五年级上学期奥数讲义.docx
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五年级上学期奥数讲义
第一讲解简易方程
我们把含有未知数的等式叫做方程。
解方程是用方程解应用题的基础。
解方程时首先要对方程进行仔细观察,能够先算的部分应该先进行计算,使方程简化。
再把含有未知数的式子看作一个数,然后根据加、减、乘、除法各部分的关系求出方程的解。
最后,将方程的解代入原方程进行检验。
在解方程的过程中,有些基本技巧能帮助我们迅速而正确地解题:
1.把方程中任意一个数(或式子)移到等号的另一边时,这个数(或式子)原来是加号就要变成减号,原来是减号就要变成加号。
2.方程等号的两边可以同时加上或减去同一个数。
3.方程等号的两边可以同时乘或除以同一个不为零的数。
4.去括号时,括号前面是加号时,去掉括号后,里面的各项运算符号都不改变;括号前面是减号时,去掉括号后,里面的运算符号都要改变,即加号变减号,减号变加号。
例1解方程8x-15=3x+5
分析与解:
我们可以给方程的两边同时加上15,这时方程变为:
8x-15+15=3x+5+15,8x=3x+5+15。
再给这个方程的两边同时减去3x,那么得到:
8x-3x=3x+5+15-3x,8x-3x=5+15。
这里,把含x的项都移到了方程的左边,已知的数字都移到了方程的右边,我们把这一步叫做“移项”。
然后把方程的两边分别相加减,得到:
5x=20,把这一步叫做“合并”。
最后给方程的两边同时除以未知数的系数5,这样得到x=4,这就是方程的解。
8x-15=3x+5
移项8x-3x=5+15
合并5x=20
求解x=4
检验:
把x=4代入原方程的左右两边
左边=8×4-15=32-15=17
右边=3×4+5=12+5=17
左边=右边
所以x=4是原方程的解。
例2解方程8x-3+2x+1=7x+6-5x
分析与解:
移项8x+2x-7x+5x=6+3-1
合并8x=8
求解x=1
检验:
把x=1代入原方程的左右两边
左边=8×1-3+2×1+1=8-3+2+1=8
右边=7×1+6-5×1=7+6-5=8
左边=右边
所以x=1是原方程的解。
例3解方程4×(5x-9)=15×(x+3)
分析与解:
这个方程与前面方程的区别在于左右两边都有括号,所以我们可以利用乘法分配律去掉括号。
去括号4×5x-4×9=15×x+15×3
即20x-36=15x+45
移项20x-15x=45+36
合并5x=81
求解x=16.2
检验:
把x=16.2代入原方程的左右两边
左边=4×(5×16.2-9)=4×81-9=4×72=288
右边=15×(16.2+3)=15×19.2=288
左边=右边
所以x=16.2是原方程的解。
例4解方程13×(3x+2)-6×(5x+1)=90-4×(7x-1)
分析与解:
这个方程左边两个括号之间有一个减号,我们按“减去几个数的和等于连续减去几个数”的规律来做。
去括号(13×3x+13×2)-(6×5x+6×1)=90-(4×7x-4×1)
39x+26-30x-6=90-28x+4
移项39x-30x+28x=90+4-26+6
合并37x=74
求解x=2
检验:
把x=2代入原方程的左右两边
左边=13×(3×2+2)-6×(5×2+1)
=13×8-6×11
=104-66
=38
右边=90-4×(7×2-1)
=90-4×13
=90-52
=38
左边=右边
所以x=2是原方程的解。
例5解方程
分析与解:
由于这个方程等号的两边都是分数,所以我们运用“交叉相乘”这个方便又特殊的方法来解此方程。
去分母(0.5x-200)×7=(x+200)×3
去括号3.5x-1400=3x+600
移项3.5x-3x=600+1400
合并0.5x=2000
求解x=4000
检验:
把x=4000代入原方程的左右两边
左边=
=右边
所以x=4000是原方程的解。
能力练习一
1.解下列方程,并写出检验过程。
(1)15x+3=28+14x
(2)3x-5+2x=4x-3
(3)1.12x+(x-3)+x=153
(4)9(x-4)=7(4-x)
(5)5x-2(20-x)=65
2.解方程。
(1)12x=16(70÷2-x)
(2)(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)=x
(3)x÷2=(3x-10)÷5
(4)(x-9)÷(89-x)=4
(5)15x+(4.6-8x)÷2×3=7.65
3.解方程
4.解方程
强化训练一
1.求x的值,使x2=6x成立。
2.在下式的囗中填上合适的数:
3.4×[囗-(1.54-0.31)]=0.47
4.已知(□-△)×(□-△)=121,且△=4,求□。
第二讲列方程解应用题
列方程解应用题是小学数学的一项重要内容,是一种不同于算术解法的新的解题方法。
列方程解应用题的优点是可以使未知数直接参加运算。
关键是正确地设立未知数,找出等量关系,从而建立方程。
而找出等量关系,又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。
掌握了这两点,就能正确地列出方程。
列方程解应用题的一般步骤是:
1.弄清题意,找出未知数,并用x表示;
2.找出应用题中数量之间的相等关系,列出方程;
3.解方程;
4.检验,写出答案。
例1明明今年11岁,爷爷今年74岁。
再过多少年爷爷的年龄是明明的4倍?
分析与解:
根据题意,再过若干年,明明的年龄乘上4就等于爷爷的年龄。
如果设再过x年,那时明明是(11+x)岁,爷爷是(74+x)岁。
根据上述关系就可以列出方程。
解:
设再过x年爷爷年龄是明明的4倍。
4(11+x)=74+x
44+4x=74+x
4x-x=74-44
3x=30
x=10
答:
再过10年,爷爷的年龄是明明的4倍。
例2五
(1)班同学合买一件礼物送给敬老院的老爷爷和老奶奶。
如果每人出6元,则多48元;如果每人出4.5元,则少27元。
求五
(1)班学生人数。
分析与解:
这道题粗看似乎等量关系不明显,但只要根据条件,细心分析一下就能看出,买的是同一件物品,而同一件物品的价格是一定的。
这样,我们只要设五
(1)班有学生x人,再利用同一商品价格相等这一关系就可以列出方程了。
解:
设五
(1)班有学生x人。
6x-48=4.5x+27
6x-4.5x=48+27
1.5x=75
x=50
答:
五
(1)班有学生50人。
例3养鸡场新买来100只小鸡,其中,母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。
买来母鸡、公鸡各多少只?
分析与解:
这道题中有两个未知量,我们可以根据有关数量关系,用其中一个未知量来表示另一个未知量。
如果我们用x表示母鸡的只数,那么,根据“养鸡场新买来100只小鸡”这个条件,可以用(100-x)来表示公鸡的只数。
然后再根据“母鸡只数的4倍减去公鸡只数的3倍等于120只”列出方程。
解:
设母鸡有x只,则公鸡有(100-x)只。
4x-3(100-x)=120
4x-300+3x=120
7x-300=120
7x=420
x=60
100-60=40(只)
答:
母鸡有60只,公鸡有40只。
例4学校图书室里的故事书的本数是科技书的2倍。
每班借14本故事书和10本科技书,科技书借完时,故事书还有144本。
求图书室原有故事书、科技书各多少本?
分析与解:
如果我们设科技书有x本,故事书有2x本,根据来借书的班数不变也能列出方程:
x÷10=(2x-144)÷14。
但解这一方程比较困难。
我们可以设有x个班来借书,然后根据“故事书的本数是科技书本数的2倍”,列出方程10x×2=14x+144。
这样,解方程就方便多了。
解:
设有x个班借书。
10x×2=14x+144
20x=14x+144
6x=144
x=24
10x=10×24=240
240×2=480(本)
答:
图书室原有故事书480本,科技书240本。
例5东、西两地相距5400米,甲、乙从东地、丙从西地同时出发,相向而行。
甲每分钟行55米,乙每分钟行60米,丙每分钟行70米。
多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点?
分析与解:
如图,设行了x分钟,甲行到A点,乙行到AC的中点B,丙行到C点。
AB是乙比甲x分钟多走的路程,即(60-55)x米;BC路程是5400-60x-70x,可根据AB=BC列出方程。
解:
设x分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。
根据题意,得
(60-55)x=5400-70x-60x
5x=5400-130x
135x=5400
x=40
答:
40分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。
能力训练二
1.父子年龄之和是50岁,再过5年父亲的年龄是儿子的4倍。
问父子现在各多少岁?
2.光明小学买回一批图书,如果每班发12本,则少16本;如果每班发10本,则剩下20本。
这个学校一共有多少个班?
买回图书多少本?
3.用气枪打气球,打中一个可得5分,如果未打中,则一枪要倒扣2分。
大伟发射20枪,共得51分。
问:
他几枪未打中?
4.有黑白棋子一堆,黑子的颗数是白子的2倍。
每次取出黑子4颗,白子3颗,取若干次后,白子取尽而黑子还有32颗。
这堆棋子原来共有多少颗?
5.图书馆的书架分上、下两层,一共有245本书。
上层每天借出15本,下层每天借出10本,3天后,上、下两层的图书本数同样多。
上、下两层原来各有图书多少本?
强化训练二
1.小红有一个储蓄筒,里面存放的都是硬币,其中2分币比5分币多22个,而5分币却比2分币共多4角钱,另外还有60个1分的。
小红共存了多少钱?
2.A、B、C三地在一条直线上,A、B两地相距2千米,甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走,甲每分钟行35米,乙每分钟行45米。
经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点?
3.某人过一个小山坡共用了20分钟,他上坡每分钟走80米,下坡每分钟走102米,上坡路比下坡路少220米。
这段小山坡全长多少米?
4.一辆汽车在甲、乙两站之间行驶,往返一次共用去4小时(停车时间不计算在内),汽车去时每小时行驶45千米,返回时每小时行驶30千米,那么甲、乙两站相距多少千米?
第三讲速算与巧算
快速准确的计算,是我们需要具备的基本能力。
而速算、巧算的依据主要是运算定律和性质,通过改变运算顺序、运算方式,甚至改变数的大小,在保证结果正确的前提下进行凑整,达到巧算的目的,熟能生巧,因此在计算过程中多动脑观察,结合所学知识不断变换方法,从中形成一些自己特有的巧算方法。
本讲主要内容是整数速算巧算方法在小数运算中的应用及小数的一些特殊巧算方法。
小数速算、巧算的依据仍然是运算定律和性质,同时要注意小数点位置的确定。
例1计算下列各题。
(1)5.6+2.38+0.62+4.4
(2)1999+199.9+19.99+1.999
(3)12.58-3.21-5.79
(4)8.1+7.8+8.2+8.4+7.9+7.6
分析与解:
(1)5.6与4.4刚好凑成10,2.38与0.62刚好凑成3,这样凑整运算简便。
5.6+2.38+0.62+4.4
=(5.6+4.4)+(2.38+0.62)
=10+3
=13
(2)1999接近整千数2000,其余各加数分别接近一个整数,可先把各加数看作与它接近的容易计算的数,再把多加的那部分减去。
1999+199.9+19.99+1.999
=2000+200+20+2-1-0.1-0.01-0.001
=2222-1.111
=2220.889
(3)3.21与5.79的和是整数9,所以根据减法的运算性质把原式变为12.58-(3.21+5.79)运算就简单了。
12.58-3.21-5.79
=12.58-(3.21+5.79)
=12.58-9
=3.58
(4)式中6个加数都在8的附近,可用8作为基准数,先求出6个8的和,再加上比8大的数中少加的那部分,减去比8小的数多加的那部分。
8.1+7.8+8.2+8.4+7.9+7.7
=8×6+0.1-0.2+0.2+0.4-0.1-0.3
=48+0.1
=48.1
例2计算下列各题。
(1)0.25×12.5×32
(2)(4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7)
分析与解:
(1)在我们做整数运算时要凑整,这里注意0.25×4=1,12.5×8=100,而32恰好可拆成4与8相乘,然后根据乘法交换律和结合律计算。
0.25×12.5×32
=0.25×12.5×4×8
=(0.25×4)×(12.5×8)
=1×100
=100
(2)本题只有乘除两种运算,在前后括号中找出有倍数关系的两个数相除即可。
(4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7)
=(4.8÷2.4)×(7.5÷2.5)×(8.1÷2.7)
=2×3×3
=18
例3计算:
17.48×37+17.48×82-174.8×1.9
分析与解:
这一题如果机械地按步骤计算,就比较麻烦。
如果根据积的不变性,把174.8×1.9转化成17.48×19后,三部分就有了相同的乘数17.48,创造出了可以应用乘法分配律的条件。
17.48×37+17.48×82-174.8×1.9
=17.48×37+17.48×82-17.48×19
=17.48×(37+82-19)
=17.48×100
=1748
分析与解:
加法和减法关键是小数点对齐,a与b的小数点对齐后,b的小数点最后一个数字8与a的小数点后倒数第二个数字2对齐,这样得出的结果才是正确的。
小数与小数相乘时,积的小数位数等于两个乘数小数位数之和,这里a的小数位数是12位,b的小数位数是11位,积的小数位数是23位。
因为125×8=1000,减去4位,所以1前面的0是19个。
两个小数相除,根据上的不变性,先把除数扩大倍,变成整数,当然被除数也扩大同样的倍数。
例5计算:
(1+0.23+0.34)×(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)×(0.23+0.34)
分析与解:
本题重复数字多,我们不妨整体想,将重复数字用字母代换,可简化运算。
设a=1+0.23+0.34,b=0.23+0.34,那么a-b=1
原式=a×(b+0.65)-(a+0.65)×b
=a×b+a×0.65-(a×b+0.65×b)
=a×b+a×0.65-a×b-0.65×b
=0.65×(a-b)
=0.65×1
=0.65
把几个数的运算式子作为整体来参与运算,是一种代换的思想,活用这种思想,会收到化繁为简的奇妙效果。
能力训练三
1.计算下列各题。
(1)4.52+0.61+1.39+6.48
(2)0.9+9.9+99.9+999.9
(3)52.3-2.81-9.19
(4)0.72+0.69+0.70+0.71+0.68+0.75
2.计算下列各题。
(1)7×2.5×3.2×0.125
(2)(5.1×68×7.8)÷(1.7×3.4×0.13)
3.计算:
6.25×0.16+264×0.0625+5.2×6.25+6.25×2
5.计算(3.15+2.17+5.61)×(2.17+5.61+6.6)-(3.15+2.17+5.61+6.6)×(2.17+5.61)
强化训练三
1.计算1÷32÷0.05÷0.25÷0.5
2.计算0.525÷13.125÷4×85.2
3.计算3.3+3.33+3.333+3.3333+3.33333
4.计算1972×37+197.2×1.9+986×125.62
5.比较下面两个积的大小:
A=5.4321×1.2345
B=5.4322×1.2344
第四讲进位制
十进制是最常见的进位制,我们平时使用的数大部分是十进制。
但其他进位制也很有用。
例如:
每7天为一星期,这是7进制;每12个月为一年,这是12进制;每60秒为1分,这是60进制。
1.二进制的四则运算
二进制就是“逢二进一,借一当二”的记数方法,它只使用0、1两个数码。
例如:
二进制中,1+1=10(因为逢二,要进1现实性0)1+11=100。
为了区别十进制的100,我们写成(100)2。
下面我们对比一下十进制数与二进制数:
十进制:
12345678910
二进制:
11011100101110111100010011010
注意读法:
二进制数1001,不能读作一千零一,而应该读作一零零一。
2.二进制(k进制)化十进制
十进制数1239我们可以这样写:
1239=1×103+2×102+3×101+9,二进制也有样的结论,k进制也是如此。
具体请看例2。
3.十进制化二进制(k进制)
具体方法是:
2(k)除取余,依次倒写。
请看下面的例4和例5。
其他进制之间的转换与十进制和二进制之间的转换完全类似,同学们可以仿照进行。
例1计算:
(1)(1011)2+(1001)2
(2)(101)2-(11)2
(3)(10101)2×(11)2(4)(10100010)2÷(1001)2
分析与解:
二进制数的四则运算法则和十进制的运算法则基本相同,不同的是:
(1)加法进位“逢二进一”;
(2)减法借位“借一当二”;(3)乘法只有1×1=1,1×0=0,0×0=0三种情况;(4)除法与十进制基本相同。
竖式计算
即:
(1)1011+1001=10100
(2)101-11=10
(3)10101×11=111111(4)10100010÷1001=10010
例2把下面的二进制化为十进制数。
(1)(10111)2
(2)(110011)2(3)(1001)2(4)(10011101)2
分析与解:
二进制化为十进制,方法是从最末位起,分别给每一位上的数字乘以20、21、22、23、24、…一直到最前面的一个数字,然后再求和。
注意:
我们规定20=1。
(1)(10111)2=1×24+0×23+1×22+1×21+1
=16+4+2+1
=(23)10
(2)(110011)2=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1
=32+16+2+1
=(51)10
(3)(1001)2=1×23+1
=8+1
=(9)10
(4)(10011101)2=1×27+1×24+1×23+1×22+1
=128+16+8+4+1
=(157)10
例3把下面不同进制的数化为十进制数。
(1)(234)5
(2)(127)8
分析与解:
k进制化十进制的方法与二进制化十进制相同,只是从最末位起分别给每个数字乘以k0,k1,k2…直到最前面一位,再求和。
我们规定k0=1。
(1)(234)5=2×52+3×51+4
=50+15+4
=(69)10
(2)(127)8=1×82+2×81+7
=64+16+7
=(87)10
例4把下面十进制数化为二进制数。
(1)(23)10
(2)(74)10(3)(55)10
分析与解:
十进制化二进制,根据规则,用已知的十进制数除以2取每一次的余数,依次倒写。
步骤如下:
(1)(23)10=(10111)2
(2)(74)10=(1001010)2(3)(55)10=(110111)2
例4按要求完成下列各题:
(1)把(358)10化不八进制数;
(2)把(59)10化为六进制数;
分析与解:
十进制化k进制,同十进制化二进制的一样,除以k取余数,依次倒写。
步骤如下:
(1)(358)10=(546)8
(2)(59)10=(135)6
例6已知(121)4=(31)K,求k。
分析与解:
由4进制数(121)4与k进制数(31)K化成的十进制数相同,用方程的方法利用已知求未知。
根据已知,得
(121)4=1×42+2×4+1=25(31)K=3×k+1
3k+1=25
解得k=8
能力训练四
1.计算:
(1)(10110)2+(1010)2
(2)(1101101)2-(1011110)2
(3)(100110)2×(101)2(4)(1100011)2÷(1001)2
2.填空。
(1)(1110)2=()10
(2)(100110)2=()10
(3)(92)10=()2(4)(147)10=()2
3.把二进制数与八进制数互化。
(1)(100111010101)2=()8
(2)(7630)8=()2
4.比较下列各组数的大小。
(1)(101101)2与(46)8
(2)(243)6与(98)10
(3)(1726)8与(3442)5(4)(2102)3与(2102)4
5.记号(25)K表示k进制的数,如果(52)K是(25)K的两倍,那么,(123)K在十进制中表示的数是多少?
强化训练四
1.商店有1千克、2千克、4千克、8千克的白糖各一袋,如果都是整袋卖,顾客可买的千克数有多少种?
2.能否找到这样7个数,它们之中的一个或几个之和(每个数只用一次),可以表示出100以内的任何一个自然数?
3.请判断下列算式是几进制数的乘法。
221×322=132212
4.一个自然数用三进制表示是三位数(abc)3,用四进制表示是三位数(cba)4,求这个自然数。
第五讲平均数
几个不相等的数,在总量不变的前提下,通过移多补少,使它们完全相等,求出的相等的数就是平均数,这类问题称为平均问题。
平均数问题的基本数量关系是:
总数量÷总份数=平均数总数量÷平均数=总份数平均数×总份数=总数量
在遇到解实际问题时,关键是确定“总数量”以及“总数量”相对应的“总份数”,这里所说的“总数量”是指几个已知数的和,“总份数”是指这几个数的个数。
例1某班有40名学生,期中数学考试,有2名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班期中考试平均分数是多少?
分析与解1:
此题的关键求出全班40人的总分数。
平均89分对应的“份数”是40-2=38(人),所以38人的总分数可求出,再加上2个缺考的补考总分99×2=198(分)即为全班的总分数。
[89×(40-2)+99×2]÷40
=[3382+198]÷40
=3580÷40
=89.5(分)
分析与解2:
假设补考的2个同学都得89分,那么全班平均分当然也是89分。
这时2人共得89×2=178分,但实际2人共得99×2=198分,多得198-178=20分。
把这20分再平均给40个同学,每人多20÷40=0.5分,因此总平均分是89+0.5=89.5分。
89+(99×2-89×2)÷40
=89+20÷40
=89+0.5
=89.5(分)
答:
这个班期中考试数学平均成绩是89.5分。
例2五个数的平均数是30,如果把这五个数从小到大排列,那么前三个数的平均数是25,后三个数的平均数是35,问中间的那个数是多少?
分析与解:
由五个数的平均数,可求五个数的总和30-5=150,由前三个数的平均数,可求出前三个数的和25×3=75,由后三个数的平均数,可求出后三个数的和35×3=105。
前三个数与后三个数的总和比五个数的总和多加了第三个数,所以中间的那个数即可
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