椭圆讲义及答案.docx
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椭圆讲义及答案
椭圆(讲义)
知识点睛
一、曲线与方程
1.曲线C上的点与二元方程f(x,y)=0的对应关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
2.求曲线的方程的一般步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件p的点M的集合
P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.二、椭圆及其标准方程
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于
|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
如图,设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).
又设M与F1,F2的距离的和等于2a(a>0).
由椭圆的定义,椭圆就是集合
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
1
因为|MF|=(x+c)2+y2,|MF|=,
12
所以
+=2a.
为化简这个方程,将左边的一个根式移到右边,得
=2a-,
将这个方程两边平方,得
(x+c)2+y2=4a2-4a
整理得
+(x-c)2+y2,
a2-cx=a,
上式两边再平方,得
整理得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),
两边同除以a2(a2-c2),得
x2+y2=
a2a2-c21.①
由椭圆的定义可知,2a>2c,即a>c,所以a2-c2>0.
由图可知,|PF|=|PF|=a,|OF|=|OF
|=c,|PO|=
1212
令b=|PO|=
a2-c2,那么①式就是x
a2
y2
b21(ab0).
2
椭圆的标准方程:
x
a2
y2
+=1(a>b>0).
b2
2
三、椭圆的几何性质
标准方程
x2+y2=>>
1(ab0)
a2b2
x2+y2=>>
1(ab0)
b2a2
图象
性质
范围
x∈[-a,a]
y∈[-b,b]
x∈[-b,b]
y∈[-a,a]
对称性
对称轴对称中心
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为
短轴B1B2的长为
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
|F1F2|=
离心率
e=c,e∈
a
a,b,c
的关系
c2=
3
精讲精练
1.
已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是()
A.2x+y+1=0
C.2x-y-1=0
B.2x-y-5=0
D.2x-y+5=0
2.已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.
3.过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A,B两点,求弦
AB的中点M的轨迹方程.
4
4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,b=1,焦点在x轴上;
(2)
a=4,c=,焦点在y轴上;
(3)a+b=10,c=2.
5.如图,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐
2
标等于右焦点的横坐标,纵坐标等于短半轴长的
3
离心率为.
,则椭圆的
6.设e是椭圆
x2+y2=
的离心率,且
e∈(1
,1),则实数k的取
1
4k2
值范围是()
A.(0,3)
16
(3
B.,)
3
C.(0,3)(16,+∞)
3
D.(0,2)
5
x2y2
7.设F1,F2分别是椭圆25+9
=1的左、右焦点,P为椭圆上一
点,M是F1P的中点,O为坐标原点,|OM|=3,则点P到椭
圆左焦点的距离为(
)
A.4
C.3
B.6
D.7
x2+y2=>
8.已知椭圆的方程是a2
1(a
25
5),它的两个焦点分别为
F1,F2,且|F1F2|=8,过点F1的直线AB交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为()
A.10B.20C.2D.4
2
2
9.
+=
已知点P是椭圆xy1上的一点,M,N分别是两圆:
259
(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()
A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12
6
10.如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?
11.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离之比是
1:
2,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
7
12.
如图,从椭圆x
a2
y2
b21(ab0)上一点P向x轴作垂线,
垂足恰为左焦点F1.又点A是椭圆与x轴正半轴的交点,点B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=+,求该椭圆的方程.
8
13.
如图,已知椭圆x
2
+=1,直线l:
4x-5y+40=0.椭圆上
259
是否存在一点,它到直线l的距离最小?
最小距离是多少?
9
14.
2
如图,椭圆E:
x
a2
y2
+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点
b2
F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求E的方程.
回顾与思考
10
【参考答案】
知识点睛
三、对称轴:
x轴、y轴;
2a2b
2c
对称中心:
原点;
(0,1)a2-b2
精讲精练
1.D2.y=1x2(x≠0)
8
3.x2-3x+y2=0
4.
(1)
x2+2
16
=1;
(2)
y2+2
16
=1;
222
(3)x+=1或+x=
36163616
5.5
3
6.C7.A8.D9.C
10.点Q的轨迹是以O,A为焦点,以r为长轴长的椭圆.
11.
点M的轨迹方程是x
2
+=1,
1612
轨迹是以(2,0)、(-2,0)为焦点,以8为长轴长的椭圆.
2
12.x+y=
105
13.存在满足题意的点,最小距离是1541
41
2
14.x+y=
189
11
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