高中数学 含参集合分类讨论问题.docx
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高中数学含参集合分类讨论问题
含参集合分类讨论问题
重点知识梳理
1.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.
2.用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是:
(1)明确讨论的对象;
(2)进行合理分类,所谓合理分类,应该符合三个原则:
①分类应按同一标准进行;
②分类应当没有遗漏;
③分类应是没有重复的;
(3)逐类讨论,分级进行;
(4)归纳并作出结论.
3.集合中引起分类讨论的原因:
(1)由元素的特性引起的讨论;
(2)由空集引起的讨论;
(3)由方程的有解性引起的讨论.
典型例题剖析
例1 同时满足:
(1)M⊆{1,2,3,4,5};
(2)若a∈M,则(6-a)∈M的非空集合M有多少个?
并写出这些集合.
【解析】按集合M中元素个数分类讨论:
M中只有1个元素时,若3∈M,则6-a=6-3=3∈M,所以M={3};
M中有2个元素时,满足条件的M有2个:
M={1,5},M={2,4};
M中有3个元素时,满足条件的M有2个:
M={1,3,5},M={2,3,4};
M中有4个元素时,满足条件的M只有1个:
M={1,2,4,5};
M中有5个元素时,满足条件的M也只有1个:
M={1,2,3,4,5},
所以适合条件的集合M共有7个.
变式训练 已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
【答案】A
【解析】∵M∩N={-3},∴-3∈N={a-3,2a-1,a2+1},
若a-3=-3,则a=0,此时M={0,1,-3},N={-3,-1,1},则M∩N={-3,1},
故不适合.
若2a-1=-3,则a=-1,此时M={1,0,-3},N={-4,-3,2},M∩N={-3},
满足题意.
若a2+1=-3,此方程无实数解.
故选A.
【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质:
无序性、互异性、确定性.
例2 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+ax+a=0},若B⊆A,求实数a的取值范围.
【解析】A={0,-4}.
①B=∅时,Δ=a2-4a<0,即0 ②B≠∅时,即B={0}或B={-4}或B={-4,0}. 当B={0}时,a=0满足题意; 当B= 或B={-4,0}时,均不满足题意. 综上所述,a的取值范围是{a|0≤a<4}. 变式训练 已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围; (2)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围. 【解析】 (1)当a=0时,方程ax2-3x+2=0化为-3x+2=0,解集非空; 当a≠0时,要使A是空集,则Δ=(-3)2-8a<0, 解得a> . ∴使A是空集的a的取值范围是{a|a> }. (2)当a=0时,集合A中有一个元素; 当a≠0时,若A中有两个元素,则Δ=(-3)2-8a>0,解得a< . 综上,使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{a|a=0或a≥ }. 例3 已知集合A={x|1 (1)若A⊆B,求实数m的取值范围; (2)若A∩B=∅,求实数m的取值范围. 【解析】 (1)由A⊆B知 , 得m≤-2,即实数m的取值范围为{m|m≤-2}. (2)由A∩B=∅得: ①若2m≥1-m即m≥ ,B=∅,符合题意; ②若2m<1-m即m< ,需 或 得0≤m< 或∅,即0≤m< . 综上知m≥0,即实数m的取值范围为{m|m≥0}. 变式训练 设集合P= , Q= . (1)若P∪Q=P,求实数a的取值范围; (2)若P∩Q=∅,求实数a的取值范围; 【解析】 (1)由题意知P= , ∵P∪Q=P,∴Q⊆P. ①当Q=∅时,得2a>a+3,解得a>3; ②当Q≠∅时,得-2<2a≤a+3<3,解得-1<a<0. 综上,实数a的取值范围是{a|-13}. (2)①当Q=∅时,得2a>a+3,解得a>3; ②当Q≠∅时,得 , 解得a≤-5或 ≤a≤3. 综上,实数a的取值范围是{a|a≤-5或a≥ }. 跟踪训练 1.由实数a,-a,|a|所组成的集合里,所含元素个数最多有( ) A.0个B.1个C.2个D.3个 2.在集合A={1,a2-a-1,a2-2a+2}中,a的值可以是( ) A.0B.1C.2D.1或2 3.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则a的值为( ) A.0B.1C.0或1D.-1 4.设P、Q为两个非空实数集,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) A.6B.7C.8D.9 5.集合M={1,2},N={1,2,3},P={x|x=ab,a∈M,b∈N},则集合P的元素个数为( ) A.3B.4C.5D.6 6.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为( ) A.2B.3 C.0或3D.0,2,3均可 7.设集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},定义集合S={(a,b)|a∈A,b∈B,a+b>ab},则集合S中元素的个数是( ) A.5B.6C.8D.9 8.已知集合A={a,a2+2a-2,3},且1∈A,则a=______. 9.若集合A={-1,1},B={x|ax=1},且B⊆A,则实数a取值的集合为________. 10.设集合A={1,0,a},若a2∈A,则实数a的值为______. 11.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的取值集合. 12.已知A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}, (1)若A⊆B,求a的取值范围; (2)若A∩B=∅,求a的取值范围. 13.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B⊆A,求实数a的取值范围. 参考答案 1.C 根据题意,分三种情况讨论: ①a=0,有a=-a=|a|,组成的集合中有一个元素; ②a>0,有a=|a|,组成的集合中有两个元素; ③a<0,有-a=|a|,组成的集合中有两个元素. 故在其组成的集合里,所含元素个数最多有2个. 选C. 2.A 当a=0时,a2-a-1=-1,a2-2a+2=2, 当a=1时,a2-a-1=-1,a2-2a+2=1, 当a=2时,a2-a-1=1,a2-2a+2=2, 由集合中元素的互异性知选A. 3.C 若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素, 则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解. 当a=0时,方程可化为2x+1=0,满足条件; 当a≠0时,二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解, 则Δ=4-4a=0,解得a=1. 故满足条件的a的值为0或1. 故选C. 4.C ∵P={0,2,5},Q={1,2,6},P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}, ∴当a=0时,b∈Q,P+Q={1,2,6}; 当a=2时,b∈Q,P+Q={3,4,8}; 当a=5时,b∈Q,P+Q={6,7,11}, ∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}. 故选C. 5.C 当a=1,b=1时,x=1; 当a=1,b=2时,x=2; 当a=1,b=3时,x=3; 当a=2,b=1时,x=2; 当a=2,b=2时,x=4; 当a=2,b=3时,x=6, 根据集合的元素满足互异性,得P={1,2,3,4,6},共5个元素. 故选C. 6.B 解析 由2∈A可知: 若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0矛盾; 若m2-3m+2=2,则m=0或m=3, 当m=0时,与m≠0矛盾, 当m=3时,此时集合A的元素为0,3,2,符合题意. 7.C ∵集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},a∈A,b∈B, ∴a可取1,2,3,b可取0,1,2,4. (1)当a=1时, b=0,由a+b=1,ab=0,a+b>ab成立,数对(1,0)为S的一个元素; b=1,由a+b=2,ab=1,a+b>ab成立,数对(1,1)为S的一个元素; b=2,由a+b=3,ab=2,a+b>ab成立,数对(1,2)为S的一个元素; b=4,由a+b=5,ab=4,a+b>ab成立,数对(1,4)为S的一个元素; (2)当a=2时, b=0,由a+b=2,ab=0,a+b>ab成立,数对(2,0)为S的一个元素; b=1,由a+b=3,ab=2,a+b>ab成立,数对(2,1)为S的一个元素; b=2,由a+b=4,ab=4,a+b>ab不成立,数对(2,2)不是S的元素; b=4,由a+b=6,ab=8,a+b>ab不成立,数对(2,4)不是S的元素; (3)当a=3时, b=0,由a+b=3,ab=0,a+b>ab成立,数对(3,0)为S的一个元素; b=1,由a+b=4,ab=3,a+b>ab成立,数对(3,1)为S的一个元素; b=2,由a+b=5,ab=6,a+b>ab不成立,数对(3,2)不是S的元素; b=4,由a+b=7,ab=12,a+b>ab不成立,数对(3,4)不是S的元素. 故S的元素有八个,分别为: (1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1). 故答案为C. 8.-3 解析 ∵1∈A, ∴1=a或1=a2+2a-2, ∴a=1或a=-3. ∴当a=1时,a2+2a-2=1,不符合集合中元素的互异性,故a=1应舍去; 当a=-3时,a2+2a-2=1,满足题意, ∴a=-3. 9.{-1,0,1} 10.-1 解析 ∵A={1,0,a},若a2∈A, 则a2=1或a2=0或a2=a, 解得a=1或a=-1或a=0. 当a=1时,A={1,0,1},不成立. 当a=-1时,A={1,0,-1},成立. 当a=0时,A={1,0,0},不成立. 故a=-1. 11.解析 因为1∈A,所以 ①若a+2=1,解得a=-1,此时集合为{1,0,1},元素重复,所以不成立,即a≠-1. ②若(a+1)2=1,解得a=0或a=-2,当a=0时,集合为{2,1,3},满足条件,即a=0成立. 当a=-2时,集合为{0,1,1},元素重复,所以不成立,即a≠-2. ③若a2+3a+3=1,解得a=-1或a=-2,由①②知都不成立. 所以满足条件的实数a的取值集合为{0}. 12.解析 A={x|2 当a=0时,B=∅; 当a>0时,B={x|a 当a<0时,B={x|3a (1)①当a=0时,B=∅,不合题意; ②当a>0时,∵A⊆B, ∴ ∴ ∴ ≤a≤2; ③当a<0时,∵A⊆B, ∴ ∴ 无解. 综上,a的取值范围是{a| ≤a≤2}. (2)①当a=0时,B=∅,满足题意; ②当a>0时,需a≥4或3a≤2, ∴a≥4或0<a≤ ; ③当a<0时,需a≤2或3a≥4, ∴a<0. 综上,a的取值范围是{a|a≤ 或a≥4}. 13.解析 由题意知A={0,-4},又B⊆A, ∴B=∅或B={0}或B={-4}或B={0,-4}, 当B=∅时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实根, ∴Δ<0,即4(a+1)2-4(a2-1)<0,∴a<-1. 当B={0}时,由 得a=-1. 当B={-4}时,由 知无解. 当B={0,-4}时,由韦达定理得a=1. 综上所述,a的取值范围为{a|a=1或a≤-1}.
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