为________.
答案 -1或3
【解析】 由于函数f(x)的值域为[1,+∞),
所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,
当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,
即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.
(3)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为________.
答案
【解析】 由题意得a>
-
对1<x<4恒成立,
又
-
=-2
2+
<
<1,
∴
max=
∴a>
.
数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用
研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.
例设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.
解 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1.
当t+1≤1,即t≤0时,函数图象如图
(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,
所以最小值为f(t+1)=t2+1;
当t<1<t+1,即0<t<1时,函数图象如图
(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f
(1)=1;
当t≥1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
综上可知,f(x)min=
1.幂函数y=f(x)经过点(3,
),则f(x)是( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
答案 D
【解析】 设幂函数的【解析】式为y=xα,将(3,
)代入【解析】式得3α=
解得α=
∴y=
故选D.
2.幂函数y=
(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 C
【解析】 ∵y=
(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,
∴m2-4m<0,即0<m<4.
又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z,
∴m2-4m为偶数,∴m=2.
3.若幂函数f(x)=(m2-4m+4)·
在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( )
A.1或3B.1
C.3D.2
答案 B
【解析】 由题意得m2-4m+4=1,m2-6m+8>0,
解得m=1.
4.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
【解析】 由题意知
即
得a>
.
5.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f
(1),则( )
A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0
答案 A
【解析】 由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-
=2,∴4a+b=0,又f(0)>f
(1),f(4)>f
(1),∴f(x)先减后增,于是a>0,故选A.
6.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a,x∈[0,1]有最大值2,则a等于( )
A.2B.0
C.0或-1D.2或-1
答案 D
【解析】 函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,其图象的对称轴方程为x=a.当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,所以1-a=2,所以a=-1;当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,所以a2-a+1=2,所以a2-a-1=0,所以a=
(舍去);当a>1时,f(x)max=f
(1)=a,所以a=2.综上可知,a=-1或a=2.
7.已知f(x)=x2,g(x)=
h(x)=x-2,当0<x<1时,f(x),g(x),h(x)的大小关系是________________.
答案 h(x)>g(x)>f(x)
【解析】 分别作出f(x),g(x),h(x)的图象如图所示,
可知h(x)>g(x)>f(x).
8.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为
且方程f(x)=0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的【解析】式是________________.
答案 f(x)=-4x2-12x+40
【解析】 设f(x)=a
2+49(a≠0),
方程a
2+49=0的两个实根分别为x1,x2,
则|x1-x2|=2
=7,
所以a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40.
9.已知函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间
上为增函数,那么f
(2)的取值范围是______________.
答案 [7,+∞)
【解析】 函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间
上为增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,所以其对称轴x=
或与直线x=
重合或位于直线x=
的左侧,即应有
≤
解得a≤2,所以f
(2)=4-(a-1)×2+5≥7,即f
(2)≥7.
10.设函数f(x)=-2x2+4x在区间[m,n]上的值域是[-6,2],则m+n的取值范围是______________.
答案 [0,4]
【解析】 令f(x)=-6,得x=-1或x=3;令f(x)=2,得x=1.又f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,∴当m=-1,n=1时,m+n取得最小值0;
当m=1,n=3时,m+n取得最大值4.
11.(2018·河南南阳一中月考)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是____________.
答案
【解析】 因为函数图象开口向上,所以根据题意只需满足
解得-
<m<0.
12.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
解
(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],
函数图象的对称轴为x=-
∈[-2,3],
∴f(x)min=f
=
-
-3=-
f(x)max=f(3)=15,
∴f(x)的值域为
.
(2)函数图象的对称轴为直线x=-
.
①当-
≤1,即a≥-
时,f(x)max=f(3)=6a+3,
∴6a+3=1,即a=-
满足题意;
②当-
>1,即a<-
时,
f(x)max=f(-1)=-2a-1,
∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.
综上可知,a=-
或-1.
13.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.
其中正确的是( )
A.②④B.①④
C.②③D.①③
答案 B
【解析】 因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;
对称轴为x=-1,即-
=-1,2a-b=0,②错误;
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;
由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.
14.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.
答案 (-∞,-5]
【解析】 方法一 ∵不等式x2+mx+4<0对x∈(1,2)恒成立,
∴mx<-x2-4对x∈(1,2)恒成立,
即m<-
对x∈(1,2)恒成立,
令y=x+
x∈(1,2),则函数y=x+
在x∈(1,2)上是减函数.∴4<y<5,∴-5<-
<-4,
∴m≤-5.
方法二 设f(x)=x2+mx+4,当x∈(1,2)时,
由f(x)<0恒成立,得
解得
即m≤-5.
15.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.
解 当0≤x<1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,则
≤0,即m≤0;
当x≥1时,φ(x)=x2+mx-m,此时φ(x)单调递增,则-
≤1,即m≥-2.
综上,实数m的取值范围是[-2,0].
16.是否存在实数a∈[-2,1],使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?
若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.
解 f(x)=(x-a)2+a-a2,
当-2≤a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
∴由
得a=-1(舍去);
当-1≤a≤0时,由
得a=-1;
当0<a≤1时,由
得a不存在;
综上可得,存在实数a满足题目条件,a=-1.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章 24 高中数学 一轮 复习 步步高 教师 用书京津鲁琼 专用 阶段