新教材学年11集合的概念 112集合的表示 教案.docx
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新教材学年11集合的概念112集合的表示教案
第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.1.2集合的表示
[目标]1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法);
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
[重点]集合的两种表示方法及其运用.
[难点]对描述法表示集合的理解.
知识点一 列举法
[填一填]
把集合的所有元素出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
{ }表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;书写时不需要考虑元素的顺序.
[答一答]
1.实数集也可以写成{实数},那么能写成{实数集}或{全体实数}吗?
提示:
不能,因为花括号“{ }”表示“所有、全部”的意思.
2.列举法能表示元素个数很少的有限集,那么可以用列举法表示无限集吗?
提示:
对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示,如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5,…}.
3.集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合?
提示:
不是.
知识点二 描述法
[填一填]
1.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
2.具体方法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线
,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
[答一答]
3.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗?
提示:
是同一个集合.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的所有实数,故表示同一个集合.
类型一 用列举法表示集合
[例1]
(1)若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是(B)
A.1 B.2
C.3D.4
(2)用列举法表示下列集合.
①不大于10的非负偶数组成的集合;
②方程x2=x的所有实数解组成的集合;
③直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
④方程组
的解.
[解析]
(1)集合A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).
(2)解:
①因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
②方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}.
③将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.
④解方程组
得
∴用列举法表示方程组
的解集为{(0,1)}.
用列举法表示集合应注意的三点:
(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;
(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复;
(3)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
[变式训练1]用列举法表示下列集合:
(1)15的正约数组成的集合;
(2)所有正整数组成的集合;
(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
解:
(1){1,3,5,15}.
(2)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
(3)方程组
的解是
所求集合用列举法表示为{(1,1)}.
类型二 用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)不等式2x-7<3的解集A;
(2)二次函数y=x2+1的函数值组成的集合B;
(3)被3除余2的正整数的集合C;
(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.
[分析] 先确定集合元素的符号,再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面.
[解]
(1)解2x-7<3得x<5,所以A={x|x<5}.
(2)函数值组成的集合就是y的取值集合,所以B={y|y=x2+1,x∈R}.
(3)被3除余2的正整数可以表示为3n+2(n∈N),所以集合C={x|x=3n+2,n∈N}.
(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0,
所以D={(x,y)|x·y=0,x∈R,y∈R}.
(1)用描述法表示集合,应先弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
[变式训练2] 用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上所有点组成的集合;
(2)方程x2+22x+121=0的解集;
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(4)
.
解:
(1){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.
(2){x|x=-11}.
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x∈R||x|>3}.
(4)先统一形式
,
,
,
,
,…,找出规律,集合表示为
.
类型三 两种方法的灵活应用
[例3] 用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组
的解组成的集合;
(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
[分析]
(1)中的元素个数很少,用列举法表示;
(2)是有限集,但个数较多,用描述法;(3)(4)是无限集,用描述法表示.
[解]
(1)解方程组
得
故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.
(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.
(4)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集,也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1,3,5,7,9,…}.但值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)
[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合:
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;
(2)24的所有正因数组成的集合;
(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合.
解:
(1)用描述法表示为{x|2 (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}. (3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}. 1.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( A ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 解析: ∵x∈N,且x<5,∴x的值为0,1,2,3,4,用列举法表示为{0,1,2,3,4}. 2.方程组 的解集是( C ) A.{x=1,y=1}B.{1} C.{(1,1)}D.{(x,y)|(1,1)} 解析: 方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D中的条件是点(1,1),不含x,y,排除D. 3.集合{x|x= ,a<36,x∈N},用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}. 解析: 由a<36,可得 <6,即x<6,又x∈N,故x只能取0,1,2,3,4,5. 4.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为{x|x=2n,n∈N+}. 解析: 正整数中所有的偶数均能被2整除. 5.用适当的方法表示下列集合: (1)已知集合P={x|x=2n,0≤n≤2,且n∈N}; (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合; (3)x2-4的一次因式组成的集合; (4)由方程组 的解所组成的集合. 解: (1)用列举法表示为P={0,2,4}. (2)可用列举法表示为{6,9,12};也可用描述法表示为{x|x=3n,4 (3)用列举法表示为{x+2,x-2}. (4)解方程组 得 故可用列举法表示为{(1,2)},也可用描述法表示为{(x,y)|x=1,y=2}. ——本课须掌握的两大问题 1.表示集合的要求: (1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则. (2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意: (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式. (2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑. 第一章 1.1 第2课时 A组·素养自测 一、选择题 1.用列举法表示集合{x|x2-3x+2=0}为( C ) A.{(1,2)}B.{(2,1)} C.{1,2}D.{x2-3x+2=0} [解析] 解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2.用列举法表示为{1,2}. 2.直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为( B ) A.{0,1}B.{(0,1)} C. D. [解析] 解方程组 得 故该集合为{(0,1)}. 3.已知x∈N,则方程x2+x-2=0的解集为( C ) A.{x|x=2} B.{x|x=1或x=-2} C.{x|x=1} D.{1,-2} [解析] 方程x2+x-2=0的解为x=1或x=-2.由于x∈N,所以x=-2舍去.故选C. 4.若A={-1,3},则可用列举法将集合{(x,y)|x∈A,y∈A}表示为( D ) A.{(-1,3)} B.{-1,3} C.{(-1,3),(3,-1)} D.{(-1,3),(3,3),(-1,-1),(3,-1)} [解析] 因为集合{(x,y)|x∈A,y∈A}是点集或数对构成的集合,其中x,y均属于集合A,所以用列举法可表示为{(-1,3),(3,3),(-1,-1),(3,-1)}. 5.下列集合中,不同于另外三个集合的是( B ) A.{x|x=1}B.{x|x2=1} C.{1}D.{y|(y-1)2=0} [解析] 因为{x|x=1}={1},{x|x2=1}={-1,1},{y|(y-1)2=0}={1},所以B选项的集合不同于另外三个集合. 6.下列说法: ①集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{-1,0,1};②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};③方程组 的解集为{x=1,y=2}.其中说法正确的个数为( D ) A.3B.2 C.1D.0 [解析] 由x3=x,得x(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1或x=-1.因为-1∉N,故集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{0,1},故①不正确.集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义,而“R”表示所有的实数组成的集合,故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R,故②不正确.方程组 的解是有序实数对,其解集应为 ,故③不正确. 二、填空题 7.已知A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},用列举法表示A为__{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}__. [解析] ∵x+y=6,x∈N,y∈N, ∴x=6-y∈N, ∴ ∴A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}. 8.集合{1, , ,2, ,…}用描述法表示为__{x|x= ,n∈N*}__. [解析] 注意到集合中的元素的特征为 ,且n∈N*,所以用描述法可表示为{x|x= ,n∈N*}. 9.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是__a≤-2__. [解析] 因为1∉A,则应有2×1+a≤0,所以a≤-2. 三、解答题 10.用列举法表示下列集合: (1) ; (2){(x,y)|y=3x,x∈N且1≤x<5}. [解析] (1)因为 ∈Z,所以|2-x|是6的因数, 则|2-x|=1,2,3,6,即x=1,3,4,0,-1,5,-4,8. 所以原集合可用列举法表示为{-4,-1,0,1,3,4,5,8}. (2)因为x∈N且1≤x<5,所以x=1,2,3,4, 其对应的y的值分别为3,6,9,12. 所以原集合可用列举法表示为{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}. 11.用描述法表示下列集合. (1){2,4,6,8,10,12}; (2){ , , , , }; (3)被5除余1的正整数集合; (4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合; (5)方程组 的解组成的集合. [解析] (1){x|x=2n,n∈N*,n≤6}. (2){x|x= ,n∈N*,n≤5}. (3){x|x=5n+1,n∈N}. (4){(x,y)|xy<0}. (5) 或 . B组·素养提升 一、选择题 1.方程组 的解集是( C ) A.{x=1,y=-1}B.{1} C.{(1,-1)}D.{(x,y)|(1,-1)} [解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D的集合表示方法有误,排除D. 2.用列举法可将集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示为( D ) A.{1,2} B.{(1,2)} C.{(1,1),(2,2)} D.{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} [解析] x=1,y=1;x=1,y=2;x=2,y=1;x=2,y=2. ∴集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},故选D. 3.(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD ) A.{x|x=2k-1,k∈N} B.{x|x=2k+1,k∈N,k≥2} C.{x|x=2k+3,k∈N} D.{x|x=2k+5,k∈N} [解析] 选项A,C中,集合内的最小奇数不大于4. 4.(多选题)下列各组中M,P表示不同集合的是( ABD ) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} [解析] 选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有点组成的集合.故选ABD. 二、填空题 5.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则实数a的值是__0或1__. [解析] 集合A中只有一个元素,有两种情况: 当a≠0时,由Δ=0,解得a=1,此时A={-1},满足题意; 当a=0时,x=- ,此时A={- },满足题意. 故集合A中只有一个元素时,a的值是0或1. 6.用列举法写出集合 =__{-3,-1,1,3}__. [解析] ∵ ∈Z,x∈Z, ∴3-x为3的因数. ∴3-x=±1,或3-x=±3. ∴ =±3,或 =±1. ∴-3,-1,1,3满足题意. 7.设A,B为两个实数集,定义集合A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={2,3},则集合A+B中元素的个数为__4__. [解析] 当x1=1时,x1+x2=1+2=3或x1+x2=1+3=4;当x1=2时,x1+x2=2+2=4或x1+x2=2+3=5;当x1=3时,x1+x2=3+2=5或x1+x2=3+3=6.∴A+B={3,4,5,6},共4个元素. 三、解答题 8.集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A. [解析] (1)当k=0时,原方程为16-8x=0, 所以x=2,此时A={2}. (2)当k≠0时,因为集合A中只有一个元素, 所以方程kx2-8x+16=0有两个相等的实根. 则Δ=64-64k=0,即k=1. 从而x1=x2=4,所以集合A={4}, 综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}. 9.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}. (1)若A中只有一个元素,求集合A; (2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围. [解析] (1)因为集合A是方程ax2-3x+2=0的解集,则当a=0时,A={ },符合题意; 当a≠0时,方程ax2-3x+2=0应有两个相等的实数根, 则Δ=9-8a=0,解得a= ,此时A={ },符合题意. 综上所述,当a=0时,A={ },当a= 时,A={ }. (2)由 (1)可知,当a=0时,A={ }符合题意; 当a≠0时,要使方程ax2-3x+2=0有实数根, 则Δ=9-8a≥0,解得a≤ 且a≠0. 综上所述,若集合A中至少有一个元素,则a≤ .
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