高三大一轮复习数学文学案课件 教师用书 课时规范训练第四章 三角函数解三角形 17份打包.docx
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高三大一轮复习数学文学案课件教师用书课时规范训练第四章三角函数解三角形17份打包
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[知识梳理]
1.角的概念
(1)任意角:
①定义:
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形;②分类:
角按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
(3)象限角:
使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
2.弧度制
(1)定义:
在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化:
180°=πrad,1°=rad,
1rad=°.
(3)扇形的弧长公式:
l=|α|·r,扇形的面积公式:
S=lr=|α|·r2.
3.任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).
三个三角函数的初步性质如下表:
4.三角函数线
如下图,设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线;有向线段OM为
余弦线;有向线段AT为正切线
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(3)角α终边上点P的坐标为,那么sinα=,cosα=-;同理角α终边上点Q的坐标为(x0,y0),那么sinα=y0,cosα=x0.( )
(4)α∈,则tanα>α>sinα.( )
(5)α为第一象限角,则sinα+cosα>1.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)√ (5)√
[基础自测]
1.(2017·陕西宝鸡一模)与610°角终边相同的角可表示为( )
A.k·360°+230°(k∈Z) B.k·360°+250°(k∈Z)
C.k·360°+70°(k∈Z)D.k·360°+270°(k∈Z)
答案:
B
2.已知sinθ<0,tanθ>0,那么角θ是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析:
选C.由sinθ<0,则θ的终边在第三、四象限,或y轴负半轴.由tanθ>0,则θ的终边在一、三象限,故θ是第三象限角.
3.(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( )
A.2B.sin2
C.D.2sin1
解析:
选C.设圆的半径为r,则sin1=,∴r=,
∴2弧度的圆心角所对弧长为2r=.
4.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cosα=________.
解析:
因为点A的纵坐标yA=,且点A在第二象限,又因为圆O为单位圆,
所以点A的横坐标xA=-,
由三角函数的定义可得cosα=-.
答案:
-
5.函数y=的定义域为________.
解析:
∵2cosx-1≥0,
∴cosx≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围
(如图阴影所示).
∴x∈(k∈Z).
答案:
(k∈Z)
类型一 角及其表示
[例1]
(1)(2017·江苏徐州模拟)若点P(m,n)是1110°角的终边上任意一点,则的值等于________.
解析 由1110°=3×360°+30°,
∴tan1110°=tan30°==,
∴=
==
==2-.
答案 2-
(2)若角α在第三象限,则在第________象限.
解析 ∵2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),
∴kπ+<<kπ+π(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+π,是第二象限角,
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+π,是第四象限角,
综上知,当α是第三象限角时,是第二或第四象限角.
答案 二或四
[方法引航]
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π]范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.
1.
(1)设集合M=,N=,那么( )
A.M=N B.M⊆N
C.N⊆M D.M∩N=∅
解析:
选B.(方法一)由于M=x={…,-45°,45°,135°,225°,…},
N=={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M⊆N,故选B.
(方法二)由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇数;
而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M⊆N,故选B.
(2)已知角α=45°,在区间[-720°,0°]内与角α有相同终边的角β=________.
解析:
由终边相同的角关系知β=k·360°+45°,k∈Z,
∴取k=-2,-1,得β=-675°或β=-315°.
答案:
-675°或-315°
类型二 弧度制的应用
[例2]
(1)已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径r=6,求的长及扇形面积.
(2)已知扇形周长为20,当扇形的圆心角为多大时,它有最大面积,最大面积是多少?
解
(1)∵α=120°=,∴l=α·r=×6=4π,
S=lr=×4π×6=12π.
(2)由已知得l+2r=20,
∴S=lr=(20-2r)·r=10r-r2=-(r-5)2+25,
所以r=5时,Smax=25,
此时,l=10,α===2(rad).
[方法引航] 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
2.
(1)在与2010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________.
解析:
2010°=π=12π-,∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-.
答案:
-
(2)已知扇形的周长为4cm,当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时,扇形面积最大.
解析:
设扇形的圆心角为α,半径为r,则
2r+|α|r=4,∴|α|=-2.
∴S扇形=|α|·r2=2r-r2=-(r-1)2+1,
∴当r=1时,(S扇形)max=1,此时|α|=2.
答案:
1 2
类型三 三角函数的意义
题点1 三角函数定义的应用
[例3]
(1)(2017·山东济南模拟)α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点且cosα=x,则x的值为( )
A. B.±
C.-D.-
解析 ∵cosα===x,
∴x=0(舍去)或x=(舍去)或x=-.
答案 C
(2)点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为( )
A.B.
C.D.
解析 由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足
x=cos=-,y=sin=.
答案 A
题点2 三角函数值的符号
[例4]
(1)设θ是第三象限角,且=-cos,则是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析 由θ是第三象限角,知为第二或第四象限角,
∵=-cos,
∴cos≤0,
综上知为第二象限角.
答案 B
(2)设角α是第三象限角,且=-sin,则角是第________象限角.
解析 由α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),kπ+<<kπ+(k∈Z),知是第二或第四象限角,再由=-sin知sin<0,所以只能是第四象限角.
答案 四
题点3 三角函数线
[例5] 满足cosα≤-的角α的集合为________.
解析 作直线x=-交单位圆于C、D两点,连接OC、OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为.
答案
[方法引航]
(1)利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:
角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.
(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号,理解并记忆:
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.
(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期性正确写出角的范围.
3.
(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( )
A.x轴上B.y轴上
C.直线y=x上D.直线y=-x上
解析:
选A.∵|cosα|=1,
∴角α的终边在x轴上.
(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3]B.(-2,3)
C.[-2,3)D.[-2,3]
解析:
选A.∵cosα≤0,sinα>0,
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴
∴-2<a≤3.故选A.
[思想与方法系列]
数形结合思想在三角函数中的应用(六)
典例
(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时,的坐标为____.
(2)(2017·安徽合肥调研)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.
思维点拨
(1)点P转动的弧长是本题的关键,可在图中作三角形,寻找P点坐标和三角形边长的关系.
(2)求函数的定义域可转化为解不等式-<sinx<,利用三角函数线可直观清晰得出x的范围.
[解析]
(1)如图所示,过圆心C作x轴的垂线,垂足为A,过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,所以劣弧=2,即圆心角∠PCA=2,
则∠PCB=2-,所以|PB|=sin=-cos2,
|CB|=cos=sin2,
所以xp=2-|CB|=2-sin2,yP=1+|PB|=1-cos2,
所以=(2-sin2,1-cos2).
(2)∵3-4sin2x>0,
∴sin2x<,∴- 利用三角函数线画出x满足条件的 终边范围(如图阴影部分所示), ∴x∈(k∈Z). [答案] (1)(2-sin2,1-cos2) (2)(k∈Z) [警示] (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化,结合弧长公式、三角函数定义寻找关系. (2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况,然后观察适合条件的角的位置. 思想方法 感悟提高 [方法与技巧] 1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀: 一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. [失误与防范] 1.注意易混概念的区别: 象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况. 课时规范训练[单独成册] [A组 基础演练] (时间: 35分钟) 1.给出下列四个命题: ①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角. 其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 解析: 选C.-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角,②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确. 2.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.B. C.-D.- 解析: 选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 故A,B不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的.即为-×2π=-. 3.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),则sinα等于( ) A.sin2B.-sin2 C.cos2D.-cos2 解析: 选D.因为r==2,由任意三角函数的定义,得sinα==-cos2. 4.已知△ABC是锐角三角形,若角θ终边上一点P的坐标为(sinA-cosB,cosA-sinC),则++的值是( ) A.1B.-1 C.3D.4 解析: 选B.因为△ABC是锐角三角形,所以A+B>90°,即A>90°-B,则sinA>sin(90°-B)=cosB,sinA-cosB>0,同理cosA-sinC<0,所以点P在第四象限,++=-1+1-1=-1. 5.点A(sin2019°,cos2019°)位于( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析: 选C.因为sin2019°=sin(11×180°+39°) =-sin39°<0,cos2019°=cos(11×180°+39°) =-cos39°<0, 所以点A(sin2019°,cos2019°)位于第三象限. 6.设扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 解析: 设扇形的半径为rcm,弧长为lcm, 则解得∴圆心角α===2. 答案: 2 7.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为________. 解析: 由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的概念知, 角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.所以y=-1+1-1=-1. 答案: -1 8.函数y=+的定义域是________. 解析: 由题意知即 ∴x的取值范围为+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 答案: (k∈Z) 9.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB. 解: 设扇形的半径为rcm,弧长为lcm, 则解得 ∴圆心角α==2. 如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1rad. ∴AH=1·sin1=sin1(cm),∴AB=2sin1(cm). ∴圆心角的弧度数为2, 弦长AB为2sin1cm. 10.已知sinα<0,tanα>0. (1)求α角的集合; (2)求终边所在的象限; (3)试判断tansincos的符号. 解: (1)由sinα<0,知α在第三、四象限或y轴的负半轴上; 由tanα>0,知α在第一、三象限,故α角在第三象限. 其集合为. (2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z, 得kπ+< 故终边在第二、四象限. (3)当在第二象限时,tan<0, sin>0,cos<0, 所以tansincos取正号; 当在第四象限时,tan<0, sin<0,cos>0, 所以tansincos也取正号. 因此,tansincos取正号. [B组 能力突破] (时间: 25分钟) 11.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=x,则tanα=( ) A.B. C.-D.- 解析: 选D.因为α是第二象限角,所以cosα=x<0, 即x<0.又cosα=x=. 解得x=-3,所以tanα==-. 12.给出下列各函数值: ①sin(-1000°);②cos(-2200°);③tan(-10), 其中符号为负的是( ) A.①②B.② C.③D.①③ 解析: 选C.与-1000°终边相同的角是80°,所以-1000°是第一象限角,则sin(-1000°)>0;与-2200°终边相同的角是-40°,所以-2200°是第四象限角,则cos(-2200°)>0;-<-10<-3π,所以-10是第二象限角,则tan(-10)<0. 13.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内,α的取值范围是( ) A.∪B.∪ C.∪D.∪ 解析: 选B.由已知得α∈[0,2π], ∴故α∈∪. 14. 如图,A是单位圆与x轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),平行四边形OAQP的面积为S(θ). (1)求·+S(θ)的最大值及此时θ的值θ0; (2)设点B的坐标为,∠AOB=α,在 (1)的条件下,求cos(α+θ0)的值. 解: (1)由已知,得 A,P的坐标分别为(1,0),(cosθ,sinθ), ∴=(1+cosθ,sinθ),·=1+cosθ, 又S(θ)=sinθ, ∴·+S(θ)=sinθ+cosθ+1 =sin+1(0<θ<π), 故·+S(θ)的最大值是+1,此时θ0=. (2)∵cosα=-,sinα=,θ0=, ∴cos(θ0+α)=cos·cosα-sin·sinα=-. 15. 如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长. 解: 设P,Q第一次相遇时所用的时间是t, 则t·+t·=2π. 所以t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒. 设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4=的位置, 则xC=-cos·4=-2, yC=-sin·4=-2. 所以C点的坐标为(-2,-2). P点走过的弧长为π·4=π, Q点走过的弧长为π·4=π. §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 [知识梳理] 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1. (2)商数关系: =tanα. 2.下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α 图示 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 角 π-α -α +α 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y=x对称 3.诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 正切 tanα tanα -tanα -tanα 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( ) (2)若α∈R,则tanα=恒成立.( ) (3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( ) (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( ) 答案: (1)× (2)× (3)× (4)√ [基础自测] 1.(2015·高考福建卷)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于( ) A. B.- C.D.- 解析: 选D.(方法一)因为α为第四象限的角,故cosα===,所以tanα===-. (方法二)因为α是第四象限角,且sinα=-,所以可在α的终边上取一点P(12,-5),则tanα==-.故选D. 2.已知=-,那么的值是( ) A.B.- C.2D.-2 解析: 选A.由于·==-1, 故=. 3.已知sin(π-α)=log8,且α∈,则tan(2π-α)的值为( ) A.-B. C.±D. 解析: 选B.sin(π-α)=sinα=log8=-, 又α∈, 得cosα==, tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-=. 4.已知cosα=k,k∈R,α∈,则sin(π+α)=( ) A.-B. C.±D.-k 解析: 选A.由cosα=k,α∈得sinα=, ∴sin(π+α)=-sinα=-,故选A. 5.已知tan(π+α)=3,则=________. 解析: ∵tan(π+α)=3, ∴tanα=3. 原式= = ==7. 答案: 7 类型一 同角三角函数关系式的应用 [例1] (1)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( ) A.- B. C.-D. 解析 由于tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ = = == =. 答案 D (2)(2015·高考四川卷)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是________. 解析 由sinα+2cosα=0,得tanα=-2. 所以2sinαcosα-cos2α== ==-1. 答案 -1 [方法引航] (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用: 对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用: 1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 1.已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则tanα等于( ) A.-1B.- C.D.1 解析: 选A.由 消去sinα得: 2cos2α+2cosα+1=0, 即(cosα+1)2=0,∴cosα=-. 又α∈(0,π),∴α=,∴tanα=tan=-1. 类型二 诱导公式的应用 [例2] (1)已知sin
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