七年级数学二元一次方程组的应用人教实验版知识精讲.docx
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七年级数学二元一次方程组的应用人教实验版知识精讲
七年级数学二元一次方程组的应用人教实验版
【本讲教育信息】
一.教学内容:
二元一次方程组的应用
[学习要求]
会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组求解,能检验所得结果是否符合实际意义。
[知识内容]
1.处理实际应用问题的过程。
问题方程组解答
2.列方程组解应用题的一般步骤:
①审题②设未知数③找相等关系④列方程组
⑤解方程组⑥检验⑦答题
3.应用题常见的几种类型:
(1)行程问题:
①基本量之间的关系:
路程=速度×时间
②解题时一般应画线段示意图。
(2)工程问题
①基本量之间的关系:
工作量=工作效率×工作时间
甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
②解题时,若工作总量是抽象的,通常把它设为单位1。
(3)浓度问题
①基本量之间的关系:
溶液=溶质+溶剂(指体积或质量)
溶液的浓度=×100%
②解题时应注意配制前后溶液中的不变量和变化量分别是什么?
(4)利润问题:
①有关量的关系:
利润=售价-进价
利润率=×100%
利息=本金×利率×期数
②解题时应注意此类问题中的一些关键词语的意义,如“打折”“个人所得税”等等。
4.列方程组解应用题,是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系。
一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边所表示的数量要相等。
【典型例题】
例1.在下边的3×3方格图中,已有3格分别填入11,18,20三数,如果设中心方格填入的数为x,每行、每列、每条对角线上的3数之和都等于y,那么试用x和y表示其余各格要填入的数,并求出x、y的值。
11
18
20
x
解:
方格中应填入的数为:
11
18
20
x
列方程组
解得
例2.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75千米的高速行驶,则可提前24分钟到达乙地,求他以每小时多少千米的速度行驶,可准时到达。
分析:
有些问题只能间接设元,理解题意,找出题目中不变量,看已知量与不变量之间存在怎样的关系。
此题中的不变量是甲、乙两地的距离和从甲地到乙地的规定时间,所以应设甲地到乙地之间的距离为S千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,列表分析如下:
速度
实际用时
路程
相等关系
迟到
50
早到
75
解:
设甲、乙两地的距离为S千米,从甲地到乙地的规定时间为t小时
则,解得
经检验,符合题意,则(千米/时)
答:
他以每小时60千米/时的速度行驶可准时到达。
例3.(百鸡百钱问题)公鸡1只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100,买鸡100只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?
分析:
本题中有三个未知数,只能列出两个方程。
由于鸡的只数是正整数,所以本题是求不定方程组的特殊解问题。
解:
设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只,根据题意,可得方程组
由②×3-①,得,即:
因为x、y为正整数,所以不难得出x应为4的倍数,故x只能为4、8、12,从而相应y的值分别为18、11、4,相应z的值分别为78、81、84。
所以,方程组的特殊解为,,
答:
公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只。
说明:
在许多实际应用问题中,我们所构建的方程组中,未知数的个数多于方程的个数。
这类方程(组)称为不定方程(组),由于实际应用问题中有关量的实际意义,这就需要求不定方程(组)的特殊解。
例4.已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑,其价格分别为A型每台6000元,B型每台4000元,C型每台2500元,我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台,请你设计出几种不同的购买方案供该校选择,并说明理由。
(2003年黄冈市中考题)
解:
设从该电脑公司购进A型电脑x台,购进B型电脑y台,购进C型电脑z台,则可分以下三种情况考虑。
(1)只购进A型电脑和B型电脑,依题意可列方程组
解得,不合题意,舍去。
(2)只购进A型电脑和C型电脑,依题意可列方程组
解得
(3)只购进B型电脑和C型电脑,依题意可列方程组
解得
答:
有两种方案供该校选择,第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台,第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台。
例5.某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同,安全检查中,对4道门进行了测试:
当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可以通过800名学生。
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查时发现,紧急情况下因学生拥挤,出门的效率将降低20%。
安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离,假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问建造的4道门是否符合安全规定?
请说明理由。
(2003年重庆市中考题)
解:
(1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生,一道侧门可以通过y名学生
由题意得
解得
答:
平均每分钟一道正门可以通过学生120名,一道侧门可以通过学生80名。
(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)
拥挤时5分钟、4道门能通过5×2(120+80)(1-20%)=1600(名)
∵1600>1440
∴建造的4道门符合安全规定。
【模拟试题】(答题时间:
70分钟)
1.在2002年全国足球甲A的后八轮(场)的比赛中,大连实德队保持连续不败,共积分20分。
按比赛规则,胜一场得3分,平一场得1分,试问该队胜了多少场?
2.某服装厂要生产一批同样型号的运动服,已知每3m长的某种布料可做2件上衣或3条裤子,现有此种布料600m,请你设计一下,该如何分配布料,才能使运动服成套而不至于浪费?
能生产多少套运动服?
3.某商场以每件a元购进一种服装,如果规定以每件b元卖出,平均每天卖出15件。
30天共获利润22500元,为了尽快回收资金,商场决定将每件降价20%卖出,结果平均每天比降价前多卖出10件,这样30天仍然可获得利润22500元,试求a、b的值。
4.如图所示,5个一样大小的小矩形拼接成一个大的矩形,如果大矩形的周长为14cm,那么小矩形的周长是多少厘米?
5.某村老杨家有耕地和林地24亩,耕地每亩纯收入为550元,林地每亩纯收入600元,耕地与林地的纯收入共13700元,为保护生态环境,增加收入,老杨计划明年将部分耕地改为林地(改后耕、林地纯收入不变),要使改后的纯收入为14000元,问:
(1)老杨家原有耕地、林地多少亩?
(2)老杨应将多少亩耕地改为林地?
6.甲、乙两种商品的原单价和为100元,因市场变化,甲商品提价10%,乙商品降价5%,调价后,甲、乙两种商品的单价和比原来提高了40%,求甲、乙两种商品的原单价各是多少元?
7.某工厂现有厂房20000m2,计划拆除部分旧厂房,改建新厂房,且新建厂房的面积比拆除的面积的4倍多2000m2,如果要使改建后厂房总面积比改建前的面积增加40%,问应拆除多少旧厂房?
建造多少新厂房?
8.某商店将76件积压商品出售给33位顾客,每位顾客最少买1件,最多买3件;买1件照原价不打折,买2件九折优惠,买3件八折优惠,结果相当于76件商品全部按照八五折优惠,问买3件和2件的顾客各有多少人?
9.下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价(股票每天交易结束的价格)。
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、税费等),该人账户上星期二比星期一多获利200元,星期三比星期二多获利1300元。
试问该人持有甲、乙股票多少股?
10.某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元。
乙、丙两队合作10天完成,厂家需付乙、丙两队9500元;甲、丙两队合做5天完成全部工程的,厂家需付甲、丙两队共5500元。
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超过15天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?
请说明理由。
11.某工厂现有库存某种原料1200t,可以用来生产A、B两种产品。
每生产1tA种产品需这种原料2.5t,生产费用900元;每生产1tB种产品需这种原料2t,生产费用1000元,可用来生产这两种产品的资金为53万元。
问A、B两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完?
12.一批货物要运往某地,货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车。
已知过去两次租用这两种货车的情况如下表。
第一次
第二次
甲种货车辆数(单位:
辆)
2
5
乙种货车辆数(单位:
辆)
3
6
累计运货吨数(单位:
t)
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货,如果按每吨付运费30元计算,问:
货主应付运费多少元?
13.某牛奶加工厂现有鲜奶9t。
若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获取利润500元;制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元;制成奶片销售,每吨可获取利润2000元。
该工厂的生产能力是:
如制成酸奶,每天可加工3t;制成奶片,每天可加工1t。
受人员限制,两种加工方式不可同时进行。
受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。
为此,该厂设计了两种可行方案:
方案一:
尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜奶;
方案二:
将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成。
你认为选择哪种方案获利最多,为什么?
14.小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元,若只选一个公司单独完成,从节约的角度考虑,小明家选甲公司还是乙公司?
请说明理由。
15.王丹同学想知道一块铁的质量,但他只有一个不等臂天平。
他先把铁块放在天平的左盘中,称得它的质量为0.4kg,再把铁块放在天平的右盘中,称得铁块的质量为0.9kg,由此,你知道这块铁的实际质量吗?
请说明理由。
16.某农场300名职工耕种51公顷,计划种植水稻、棉花和蔬菜。
已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表:
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划投入67万元,应怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用?
17.2002年世界杯足球赛,韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格是:
一等席300美元,二等席200美元,三等席125美元。
某服装公司在促销活动中,组织获得特等奖,一等奖的36名顾客到韩国观看2002年世界杯足球赛四分之一决赛,除去其他费用后,计划买两种门票,用完5025美元,你能设计出几种购票方案给该服装公司选择?
并说明理由。
18.项王故里的门票价格规定如下表:
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
每人门票价
5元
4.5元
4元
某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里,如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元。
(1)如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节约多少钱?
(2)两班各有多少名学生?
19.北京和上海都有某种仪器可供外地使用。
其中北京可提供10台,上海可提供4台。
已知重庆需要8台,武汉需要6台,从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示。
有关部门计划用8000元运送这些仪器,请你设计一种方案,使武汉、重庆能得到所需仪器,而且运费正好够用。
又能否修改方案,降低整个运费?
【试题答案】
1.设该队胜x场,平y场,
根据题意,得
解得
2.设生产上衣和裤子的布料分别为x(m),y(m),
根据题意,得
解得
运动服的套数为
(点拨:
上衣的件数应与裤子的条数相等,一件上衣和一条裤子配成一套运动服)
3.根据题意,得
解得
(点拨:
每件服装的利润=每件服装的实际售价-每件服装的进价)
4.设小矩形的长、宽分别为x(cm),y(cm)。
由题意有,得
解得
小矩形的周长为2×(2+1)=6(cm)
5.
(1)设老杨家原有耕地x亩,林地y亩,
根据题意,得
解得
(2)设应将m亩耕地改为林地,
根据题意,得
解得
6.设甲、乙两种商品的原单价分别是x元、y元,
根据题意,得
解得
7.设应拆除旧厂房,建造新厂房,
根据题意,得
解得
(点拨:
厂房增加的面积应为新建厂房的面积减去拆除旧厂房的面积,不是新建厂房的面积。
)
8.设买3件的顾客有x人,买2件的顾客有y人,商品原价为a元,
根据题意,得
化简方程组,得
解得
(点拨:
本题中商品的实际价格都与商品原价有关,虽然商品的原价是未知数,但它不影响本题的结果)
9.设该人持有甲、乙两种股票分别为x股、y股,
根据题意,得
解得
10.①设甲、乙、丙各队单独完成这项工程分别需x天、y天、z天
根据题意,得
解得
②设甲队单独完成这项工程每天需a元,乙队单独完成这项工程每天需b元,丙队单独完成这项工程每天需c元。
根据题意,得
解得
∵z=30(天),∴丙队单独做不能按工期完成任务。
甲队独做这项工程需10天,总费用为800×6=4800(元);
乙队独做这项工程需15天,总费用为650×15=9750(元)。
故选甲队独做这项工程最省钱。
11.设生产A种产品x(t),B种产品y(t),
根据题意,得
解得
12.设甲种货车每辆运货x(t),乙种货车每辆运货y(t),
根据题意,得
解得
∴货主应付运费为(元)
13.方案一:
总利润为4×2000+(9-4)×500=10500(元)
方案二:
设4天内加工酸奶xt,加工奶片yt,
根据题意,得
解得
所以总利润为1200×7.5+2000×1.5=12000(元)
∵10500<12000,所以选择方案二获利多。
14.设甲公司单独完成需x周,需工钱a万元,乙公司单独完成需y周,需工钱b万元,
根据题意,得,
解得
于是有
解得
∵6>4,故应选乙公司单独做省钱。
15.设天平左、右臂长分别为x、y,铁块实际重量为mkg,
由杠杆原理,可得
由①×②得
16.设应种植水稻x公顷,棉花y公顷,蔬菜z公顷,
根据题意,得
解得
17.购票可分三种情况讨论:
①若购买一等席门票x张,三等席门票y张,
则,解得
②若购买二等席门票x张,三等席门票y张,
则,解得
③若购买一等席门票x张,二等席门票y张,
则,解得
∵x、y应为正整数,
∴此购票方案不成立。
故有两种购票方式:
购买一等席门票3张,三等席门票33张或购买二等席门票7张,三等席门票29张。
18.
(1)486-103×4=74(元)
(2)设甲班有x名学生,乙班有y名学生,有下列三种情况:
①若,
则有,解得
②若,
则有,此方程无解
③若,则有
,解得
显然,这与及矛盾,故只有第一种情况成立。
即甲班有58名学生,乙班有45名学生。
(点拨:
此题采用分类讨论方法,虽然第②③两种情况不成立,但应把它们讨论出来)
19.设北京运往武汉x台、上海运往武汉y台,根据题意有
解得
即北京分别往武汉、重庆各运送4台、6台,上海分别往武汉、重庆各运送2台。
又从运费表中,可以看出北京运往重庆的单位运费最高,考虑适当减少北京运往重庆的台数,如从北京往重庆运送5台,此时,总运费为400×5+800×5+300+500×3=7800(元)。
比原来降低了200元。
还可以作适当调整,继续降低运费。
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