椭圆练习题经典归纳.docx
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椭圆练习题经典归纳
初步圆锥曲线
感受:
已知圆0以坐标原点为圆心且过点丄,二3,M,N为平面上关于原点对称的两点,已知N的坐
22
标为0,3,过N作直线交圆于A,B两点
3
(1)求圆0的方程;
(2)求ABM面积的取值范围
2.曲线方程和方程曲线
(1)曲线上点的坐标都是方程的解;
(2)方程的解为坐标的点都在曲线上.
3.轨迹方程
例题:
教材R37A组.T3T4B组T2
练习1•设一动点P到直线I:
x3的距离到它到点A1,0的距离之比为二,则动点P的轨迹方程是
3
练习2•已知两定点的坐标分别为A1,0,B2,0,动点满足条件MBA2MAB,则动点M的轨迹方程为
总结:
求点轨迹方程的步骤:
(1)建立直角坐标系
(2)设点:
将所求点坐标设为x,y,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
(3)列式:
从已知条件中发掘x,y的关系,列出方程
4.设直线方程
设直线方程:
若直线方程未给出,应先假设•
(1)若已知直线过点(x),y0),则假设方程为y-y0=k(x-x0);
(2)若已知直线恒过y轴上一点0,t,则假设方程为ykxt;
(3)若仅仅知道是直线,则假设方程为ykxb
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论;
(4)若已知直线恒过x轴上一点(t,0),且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设
1
直线为x=my+t。
【反斜截式,m=—】不含垂直于y轴的情况(水平线)
k
例题:
圆C的方程为:
x2y220.
(1)若直线过点(0,4)且与圆C相交于A,B两点,且AB2,求直线方程.
(2)若直线过点(1,3)且与圆C相切,求直线方程.
(3)若直线过点(4,0)且与圆C相切,求直线方程.
附加:
C:
(x3)2(y4)24.
若直线过点(1,0)且与圆C相交于P、Q两点,求SCPQ最大时的直线方程
椭圆
1、椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点,则有
|MF訂|MF2|2a.
注意:
2aF1F2表示椭圆;2aF1F2表示线段FiF2;2aF1F2没有轨迹;
2、椭圆标准方程
22
标准方程右自1ab0
22
椭圆标准方程:
务占1(ab0)(焦点在x轴上)a2b2
22或爲笃1(ab0)(焦点在y轴上)。
a2b2
注:
(1)以上方程中a,b的大小ab0,其中b2a2c2;
(2)要分清焦点的位置,只要看x2和y2的分母的大小,“谁大焦点在谁上
一、求解椭圆方程
22
1已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为.
3k2k
2.椭圆2x23y26的焦距是()
A.2B.2(.3.2)C.2、5D.2(.3..2)
3.若椭圆的两焦点为(一2,0)和(2,0),且椭圆过点(-,-),则椭圆方程是()
22222222
a.y_x_1b.y_1c.y_x_!
d.乞兰〔
8410648106
4.过点(3,—2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是()
22
Axy
A.1B.
1510
22
xy
510
1C.
x2y2
22
xy1
2510
1015
1D.
5.椭圆的两个焦点是F<-
1,0),
E(1,0)
P为椭圆上一点,且
|F冋是|PF|与|PF|的等差中项,
则该椭圆方程是.
()
22
2
2
2
2
22
A.x+y=1B.
x+
y=1
C.x+
y=1
D.x+y=1
169
16
12
4
3
34
二、椭圆定义的应用
22
1.椭圆Xy1上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为()
2516
A.2B.3C.5D.7
a-(a0),则点P的轨迹是a
2.设定点F(0,—3)、F2(0,3),动点P满足条件PF1I|PF2
3.
4.
5.
A.椭圆
过椭圆4x22y2
abf2,那么
构成
A.
椭圆
B.线段
C.不存在
1的一个焦点F1的直线与椭圆交于
abf2的周长是()
2
x
25
A.4
椭圆
2
x_
12
D.椭圆或线段
B两点,则A、B与椭圆的另一焦点F2
2
y1上的点M到焦点
9
C.8
2
孔1的焦点为F1和F2
3
F的距离是2,N是MF的中点,贝V|ON为()
点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,那么PF1是PF2
三、求椭圆轨迹方程
1.Fi、F2是定点,厅冋=6,动点M满足|MF|+|MF|=6,则点M的轨迹是
A.椭圆B.直线C.线段D.圆
4
2.设A,B的坐标分别为5,0,5,0•直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-,
9
求点M的轨迹方程
3.已知圆C:
(x1)2y225及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M则点M的轨迹
方程为
22
4.P是椭圆—L=1上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M则PM中点的轨迹方程为
95
A42
A、x
2
y1
B
2x
、
4
2
y
22
1C、xy1
22
xy
D、=1
9
5
9
5
920
365
5.动圆与圆
O:
x2
2
y
1外切,
与圆
c:
x2y26x80内切,
那么动圆的圆心M的轨迹是:
A.抛物线
B.
圆
C.
椭
圆
D.双曲线一支
6.设M
x,y与定点F4,0的距离和它到直线
254
的距离的比是常数,求点M的轨迹方程.
45
四、焦点三角形
22
1•椭圆xy1的焦点F1、F2,P为椭圆上的一点,已知PF1
259
PF2,则厶F1PF2的面积为()
A.9
12C.10
22
2.F1,F2是椭圆—L1的两个焦点,
97
7.5
2
3•若点P在椭圆二
2
1上,F2分别是椭圆的两焦点,且F1PF290,贝VF1PF2的面积是
A.2
B.
C.
<3
D.
2
4.若P为椭圆—
4
1上的一点,为左右焦点,若
F1PF2—,求点P到x轴的距离
3
2
5•设P是椭圆1
4
2
x
6.若P在椭圆—
25
1(5b0)上的一点,
F1,F2为左右焦点,
若F1PF2的最大值为一,贝椭
2
圆的方程为
五、椭圆的简单几何性质
左焦点坐标
求离心率(构造a,c的齐次式,解出e)
1.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为
A.
2x
2
y
1
或
2x
2
y
144
128
128
144
2
2
2
2
C.
x
y_
1或
x
y_
1
36
32
32
36
1
1,长轴长为12,则椭圆方程为(
)
3
1
1B
2
x
6
2
y
4
2
2
2
2
D
x
y
1或—
y
4
6
6
4
2.已知椭圆mf5y2
5mm
0的离心率为e
3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是
22
4.若椭圆x2占1,(ab0)短轴端点为P满足PFiPF2,则椭圆的离心率为e
ab
5.已知丄
m
2
1(m0.n0)则当mn取得最小值时,椭圆笃
m
2
爲1的离心率为e
n
2
6.椭圆X2
a
2y_b2
1
1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)B(O,b),若右焦点F到直线AB的距离等于—IAFI,
2
则椭圆的离心率为
7.以椭圆的右焦点
Fi,直线MF与圆相切,则椭圆的离心率为
F为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于MN两点,椭圆的左焦点为
e
8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△FFE为等腰直角三角
形,则椭圆的离心率为e.
9.已知F1、F2是椭圆的两个焦点
ujuuuuuu
满足MRMF20的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范
围是
22
10.设F1,F2分别是椭圆笃每1(ab
ab
0)的左、右焦点,若在其右准线上存在P,使线段PF1
的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是
六、直线与椭圆的位置关系
联立直线与椭圆方程,消参数,得关于x或y的一个一元二次方程;
(1)相交:
0,直线与椭圆有两个交点;
(2)相切:
0,直线与椭圆有一个交点;
(3)相离:
0,直线与椭圆无交点;
弦长公式:
若直线l:
y
22
kxm与椭圆x2-y?
1(ab0)相交于P,Q两点,求弦长
ab
|PQ|的步骤:
P(Xi,yi),Q(X2,y2),联立方程组(将直线方程代入椭圆方程)
22消去y整理成关于x的一元二次方程:
a2b2,
又P,Q两点在直线l上,故y1kx_,m,y2kx2m,则y2y1k(x2x1),从而
1k2
|PQ|、(X2xj2(y2yi)2,(X2G2k2(X2xj2,(1k2)(X2xj2
【注意:
如果联立方程组消去
■.(1k2)[(xix2)24x1x2]
x整理成关于y的一元二次方程:
Ay2+By+C=0,则
X1
1.已知椭圆方程为——y21与直线方程|:
yx一相交于A、B两点,求AB=
22
2.设抛物线y24x截直线y2xm所得的弦长AB长为3.5,求m=.
2
3.椭圆方程为—y21,通径=.
2
22l
4.椭圆乙y-1上的点到直线x2y,20的最大距离是()
164
A.3B.訶1C.2迈D.帀
点差法
1.椭圆4x29y2144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程
22
2.过椭圆M:
笃爲=1(a>b>0)右焦点的直线xy.30交M于A,B两点,P为AB的中点,
a2b2
1
且OP的斜率为丄.求M的方程
2
综合问题
1•已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,
2
两准线(注:
左右准线方程为x—)间的距离为4
c
(1)求椭圆的方程;
(2)直线I过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当AAOB面积取得最大值时,求直线I的方程•
2
X2
2•已知椭圆G:
y21,过点(m,0)作圆x
4
2
y1的切线I交椭圆G于A,B两点
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
3•已知椭圆
2
x
C二
a
2亦
:
=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为
(I)求椭圆C的方程;
j3
(n)设直线I与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线I的距离为,求△AOB面积的最大值
4.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(n)若直线I:
ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:
直线I过定点,并求出该定点的坐标
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