数学22讲义+第4章 45 定积分与微积分基本定理.docx
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数学22讲义+第4章45定积分与微积分基本定理
4.5
定积分与微积分基本定理
[读教材·填要点]
1.曲边梯形的面积
(1)曲边梯形:
位于曲线y=f(x)(a≤x≤b)和x轴之间的图形,叫作函数y=f(x)在区间[a,b]上的“曲边梯形”.
(2)曲边梯形面积的计算方法:
化整为零、以直代曲,即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形,再用矩形代替小曲边梯形.
2.计算变力所做的功的方法
化整为零,以直代曲.
3.定积分的概念
设f(x)是在区间[a,b]上有定义的函数,在a,b之间取若干分点a=x0<x1<x2<…<xn=b.
记小区间[xk-1,xk]为Δk,其长度xk-xk-1记作Δxk,Δxk中最大的记作d,再在每个小区间Δk上任取一点代表点zk,作和式:
(zk)Δxk. ①
如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式①以S为极限,就说函数f(x)在[a,b]上可积,并且说S是f(x)在[a,b]上的定积分,记作S=f(x)dx.
4.微积分基本定理
如果f(x)是在[a,b]上有定义的连续函数,F(x)在[a,b]上可导并且F′(x)=f(x),
则f(t)dt=F(b)-F(a).
[小问题·大思维]
1.求曲边梯形面积时,对曲边梯形进行“以直代曲”,怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差?
提示:
为了减小近似代替的误差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”,而且分割的曲边梯形数目越多,得到的面积的误差越小.
2.求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点?
提示:
(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.
(2)求解的方法步骤相同.
3.由定积分的定义可知,f(x)dx是一个常数还是一个变量?
f(x)dx的值与哪些量有关?
提示:
由定义可得定积分f(x)dx是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量没有关系,即f(x)dx=f(t)dt=f(u)du.
4.如图所示,如何用阴影面积S1,S2,S3表示定积分f(x)dx的值?
提示:
f(x)dx=S1-S2+S3.
利用微积分基本定理求定积分
计算下列定积分:
(1)(4x-x2)dx;
(2)(x-1)5dx;
(3)(t+2)dx;(4)dx.
[自主解答]
(1)取F(x)=2x2-,
因为F′(x)=4x-x2,
所以(4x-x2)dx=F(3)-F(-1)
=-=.
(2)因为′=(x-1)5,
所以(x-1)5dx=F
(2)-F
(1)
=×(2-1)6-×(1-1)6=.
(3)取F(x)=(t+2)x,因为F′(x)=t+2,
所以(t+2)dx=F
(2)-F
(1)
=2(t+2)-(t+2)=t+2.
(4)f(x)==-,
取F(x)=lnx-ln(x+1)=ln,
则F′(x)=-.
所以dx=dx=F
(2)-F
(1)=ln.
运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点
(1)对被积函数要先化简,再求积分;
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和;
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再求积分;
(4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错.
1.计算下列定积分:
(1)(3x2-2x+1)dx;
(2)dx;
(3)(sinx-cosx)dx; (4)|1-x|dx.
解:
(1)取F(x)=x3-x2+x,
则F′(x)=3x2-2x+1.
∴(3x2-2x+1)dx=F(3)-F(-1)=24.
(2)取F(x)=x2-lnx,
则F′(x)=x-.
∴dx=F
(2)-F
(1)=-ln2.
(3)取F(x)=-cosx-sinx,
则F′(x)=sinx-cosx.
∴(sinx-cosx)dx=F(π)-F(0)=2.
(4)∵|1-x|=
∴取F1(x)=x-x2,0<x<1,
F2(x)=x2-x,1<x<2,
则F1′(x)=1-x,F2′(x)=x-1.
∴|1-x|dx=F1
(1)-F1(0)+F2
(2)-F2
(1)=1.
利用定积分求参数
已知函数f(x)=ax2+c(a≠0),若f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,求x0的值.
[自主解答] 因为f(x)=ax2+c(a≠0),
取F(x)=x3+cx,
则F′(x)=ax2+c,
所以f(x)dx=(ax2+c)dx=F
(1)-F(0)=+c=ax+c.
解得x0=或x0=-(舍去).
即x0=.
利用定积分求参数时,注意方程思想的应用.一般地,首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时,必须分清常数和变量,再进行计算;其次要注意积分下限不大于积分上限.
2.已知f(x)是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求f(x)的解析式.
解:
设f(x)=ax+b(a≠0),
取F1(x)=ax2+bx,
∴F1′(x)=f(x).
则(ax+b)dx=F1
(1)-F1(0)=a+b,
x(ax+b)dx=(ax2+bx)dx,
取F2(x)=ax3+bx2且F2′(x)=ax2+bx,
则x(ax+b)dx=F2
(1)-F2(0)=a+b,
由
解得a=4,b=3,故f(x)=4x+3.
利用定积分求曲边梯形的面积
求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.
[自主解答] 由
得或
所以直线y=-x+2与抛物线
y=x2-4的交点为(-3,5)和(2,0),
设所求图形面积为S,根据图形可得
S=[(-x+2)-(x2-4)]dx=(6-x-x2)dx,
取F(x)=6x-x2-x3,
则F′(x)=6-x-x2,
∴S=F
(2)-F(-3)=.
若将本例中“直线y=-x+2”换为“抛物线y=3-x2”,如何求解?
解:
如图所示,设所求图形面积为S,
S=dx
=dx,
取F(x)=7x-x3,
则F′(x)=7-x2,
∴S=F
(2)-F(-2)=.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形.
(2)确定图形范围,通过方程组求出交点的横坐标,确定积分上限和积分下限.
(3)确定被积函数及积分变量,确定时可以综合考察下列因素:
①被积函数的原函数易求;②较少的分割区域;③积分上限和积分下限比较简单.
(4)写出平面图形的面积的定积分表达式.
(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.
3.求曲线y=ex,y=e-x及直线x=1所围成的图形的面积.
解:
由图可知,积分区间为[0,1],
面积S=dx,
取F(x)=ex+e-x,
则F′(x)=ex-e-x,
∴S=F
(1)-F(0)=e+-2.
定积分在物理中的应用
变速直线运动的物体的速度为v(t)=1-t2,初始位置为x0=1,求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置.
[自主解答] 当0≤t≤1时,v(t)≥0,
当1≤t≤2时,v(t)<0.
所以前2秒钟内所走的路程
S=v(t)dt+[-v(t)]dt
=(1-t2)dt+(t2-1)dt
取F1(t)=t-t3,F2(t)=t3-t,
S=F1
(1)-F1(0)+F2
(2)-F2
(1)=2.
2秒末所在的位置:
x1=x0+v(t)dt=1+(1-t2)dt=.
即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x1=.
1.有关路程、位移计算公式
路程是位移的绝对值之和,从时刻t=a到时刻t=b所经过的路程s和位移s1分别为
(1)若v(t)≥0(a≤t≤b),则s=v(t)dt;s1=v(t)dt.
(2)若v(t)≤0(a≤t≤b),
则s=-v(t)dt;s1=v(t)dt.
(3)在区间[a,c]上,v(t)≥0,在区间[c,b]上,v(t)<0,
则s=v(t)dt-v(t)dt;s1=v(t)dt.
2.求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F(x),确定物体在力的方向上的位移.
(2)利用变力做功的公式W=F(x)dx计算.
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m),功的单位才为焦耳(J).
4.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:
N,位移单位:
m)作用下,沿与F(x)成30°角的方向做直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为( )
A.J B.J
C.JD.2J
解析:
W=F(x)cos30°dx=(5-x2)dx==(J).
答案:
C
求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.
[解] 由方程组解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).
法一:
选x作为积分变量,由图可看出S=A1+A2.
在A1部分:
由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为y=-,
所以SA1=[-(-)]dx=2x
dx.
取F1(x)=x
,
∴SA1=2[F1
(2)-F1(0)]=.
SA2=[4-x-(-)]dx,
取F2(x)=4x-x2+x
.
∴SA2=F2(8)-F2
(2)=.
∴S=+=18.
法二:
选y作积分变量,
将曲线方程写为x=及x=4-y.
S=
dy.
取F(y)=4y--,
∴S=F
(2)-F(-4)=30-12=18.
1.定积分(2x+ex)dx的值为( )
A.e+2 B.e+1
C.eD.e-1
解析:
取F(x)=x2+ex,则F′(x)=2x+ex,(2x+ex)dx=F
(1)-F(0)=(1+e)-(0+e0)=e.
答案:
C
2.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为( )
A.gB.g
C.gD.2g
解析:
取F(x)=gt2,则F′(x)=gt,
所以电视塔高为gtdt=F
(2)-F
(1)=2g-g=g.
答案:
C
3.s1=xdx,s2=x2dx的大小关系是( )
A.s1=s2B.s=s2
C.s1>s2D.s1 解析: xdx表示由直线x=0,x=1,y=x及x轴所围成的图形的面积,而x2dx表示的是由曲线y=x2与直线x=0,x=1及x轴所围成的图形的面积,因为在x∈[0,1]内直线y=x在曲线y=x2的上方,所以s1>s2. 答案: C 4.x4dx=________. 解析: ∵′=x4,取F(x)=x5, ∴x4dx=F (2)-F(-1) =[25-(-1)5]=. 答案: 5.若(2x+k)dx=2,则k=________. 解析: 取F(x)=x2+kx,则F′(x)=2x+k, ∴(2x+k)dx=F (1)-F(0)=1+k=2,∴k=1. 答案: 1 6.求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成平面图形的面积. 解: 作出曲线xy=1,直线x=y,y=3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积. 求交点坐标: 由得 故A;由得或(舍去), 故B(1,1);由得故C(3,3), 故所求面积S=S1+S2= dx+(3-x)dx=4-ln3. 一、选择题 1.dx等于( ) A.-2ln2 B.2ln2 C.-ln2D.ln2 解析: dx=ln4-ln2=ln2. 答案: D 2.一物体沿直线运动,其速度v(t)=t,这个物体在t=0到t=1这段时间内所走的路程为( ) A.B. C.1D. 解析: 曲线v(t)=t与直线t=0,t=1,横轴围成的三角形面积S=即为这段时间内物体所走的路程. 答案: B 3.如图所示,阴影部分的面积是( ) A.2B.2- C.D. 解析: S=(3-x2-2x)dx,即F(x)=3x-x3-x2, 则F (1)=3--1=, F(-3)=-9+9-9=-9. ∴S=F (1)-F(-3)=+9=. 答案: C 4.定积分|x2-2x|dx=( ) A.5B.6 C.7D.8 解析: |x2-2x|= 取F1(x)=x3-x2,F2(x)=-x3+x2, 则F1′(x)=x2-2x,F2′(x)=-x2+2x. ∴|x2-2x|dx=(x2-2x)dx+(-x2+2x)dx =F1(0)-F1(-2)+F2 (2)-F2(0)=8. 答案: D 二、填空题 5.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于________. 解析: 由x-x2=0,得x=0或x=1.因此所围成的封闭图形的面积为(x-x2)dx. 取F(x)=x2-x3, 则F′(x)=x-x2,∴面积S=F (1)-F(0)=. 答案: 6.设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足f′(x)dx=0的实数a=________. 解析: f′(x)dx=f(a)=0,得a=0或1或-1, 又由积分性质知a>0,故a=1. 答案: 1 7.计算(2x-ex)dx=________. 解析: 取F(x)=x2-ex,则F′(x)=2x-ex, 所以(2x-ex)dx=F (2)-F(0)=5-e2. 答案: 5-e2 8.曲线y=+2x+2e2x,直线x=1,x=e和x轴所围成的区域的面积是________. 解析: 由题意得,所求面积为 dx. 取F(x)=lnx+x2+e2x, 则F′(x)=+2x+2e2x, 所以dx=F(e)-F (1)=e2e. 答案: e2e 三、解答题 9.计算下列定积分. (1)dx; (2)dx. 解: (1)取F(x)=-2, 则F′(x)=2x-. ∴原式=F(4)-F (1)=-(2-2)=-2. (2)取F(x)=ln(1+x2),则F′(x)=. ∴dx=F (1)-F(0)=ln2. 10.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积. 解: f′(x)=3x2-2x+1, ∵(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点, 设过点(1,2)处的切线的斜率为k, 则k=f′ (1)=2, ∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x. y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图: 由可得交点A(2,4). ∴y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积 S=(2x-x2). 取F(x)=x2-x3,则F′(x)=2x-x2, ∴S=F (2)-F(0)=.
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