[精品]人教版中职数学教案-第六章--数列[7份教案].doc
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6.1.1数列的定义
【教学目标】
1.理解数列的有关概念和通项公式的意义.
2.了理解数列与函数的关系,培养学生观察分析的能力.
3.使学生体会数学与生活的密切联系,提高数学学习的兴趣.
【教学重点】
数列的概念及其通项公式.
【教学难点】
数列通项公式的概念.
【教学方法】
这节课主要采用情景教学法.利用多媒体,在教师的引导下,根据学生的认知水平,设计了创设情境——引入概念,观察归纳——形成概念,讨论研究——深化概念,即时训练——巩固新知等环节.各步骤环环相扣,层层深入,引导学生体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法,使之获得内心感受.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1.讲故事,感受数列
2.提出问题,引入新课
我国有用十二生肖纪年的习俗,每年都用一种动物来命名,12年轮回一次.2009年(农历乙丑年)是21世纪的第一个牛年,请列出21世纪所有牛年的年份.
教师讲述古印度传说故事《棋盘上的麦粒》.
学生倾听故事,认识数列.
教师提出问题.
学生分组讨论,找出问题的答案.
创设情境,让学生认识数列,激发学生的好奇心,增强学生的学习兴趣.
提出和本节课密切相关的问题,让学生思考,充分发挥学习小组的作用,展开讨论.
新
课
新
课
新
课
1.数列的定义
把21世纪所有牛年的年份排成一列,得到
2009,2021,2033,2045,2057,2069,2081,2093.①
像①这样按一定次序排列的一列数,叫做数列.
数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,…,比如,2009是数列①的第1项(或首项),2093是数列①的第8项.
举出一些数列的例子:
大于3且小于11的自然数排成一列
4,5,6,7,8,9,10;②
正整数的倒数排成一列
1,,,,…;③
精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排成一列
1,1.4,1.41,1.414,…;④
-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…排成一列
-1,1,-1,1,-1,…;⑤
无穷多个2排成一列
2,2,2,2,…;⑥
这些都是数列.
2.数列的分类
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
练习
(1)已知数列,,,,…,则3是它的第项.
(2)已知数列1,,-,,…,
(-1)n+1·,…,那么它的第10项是().
(A)-1(B)1
(C)-(D)
3.数列的一般形式
数列从第一项开始,按顺序与正整数对应.所以数列的一般形式可以写成
a1,a2,a3,…,an,…,
其中,an是数列的第n项,叫做数列的通项,n叫做an的序号.
整个数列可记作{an}.
4.数列的通项公式
如果an(n=1,2,3,…)与n之间的关系可用
an=f(n)
来表示,那么这个关系式叫做这个数列的通项公式,其中n的取值是正整数集的一个子集.由此可知,数列的通项可以看成以正整数集的子集为定义域的函数.
例如,数列
1,,,,…,,…可记作{},其通项公式为
an=,nÎN+.
如果数列通项的定义域是正整数集,定义域通常略去不写.
教师在学生探究的基础上,给出问题的答案.
教师板书定义.
教师出示一组数列的例子.
师:
数列4,5,6,7,8,9,10;与10,9,8,7,6,5,4是不同的数列.
而集合{4,5,6,7,8,9,10}与{10,9,8,7,6,5,4}是相同的集合.
强调数列的有序性,集合元素的无序性.
教师利用上面举过的例子,讲解“数列的分类”.
请学生指出上述数列中的有穷数列和无穷数列:
①②是有穷数列,③④⑤⑥是无穷数列.
同桌之间讨论,完成练习.
教师巡视指导.
观察数列.
1,,,,….
教师提出问题:
数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?
这一关系可否用一个公式表示?
学生分组讨论.
对于上面的数列,第一项与这一项的序号有这样的对应关系:
项1
↓↓↓↓
序号1234
这个数列的每一项与这一项的序号可用公式
an=
来表示其对应关系.
强调数列的“有序性”,使学生对数列定义有更深刻的认识,又为后面学习数列的通项公式埋下伏笔.
重视举例这一环节,调动学生的思维,发挥学生的主动性,加深对数列定义的理解.
观察实例,培养学生分类能力.
通过练习,让学生进一步掌握数列的定义.
培养学生的观察能力和由特殊到一般的归纳能力.
小
结
本节课主要学习了以下内容:
1.数列的定义;
2.数列的分类;
3.数列的通项公式.
学生阅读课本P3~P5上半部分,畅谈本节课的收获,教师引导梳理,总结本节课的知识点.
培养学生自己归纳、总结的学习习惯.
作
业
教材P4,探索与研究.
学生课后完成.
巩固拓展.
6.1.2数列的通项
【教学目标】
1.理解数列的通项公式的意义,能根据通项公式写出数列的任意一项,以及根据其前几项写出它的一个通项公式.
2.了解数列的递推公式,会根据数列的递推公式写出前几项.
3.培养学生积极参与、大胆探索的精神,培养学生的观察、分析、归纳的能力.
【教学重点】
数列的通项公式及其应用.
【教学难点】
根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式.
【教学方法】
本节课主要采用例题解决法.通过列举实例,进一步研究数列的项与序号之间的关系.通过三类题目,使学生深刻理解数列通项公式的意义,为以后学习等差数列与等比数列打下基础.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
⒈数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意:
(1)数列中的数是按一定次序排列的;
(2)同一个数在数列中可以重复出现.
2.数列的一般形式
数列a1,a2,a3,…,an,…,可记作{an}.
3.数列的通项公式:
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
教师引导学生复习.
为学生进一步理解通项公式,应用通项公式解决实际问题做好准备.
新
课
新
课
新
课
新
课
如果已知一个数列的通项公式,则可依次用限定的正整数1,2,3,…去代替公式中的n,就可求出数列中的各项.
例1根据通项公式,写出下面数列{an}的前5项:
(1)an=;
(2)an=(-1)n·n.
解
(1)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为
,,,,;
(2)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为
-1,2,-3,4,-5.
练习一
根据下列数列{an}的通项公式,写出它的前5项:
(1)an=n3;
(2)an=5(-1)n+1.
练习二
根据下列数列{an}的通项公式,写出它的第7项和第10项:
(1)an=;
(2)an=n(n+2);
(3)an=;
(4)an=-2n+3.
例2写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,3,5,7;
(2),,,;
(3)-,,-,.
解
(1)数列的前四项1,3,5,7都是序号的2倍减去1,所以它的一个通项公式是
an=2n-1;
(2)数列的前四项,,,分母都是序号加上1,分子都是分母的平方减去1,所以它的一个通项公式是
an==;
(3)数列的前四项-,,-,的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是
an=.
总结:
(1)当一个数列中的数依次出现“+”“-”相间时,应先把符号分离出来,用(-1)n或(-1)n+1等来表示.
(2)认真观察各数列所给出的项,寻求各项与序号的关系,归纳其规律,抽象出其通项公式.
练习三
(1)已知一个数列的前4项分别是,,,,…,则它的一个通项公式是.
(2)数列,,,,…的一个通项公式是().
(A)(B)
(C)(D)
例3已知数列{an}的第1项是1,以后各项由公式
an=1+(n≥2)
给出,写出这个数列的前5项.
例3中的函数表达式,表达的是任一项an与它的前一项an-1的关系,这样的关系式叫做数列的递推公式.
解不难得出
a1=1;
a2=1+=1+=2;
a3=1+=1+=;
a4=1+=1+=;
a5=1+=1+=.
练习四
(1)已知数列{an},其中a1=1981,an=an-1+12,n≥2,写出这个数列的前5项.
(2)已知数列{an}中,a5=2009,an=an-1+12,n≥2.求a1.
学生解答例题.
师:
你能总结一下这类题目的解决方法吗?
学生总结解法,教师点拨、解答学生疑难,多媒体出示解题过程.
请学生在黑板上做练习一和练习二.
老师巡视指导.
师生共同订正答案.
教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系:
项1357
↓↓↓↓
序号1234
师:
你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗?
学生探究找出规律:
数列的前四项1,3,5,7都是序号的2倍减去1.
师:
如何用含有n的式子来表示第n项an?
教师对学生的回答给以点评,板书解题过程.
学生根据
(1)题的解题思路,分组合作,讨论解答后两道题.
教师巡视指导.
教师说明数列的通项公式可以不止一个.
教师引导学生总结.
师:
当一个数列中的数依次出现“+”“-”相间时,应如何解决?
师:
根据数列的前几项,写数列的一个通项公式的方法是什么?
学生合作探究,完成练习.
教师巡视指导.
师生共同订正答案.
教师出示例3,引导、点拨.
师:
数列中,an项与an-1项是什么关系?
引导学生得出:
是任一项与前一项的关系.
教师给出递推公式的定义.
学生分组探究.
教师巡视指导,强调代数计算
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