轴对称图形.docx
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轴对称图形
《作轴对称图形》
学习目标:
1.会画一个平面图形关于某条直线对称的图形。
2.学会运用轴对称的性质解决有关求最短距离的作图。
强化练习:
1.由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形,这个图形与原图形的_________、___________完全一样.
2.下列说法正确的是()
A.任何一个图形都有对称轴;B.两个全等三角形一定关于某直线对称;
C.若△ABC与△A′B′C′成轴对称,则△ABC≌△A′B′C′;
D.点A,点B在直线1两旁,且AB与直线1交于点O,若AO=BO,则点A与点B关于直线l对称.
3.身高米的人站在平面镜前2米处,它在镜子中的像高______米,人与像之间距离为_______米;如果他向前走米,人与像之间距离为______米.
4、画出以下图形的对称轴。
5、画出以下两个图形的轴对称图形。
6.把图中(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形,你会得到一只美丽的蝴蝶图案.
7、如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等。
8、如图,l1、l2交于A点,P、Q的位置如图所示,试确定M点,使它到l1、l2的距离相等,且到P、Q两点的距离也相等。
9、在铁路a的同侧有两个工厂A和B,要在铁路边建一货场C,使A、B两厂到货场C的距离和最小,试在图上作出C。
10.如图,已知牧马营地在P处,每天牧马人要赶着马群先到河边饮水,再带到草地吃草,然后回到营地,请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
《用坐标表示轴对称》
学习目标:
1.掌握一个点关于X轴、Y轴对称点的坐标特点。
2.会画一个平面图形关于X轴、Y轴对称的图形.
强化训练:
1、下列两点中,关于X轴对称的点是()
A、(-1、3)(1、-3)B、(3、-4)(-3、-4)
C、(-3、4)(3、-4)D、(4、-3)(4、3)
2、点M(-2、0)关于y轴的对称点N的坐标是()
A、(-2、0)B、(2、0)C、(0、2)D、(0、-2)
3.已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:
①A、B关于x轴对称;②A、B关于y轴对称;③A、B关于原点对称;④若A、B之间的距离为4,其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
※4.已知M(0,2)关于x轴对称的点为N,线段MN的中点坐标是()
A.(0,-2)B.(0,0)C.(-2,0)D.(0,4)
5.点A(-4,-3)与B(4,-3)关于对称
6.一个点的纵坐标不变,把横坐标乘以-1,得到的点与原来的点的关系是___.
7.点M(-2,1)关于x轴对称的点N的坐标是________,直线MN与x轴的位置关系是___________.
8.已知A(-1,-2)和B(1,3),将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称.
9.若将⊿ABC的三个顶点横坐标不变,纵坐标均乘以-1后等到⊿A,B,C,,
则⊿A,B,C,()
A、与ABC关于X轴对称B、与⊿ABC关于y轴对称
C、与ABC关于原点对称D、向X轴负方向平移1个单位
10、点P(3-a,5-a)在第二象限,则点Q(a—3,5—a)在第象限。
11.已知A(2m+n,2)、B(1,n-m),当m,n分别为何值时
(1)A、B关于x轴对称;
(2)A、B关于y轴对称;
(3)A、B关于原点对称
12.如图,写出A、B、C关于x轴对称的点坐标,并作出与△ABC关于y轴对称的图形.
13.已知:
如图,△ABC,
(1)分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2,△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标为:
A1(,);B1(,);C1(,);A2(,);B2(,);C2(,).
(2)求△ABC的面积。
14.已知点P(x+1,2x-1)关于x轴对称的点在第一象限,试化简:
│x+2│-│1-x│.
15.已知A(-1,2)和B(-3,-1).试在y轴上确定一点P,使其到A、B的距离和最小,求P点的坐标.
16.平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(2,4),C(3,-1).
(1)试在平面直角坐标系中,标出A、B、C三点;
(2)求△ABC的面积.
(3)若
与△ABC关于x轴对称,写出
、
、
的坐标.
四、探究题
17.如图:
①写出A、B、C三点的坐标.
②若△ABC各顶点的横坐标不变,纵坐标都乘以-1,请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′,并依次连接这三个点,所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系?
③在②的基础上,纵坐标都不变,横坐标都乘以-1,在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″,并依次连接这三个点,所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系?
18.如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么地方,可使所修的渠道最短,试在图中确定该点(保留作图痕迹)
19、△ABC的顶点A在∠EOD的边OD上,B、C在∠EOD内部,分别以OE、OD为对称轴作关于△ABC的对称图形。
(2)如图,在直线
上找一点,使PA=PB.
20、如图,A、B、C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学问题,计划新建一所小学,要使学校到三个村庄的距离相等,请你在图中用尺规确定学校的位置(保留作图痕迹,并写出作法)。
四、探究题
21、如图,某地由于居民增多,要在公路边增加一个公共汽车站,A,B是路边两个新建小区,这个公共汽车站建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长?
22、电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等。
到两条公路m和n的距离也必须相等。
发射
《等腰三角形》
一、知识要点:
1.等腰三角形
(1)有两边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两个底角相等;②等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高互相重合.
(3)等腰三角形的判别方法:
①直接根据定义;②等角对等边.
2.等边三角形
(1)三边都相等的三角形叫做等边三角形.是轴对称图形,有三条对称轴.
(2)等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都是60°.
(3)等边三角形的判别方法:
①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二、题目特点:
和等腰三角形有关的题目主要有两类:
(1)计算题.如求等腰三角形的腰长,周长、角度等;
(2)说理题.如证明一个三角形是等腰(或等边)三角形;(3)实际应用题.如根据实际问题构造等腰三角形解决问题.
三、解题切入点:
解决和等腰三角形有关的计算问题,要把握等腰三角形的性质,注意分类思想在等腰三角形中的应用.解决证明问题主要依据等腰(或等边)三角形的性质和判定方法,有的问题还需要作恰当的辅助线.
【目标一典型例题】
例1.如图在ΔABC中,AB=AC,E在BA延长线上,且AE=AF,
求证:
EF⊥BC
例2.已知等腰三角形的周长为21,其中一边长为5,求另外两边长
课堂练习:
1.下列说法中,正确的是( )
A.一个钝角三角形一定不是等腰三角形 B.一个等腰三角形一定是锐角三角
C.一个直角三角形一定不是等腰三角D.一个等边三角形一定不是钝角三角形
2.等腰三角形的对称轴是()
A.顶角的平分线B.底边上的高C.底边上的中线D.底边上的高所在的直线
3.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm,则该三角形的周长是()
A.17cmB.22cmC.17cm或22cmD.18cm
4.如图AB=AC,D是AE上一点,且BD=DC.求证:
AE⊥BC。
5.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠ACD=1120,求△ABC各内角的度数.
6.如图,AB=AC=AD,
(1)若AD∥BC,那么BD平分∠ABC吗?
请说明理由,并找出∠C与∠D的关系,也请说明理由.
(2)若BD平分∠ABC,那么AD∥BC吗?
请说明理由.
目标二:
等腰三角形的判定
方法1:
定义法
方法2:
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角,那么这两个角所对的边简成.
【目标二典型例题】
例1.已知,∠CAE是△ABC的外角,∠EAD=∠DAC,AD∥BC求证:
AB=AC
例2.如图,BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高,DE∥BC,求证:
△BDE是等腰三角形
例3.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是角平分线。
求证:
BC=AC+AD
课堂练习:
1.等腰三角形有两边长是4cm和9cm,则这个三角形的周长是().
或22cm
2.若等腰三角形的底边长15cm,一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是8cm,则腰长是().
A.7cm或23cmD.以上都不对
3.等腰三角形的一个角是70°,则一腰上的高与另一腰的夹角是().
A.20°B.50°C.20°或50°D.70°
4.已知一个等腰三角形的内角度数之比是1:
4,则这个等腰三角形的顶角为().
A.20°B.120°C.36°D.20°或120°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D且交AB于F.
求证:
△AEF为等腰三角形.
6.如图,把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,重合部分(即△BDF)是等腰三角形吗?
请说明理由.
8.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF,
EF交BC于D.求证:
DE=DF.
目标三:
等边三角形
1.条边都相等的三角形叫做(也叫).
2.等边三角形的性质:
(1)等边三角形的三个内角都_________,并且每一个内角都等于;
(2)等边三角形是 图形,有条对称轴.
(3)等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都
3.等边三角形的判定:
(1) 个角都相等的三角形是 三角形;
(2)有一个角是 的 三角形是 三角形.
4.直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半
【目标三典型例题】
例1.在正三角形ABC的边AB、AC上分别取点M、N,使得∠1=∠2,连接BN、CM.
(1)求证:
BN=CM;
(2)求∠NOC的度数.
例2.如图,在等边△ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF,求证:
△DEF是等边三角形.
【目标三课堂练习】
1.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个角是60°,那么这个三角形是()
A.等腰三角形但不是等边三角形B.有一个内角是120°的等腰三角形
C.等边三角形D.有一个内角是30°的直角三角形
2.如图已知OA=10,P是射线ON上的一动点(即P可在射线ON上移动),
∠AON=60O,当OP=时,△AOP为等边三角形.
3.如图等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,∠BDE=∠CDF=60°,
图中与BD相等的线段共有条.
4.在△ABC中,AB=AC,∠A=120O,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,求证BM=MN=NC.
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、E。
求证:
EB=2AC
6.已知△ABC为等边三角形,在图1中,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,直线BN与AM相交于Q点.
(1)请猜一猜:
图1中∠BQM等于多少度?
(2)若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上,其他条件不变,如图2所示,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
课后练习
一、选择题
1.已知M(a,3)和N(4,b)关于y轴对称,则
的值为( )
B、-1 C.
D.
2.已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称,AB和A′B′所在的直线交于点P,下面四个结论:
①AB=A′B′;②点P在直线1上;③若A、A′是对应点,则直线1垂直平分线段AA′;④若B、B′是对应点,则PB=PB′,其中正确的是()
A.①③④B.③④C.①②D.①②③④
3.将两块全等的直角三角形(有一锐角为30
)拼成一个四边形,其中轴对称图形的四边形有多少个()
A、1 B、2 C、3 D、4
4.如图所示,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )
A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B两内角平分线的交点处
5.下列说法中错误的是()
A成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B关于某条直线对称的两个图形全等
C全等的三角形一定关于某条直线对称
D若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合,我们称两个图形成轴对称
6.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm,则该三角形的周长是()
A.17cmB.22cmC.17cm或22cmD.18cm
7.等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是()
A.40°B.50°C.60°D.30°
8.等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是()
A.100°B.100°或40°C.40°D.80°
9.已知:
在△ABC中,AB=AC,O为不同于A的一点,且OB=OC,则直线AO与底边BC的关系为()
A.平行垂直且平分BC
C.斜交垂直但不平分BC
10.如图,在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>,其中面积相等的图形是()
A.<1>和<2>B.<2>和<3>C.<2>和<4>D.<1>和<4>
二、
填空题
11.如图所示,镜子里号码如图,则实际纸上的号码是____.
12.一个汽车车牌在水中的倒影为W5236499,则该车的牌照号码是______.
13.已知A(-1,-2)和B(1,3),将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称.
14.如图3,在△ABC中BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是_______cm
15.如图4,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有____个
16.已知等腰三角形的一个角为42°,则它的底角度数_______.
17.如图,
和
是
分别沿着
边翻折
形成的,若
,则
的度数是.
18.如图,在
中,
,
,
分别是
,
的中点,
,
为
上的点,连结
,
.若
,
,
,则图中阴影部分的面积为
.
三、解答题
19.(6分)如图5,设点P是∠AOB内一个定点,分别画点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连结P1P2交于点M,交OB于点N,若P1P2=5cm,则△PMN的周长为多少?
20.(6分)如图7,已知:
△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D。
求证:
AD是∠BAC的平分线。
21.(10分)如图9,△ABC是边长为1的等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,E、F分别在AB、AC上,且∠EDF=60°,求△AEF的周长.
22.如图所示,△ABC是等边三角形,延长BC至E,延长BA至F,使AF=BE,连结CF、EF,过点F作直线FD⊥CE于D,试发现∠FCE与∠FEC的数量关系,并说明理由.
23.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E,求证CT=BE.
24.如图,已知△ABC中,AH⊥BC于H,∠C=35°,且AB+BH=HC,求∠B度数.
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