等差数列和等比数列的解题技巧分解.docx

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等差数列和等比数列的解题技巧分解

数列的解题技巧

编稿：

林景飞　　　审稿：

张扬　　　　责编：

严春梅

【命题趋向】

　　从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：

　　1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.

　　2.数列中

与

之间的互化关系也是高考的一个热点.

　　3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

　　4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.

　　因此复习中应注意：

　　1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.

　　2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量

、

（或

），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

　　3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意

和

两种情况等等.

　　4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如

与

的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.

　　5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

　　6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.

　　7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

【考点透视】

　　1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.

　　2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.

　　3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

　　4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.

【例题解析】

考点一：

正确理解和运用数列的概念与通项公式

　　理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.

1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，

以

表示第n堆的乒乓球总数，则

____________；

____________（答案用n表示）.

……

　　思路启迪：

从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10,…，推测出第n层的球数。

　　解答过程：

显然

.

　　第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，

，第n堆的乒乓球数总数相当于前n堆乒乓球的低层数之和，即

　　所以：

2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第

次全行的数都为1的是第____________行；第61行中1的个数是____________．

　　第1行　　　　11

　　第2行　　　　101

　　第3行　　　1111

　　第4行　　　10001

　　第5行　　110011

　　………………………………………

　　思路启迪：

计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

　　解：

第1次全行的数都为1的是第

=1行，

　　　　第2次全行的数都为1的是第

=3行，

　　　　第3次全行的数都为1的是第

=7行，

　　　　······，

　　　　第

次全行的数都为1的是第

行；

　　　　第61行中1的个数是25=32．

考点二：

数列的递推关系式的理解与应用

　　在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。

　　如叠加法：

若

且

；我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得到数列

的通项.

，

，

，…，

　　∴

　　再看叠乘法：

且

，可把各个商列出来求积。

　　另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。

3．（2007年北京卷理）数列

中，

，

（

是常数，

），

且

成公比不为

的等比数列．

　　（I）求

的值；（II）求

的通项公式．

　　思路启迪：

（1）由

成公比不为

的等比数列列方程求

；

（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出

与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.

　　解：

　　（I）

，

，

，

　　　　因为

成等比数列，所以

，解得

或

．

　　　　当

时，

，不符合题意舍去，故

．

　　（II）当

时，由于

，

，

，

，

　　　　　所以

．

　　　　　又

，

，故

．

　　　　　当

时，上式也成立，

　　　　　所以

．

　　小结：

从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.

4．数列

满足

，

，

…．若

，则

（）

　　　　　（Ａ）

　　　（Ｂ）３　　（Ｃ）４　　（Ｄ）５

　　思路启迪：

对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.

　　解答过程1：

，

.

相叠加得

.

，

.

，

，

，

.

　　解答过程2：

　　　　由

得：

，

，因为

，所以

.

　　解答过程3：

　　　　由

得：

　　　　从而

；

；…；

.

　　　　叠加得：

.

，

，从而

.

　　小结：

数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

　　对连续两项递推

，可转化为

；

　　对连续三项递推的关系

，如果方程

有两个根

，则上递推关系式可化为

或

.

考点三：

数列的通项

与前n项和

之间的关系与应用

与

的关系：

，数列前n项和

和通项

是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式

时，一定要注意条件

，求通项时一定要验证

是否适合。

解决含

与

的式子问题时，通常转化为只含

或者转化为只

的式子.

5．（2006年辽宁卷）在等比数列

中,

前

项和为

若数列

也是等比数列,则

等于（）

　　　　（A）

　　　（B）

　　　　（C）

　　　　（D）

　　命题目的：

本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

　　过程指引：

因数列

为等比，则

，因数列

也是等比数列，则

　　　　即

，所以

，故选择答案C.

6.已知在正项数列

中，

表示前n项和，且

，求

.

　　思路启迪：

转化为只含

或者只含

的递推关系式.

　　解答过程1：

由已知

，得当

时，

；

　　　　当

时，

，代入已知有

，即

.

，

　　　　又

，故

.

　　　　∴数列

是首项为

，公差

的等差数列，

　　　　故

.

　　解答过程2：

由已知

，得当n=1时，

；

　　　　当

时，因为

，所以

.

，

，因为

，

　　　　所以

，所以

.

考点四：

数列中与n有关的等式的理解与应用

　　对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为

得到另外的式子。

也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.

7．（2006年福建卷）已知数列

满足

（

）

　　（Ⅰ）求数列

的通项公式；

　　（Ⅱ）若数列

满足

（

）,证明:

是等差数列;

　　思路启迪：

本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

把递推关系式变形转化。

　　解答过程：

　　（I）解：

∵

，∴

是以

为首项，2为公比的等比数列。

　　　　　　∴

即

　（

）

　　（II）证法一：

∵

，

　　　　　∴

即

　　　　　∴

　　　　　　　　①

　　　②

　　　　　②－①，得

，即

　③

④

　　　　　③－④，得　

，即

　　　　　故

是等差数列.

考点五：

等差、等比数列的概念与性质的理解与应用

　　在等差、等比数列中，已知五个元素

或

，

中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。

本着化多为少的原则，解题时需抓住首项

和公差（或公比

）。

另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如

（1）等差数列

中，若

，则

；

　　　　等比数列

中，若

，则

.

（2）等差数列

的前n项为

，则

成等差数列，且公差

为

；

　　　　等比数列

中（

）的前n项和为

，则

成等比数列，且公比

.

　　（3）在等差数列

中，项数n成等差的项

也成等差数列.

　　（4）在等差数列

中，

；

.

　　在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

8．（2006年江西卷）已知等差数列

的前n项和为

，若

，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则

＝（）

　　　　A．100　　　　B.101　　　　C.200　　　　D.201

　　命题目的：

考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。

　　过程指引：

依题意，

，故选A

9．（2007年安徽卷文、理）

　　某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加

因此，历年所交纳的储备金数目

，…是一个公差为

的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率

为

（

）,那么,在第

年末，第一年所交纳的储备金就变为

，第二年所交纳的储备金就变成

，…….以

表示到第

年末所累计的储备金总额.

　　（Ⅰ）写出

与

（

）的递推关系式；

　　（Ⅱ）求证

，其中{

}是一个等比数列，{

}是一个等差数列.

　　命题目的：

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.

　　解：

　　（I）我们有

　　（II）

，对

反复使用上述关系式，得

　　　　　　=…=

①

　　　　　在①式两端同乘1+r，得

②

　　　　　②－①，得

　　　　即

　　　　　记

，

，则

，其中{

}是等比数列，且首项为

，公比为

；

是等差数列，且首项为

，公比为

.

　　点评：

解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

考点六：

等差、等比数列前n项和的理解与应用

　　等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解。

等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数；等比数列的前n项和公式

（

），因此可以改写为

是关于n的指数函数，当

时，

.

10．（2007年广东卷理）已知数列

的前n项和

第k项满足

则k=（）

　　　　　　　A．9　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6

　　思路启迪：

本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．

　　解：

此数列为等差数列，

，由5<2k-10<8得到k=8．

11．（2007年湖北卷文）已知数列

和

满足:

且

是以q为公比的等比数列.

　　（Ⅰ）证明：

；

　　（Ⅱ）若

证明数列

是等比数列；

　　（Ⅲ）求和：

.

　　命题目的：

本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

　　解法1：

　　（I）证：

由

，有

，

．

　　（II）证：

，

，

，

．

　　　　　　　∴

是首项为5，以

为公比的等比数列．

　　（III）由（II）得

，

，于是

．

　　　　　当

时，

．

　　　　　当

时，

．

　　　　　故

　　解法2：

　　（I）同解法1（I）．

　　（II）证：

，又

，

是首项为5，以

为公比的等比数列．

　　（III）由（II）的类似方法得

，

，

，

．

．下同解法1．

考点七：

数列与函数的迭代问题

　　由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.

12．（2006年山东卷）已知数列

中，

，点

在直线y=x上，

　　　　　　　　　　　　　　其中n=1,2,3….

　　（Ⅰ）令

，求证

是等比数列；

　　（Ⅱ）求数列

的通项；

　　（III）设

、

分别为数列

、

的前n项和,是否存在实数

，使得数列

为等差数列？

若存在，试求出

.若不存在,则说明理由.

　　思路启迪：

利用等比的定义证明

是等比数列；对

可由已知用叠加法求出求。

求出

与

便可顺利求出第三问.

　　解答过程：

　　（I）由已知得

　　　　　又

，

是以

为首项，以

为公比的等比数列.

　　（II）由（I）知，

，

，…，

　　　　　将以上各式相加得：

　　（III）解法一：

　　　　　存在

，使数列

是等差数列.

　　　　　数列

是等差数列的充要条件是

（

、

是常数

　　　　　即

　　　　　又

.

当且仅当

，即

时，数列

为等差数列.

　　解法二：

存在

，使数列

是等差数列.

　　　　　　由（I）、（II）知，

，

.

　　　　　　∴

.

　　　　　　又

.

　　　　　　∴

.

当且仅当

时，数列

是等差数列.

13（2007年陕西卷理）已知各项全不为零的数列

的前k项和为

，

　　　　　　　　　　　　　　　且

（

），其中

　　（Ⅰ）求数列

的通项公式；

　　（II）对任意给定的正整数

，数列

满足

.

　　　　　求

.

　　思路启迪：

注意利用

解决问题．

　　解：

　　（Ⅰ）当

，由

及

，得

．

　　　　　当

时，由

，得

．

　　　　　因为

，所以

．从而

，

．故

．

　　（Ⅱ）因为

，所以

．

　　　　　所以

　　　　　故

考点八：

数列综合应用与创新问题

　　数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。

14．（2006年湖南卷）在

（

）个不同数的排列

中，若

时

（即前面某数大于后面某数），则称

与

构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列

的逆序数为

，如排列21的逆序数

，排列321的逆序数

.

则

=____________，

=____________，

的表达式为____________；

　　命题目的：

考查排列、数列知识.

　　过程导引：

由已知得

，

，

.

15．设

是定义在

上的单调可导函数.已知对于任意正数

，

　　　　　　都有

，且

.

　　（Ⅰ）求

，并求

的值；

　　（Ⅱ）令

，证明数列

是等差数列；

　　（Ⅲ）设

是曲线

在点

处的切线的斜率（

），

　　　　　数列

的前

项和为

，

　　求证：

.

　　思路启迪：

根据已知条件求出函数

的关系式，求出

的递推关系式然后可求解题中要求．

　　解答过程：

　　（Ⅰ）取

，

；

　　　　　再取

，则

，即

，

　　　　　∵

是定义在

上的单调函数

　　　　　∴

，解得

，或

（舍去）.

　　（Ⅱ）设

，则

，

　　　　　再令

，则

，即

　　　　　∵

是定义在

上的单调函数

　　　　　∴

，即

，解得：

或

，

　　　　　又

，则

，

，

　　　　　由

，所以

是等差数列.

　　（3）由

（2）得

，

，则

　　　　所以

；

　　　　又当

时，

，

　　　　则

，

　　　　故

.

16．（2007年广东卷理）已知函数

，

是方程

的两个根

，

是

的导数；设

，

（n=1,2,……）

（1）求

的值；

（2）证明：

对任意的正整数n，都有

；

　　（3）记

（n=1,2,……），求数列{

}的前n项和

．

　　思路启迪：

（1）注意应用根与系数关系求

的值；

（2）注意先求

；

　　　　　　　（3）注意利用

的关系．

　　解：

（1）∵

，

是方程

的两个根

，

　　　　∴

，

．

（2）

，

，∵

，

　　　　∴由基本不等式可知

（当且仅当

时取等号），∴

　　　　同样

，…，

（n=1,2,……）．

　　（3）

，

　　　　而

，即

，

，

　　　　同理

，

，

　　　　又

，

.