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连续变形体的力学描述有限元
连续变形体的力学描述
连续变形体
材料具有宏观连续分布、几何形状复杂、能够承受荷载的结构。
只要有物质、有运动,就有力学问题。
根据对象的性质及所关注的运动特征,可以将力学问题进行各种形式的分类。
根据对象的性质进行分类,可以分为
质点、刚体、变形体(简单形状变形体、复杂形状变形体)
理论力学(一般力学)质点,刚体
材料力学(或结构力学)简单变形体
杆件
杆件的体系
弹性力学(弹塑性力学)复杂形状变形体
理论上,需要同时研究人造卫星的质点、刚体、变形体运动规律,甚至还需要研究质点、刚体、变形体运动之间的相互影响的耦合规律,“多刚柔体动力学”就是专门处理此类问题的。
本章仅仅就单独的变形体进行建模和研究,不考虑刚体运行的动力学的影响,这样,可以使得问题的重点更突出、更简单。
变形体deformedbody
力学角度
当结构承受荷载时,其结构内部中的任意两点之间会发生相对移动,即出现材料的变形
基本力学变量(简单变形体\复杂变形体)
位移displacement
应变strain
应力stress
基本方程(联系基本力学变量)
平衡方程应力-应力关系
几何方程应变-位移关系
物理方程应力-应变关系
研究的基本技巧
建模---针对对象建立方程的过程
特征建模方法:
直接将整个构件作为描述对象,并针对几何形状给出受力特征的假定(以便于简化),这样可以得到线性方程或简单的常微分方程。
通用建模方法:
将对象进行一般性表述,并研究与对象几何形状无关的建模方法。
通常采用微小体元dxdydz的分析方法,一般得到偏微分方程。
通用建模方法最主要的思路是
将复杂形状变形体的处理变成为内部描述和外部描述,
内部通过微元dxdyt(平面问题)进行描述,
外部通过边界条件(位移边界条件和力边界条件)进行描述。
t----厚度
特征建模方法的求解过程较简单,但需事先进行假定,往往只得到一些
特定位置的力学变量表达,而且只能适用于一些简单情形。
通用建模方法为解析方法,求解过程严谨,可得到物体内
各个位置的力学变量的表达,是场变量。
平面问题的基本力学方程
平面问题,简称二维问题,
即描述问题的力学变量仅与平面内的两个坐标相关,
与垂直于平面的另一个方向的坐标无关。
平衡方程,几何方程,物理方程
力的平衡方程
二维直角坐标系下平面问题应力变量:
其下标符号的含义:
第一个下标:
力的方向
第二个下标:
受力面(力的作用面)的法线方向
注意:
!
当两个下标相同时,按照习惯可以仅写一个下标,
当两个下标不相同时,按照习惯可以将σ写成τ。
剪应力互等定理
对微小体元dxdyt(平面问题)的中心求力矩,可以得到
剪应力互等定理可以直接引用到方程中去,
即将剪应力
和
写为一个表达式子。
、
----x、y方向的单位体积力
体积力bodyforce
几何变形方程
u、v---x、y方向的位移
主方向上的相对伸长量
两个边之间的夹角变化
物理方程/本构方程
泊松效应拉伸应力垂直方向上的收缩应变=-μ主拉伸应变
-表示收缩或拉伸
胡克定律广义胡克定律
E---弹性模量G--剪切模量μ---泊松比
边界条件(BC,boundarycondition)
Su位移边界条件
Sp力边界条件
弹性问题中的能量表示
弹性问题中的能量包括两类:
(1)所施加外力在可能位移上作用产生的外力势。
外力位移
(2)变形体由于变形而储存的能量。
内力变形
由于研究的需要,还要定义一些新组合的物理量,如
势能(以位移为基本变量的表达)
余能(以应力为基本变量的表达)
外力势P
外力势能:
外力从变形状态退到无位移的原始状态中所做的功。
外力有两种,即作用在物体上的面力和体力,
保守力系:
与变形无关的不变力系,
(1)在力边界条件上,由面力(
)
在对应位移(u,v,w)上所做的功。
(2)在问题内部,由体积力(
)
在对应位移(u,v,w)上所做的功。
外力的总势=这两部分功的负值
应变能U
以位移(变形量)为基本变量所表达的变形能
将各个方向的正应力与正应变、剪应力与剪应变所产生的变形能相加,可得到整体变形能。
系统的势能
对于受外力作用的变形体,
虚δ
虚应变
虚应变能
试函数
材料破坏的力学准则
主要通过应力来判定材料破坏状态。
已知危险点的应力状态σ=[σxxσyyσzzτxyτxzτyz]T
(复杂应力状态)
求出该点的三个主应力σ1、σ2、σ3,
三个主应力是判断该点材料是否破坏的主要参数。
由于材料的破坏试验基本上都是通过材料的单向拉伸试验来完成的,因此,对于复杂应力状态,各个破坏准则中的材料临界值
都要与单向拉伸试验中的材料临界值建立联系。
最大剪应力准则
当材料的最大剪应力达到材料的剪应力极限值时,材料会发生屈服(或剪断)。
主要适用于韧性材料。
[τ]材料的许用剪应力,由材料的拉伸试验来确定。
对于材料的单向拉伸试验,有σ3=0
[σ]单向拉伸试验的许用应力
最大畸变能准则
当材料的最大畸变能达到该材料的畸变能极限值时,材料会发生屈服(或剪断)。
主要适用于韧性材料。
最大拉应力准则
当材料的最大拉应力达到该材料的拉应力极限值时,材料会发生断裂破坏。
主要适用于脆性材料。
[σ]--材料的许用应力,
,单向拉伸试验得到的强度极限;n,安全系数Mohr准则
对于一些材料,如铸铁、混凝土等,Ta们的拉伸和压缩的材料强度值σb不相等/同。
试验表明,这类材料的强度准则既不服从最大剪应力准则,也不服从最大畸变能准则,而是服从Mohr准则,即
[σ]T材料拉伸时的许用应力
[σ]c材料压缩时的许用应力
带裂纹体的破坏准则
对于含有裂纹体的结构及材料,若按照材料线性弹性力学的分析,会在裂纹的尖端处产生应力的奇异性。
I型裂纹/拉伸张开型
裂纹尖端处的应力强度因子为K1=
σ---名义应力,a裂纹的半长尺寸
带裂纹体的破坏准则K1=KIC
KIC应力强度因子的临界值/断裂韧性,由试验确定
I型裂纹/拉伸张开型、错移型、撕裂型、复合型
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