离散数学考试试题(A卷及答案).doc
- 文档编号:1154124
- 上传时间:2022-10-18
- 格式:DOC
- 页数:5
- 大小:375KB
离散数学考试试题(A卷及答案).doc
《离散数学考试试题(A卷及答案).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《离散数学考试试题(A卷及答案).doc(5页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
离散数学考试试题(A卷及答案)
一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)?
1)((P®Q)∧Q)«((Q∨R)∧Q)2)Ø((Q®P)∨ØP)∧(P∨R)
3)((ØP∨Q)®R)®((P∧Q)∨R)
解:
1)永真式;2)永假式;3)可满足式。
二、(8分)个体域为{1,2},求"x$y(x+y=4)的真值。
解:
"x$y(x+y=4)Û"x((x+1=4)∨(x+2=4))
Û((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+1=4))
Û(0∨0)∧(0∨1)
Û1∧1Û0
三、(8分)已知集合A和B且|A|=n,|B|=m,求A到B的二元关系数是多少?
A到B的函数数是多少?
解:
因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn,所以A到B的二元关系有2mn个。
因为|BA|=|B||A|=mn,所以A到B的函数mn个。
四、(10分)已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>},求r(R)、s(R)和t(R)。
解:
r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}
t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}
五、(10分)75个儿童到公园游乐场,他们在那里可以骑旋转木马,坐滑行铁道,乘宇宙飞船,已知其中20人这三种东西都乘过,其中55人至少乘坐过其中的两种。
若每样乘坐一次的费用是0.5元,公园游乐场总共收入70元,求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。
解设、、分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合,|∩∩|=20,|∩|+|∩|+|∩|-2|∩∩|=55,||+||+||=70/0.5=140。
由容斥原理,得
|∪∪|=||+||+||―|∩|―|∩|―|∩|+|∩∩|
所以
|∩∩|=75-|∪∪|=75-(||+||+||)+(|∩|+|∩|+|∩|-2|∩∩|)+|∩∩|=75-140+55+20=10
没有乘坐过其中任何一种的儿童共10人。
六、(12分)已知R和S是非空集合A上的等价关系,试证:
1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A,[a]R∩S=[a]R∩[a]S。
解:
"x∈A,因为R和S是自反关系,所以
"x、y∈A,若
"x、y、z∈A,若
总之R∩S是等价关系。
2)因为x∈[a]R∩SÛ
所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。
七(10分)设A、B、C、D是集合,f是A到B的双射,g是C到D的双射,令h:
证明h是双射。
证明:
1)先证h是满射。
"∈B×D,则b∈B,d∈D,因为f是A到B的双射,g是C到D的双射,所以存在a∈A,c∈C,使得f(a)=b,f(c)=d,亦即存在∈A×C,使得h()=
2)再证h是单射。
"
综合1)和2),h是双射。
八、(12分)
证明:
1)"a,b∈G,aDb=a*u-1*b∈G,运算是封闭的。
2)"a,b,c∈G,(aDb)Dc=(a*u-1*b)*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=aD(bDc),运算是可结合的。
3)"a∈G,设E为D的单位元,则aDE=a*u-1*E=a,得E=u,存在单位元。
4)"a∈G,aDx=a*u-1*x=E,x=u*a-1*u,则xDa=u*a-1*u*u-1*a=u=E,每个元素都有逆元。
所以
九、(10分)已知:
D=
解:
D的邻接距阵A和可达距阵P如下:
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
A=
0
0
0
1
1
P=
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。
解:
最优二叉树为
权=148
离散数学考试试题(B卷及答案)
一、(10分)求命题公式Ø(P∧Q)«Ø(ØP®R)的主合取范式。
解:
Ø(P∧Q)«Ø(ØP®R)Û(Ø(P∧Q)®Ø(ØP®R))∧(Ø(ØP®R)®Ø(P∧Q))
Û((P∧Q)∨(ØP∧ØR))∧((P∨R)∨(ØP∨ØQ))
Û(P∧Q)∨(ØP∧ØR)
Û(P∨ØR)∧(Q∨ØP)∧(Q∨ØR)
Û(P∨Q∨ØR)∧(P∨ØQ∨ØR)∧(ØP∨Q∨R)∧(ØP∨Q∨ØR)
ÛM1∧M3∧M4∧M5
二、(8分)叙述并证明苏格拉底三段论
解:
所有人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。
符号化:
F(x):
x是一个人。
G(x):
x要死的。
A:
苏格拉底。
命题符号化为"x(F(x)®G(x)),F(a)ÞG(a)
证明:
(1)"x(F(x)®G(x))P
(2)F(a)®G(a)T
(1),US
(3)F(a)P
(4)G(a)T
(2)(3),I
三、(8分)已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
证明:
∵xÎA∩(B∪C)ÛxÎA∧xÎ(B∪C)
ÛxÎA∧(xÎB∨xÎC)
Û(xÎA∧xÎB)∨(xÎA∧xÎC)
ÛxÎ(A∩B)∨xÎA∩C
ÛxÎ(A∩B)∪(A∩C)
∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
四、(10分)已知R和S是非空集合A上的等价关系,试证:
1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A,[a]R∩S=[a]R∩[a]S。
解:
"x∈A,因为R和S是自反关系,所以
"x、y∈A,若
"x、y、z∈A,若
总之R∩S是等价关系。
2)因为x∈[a]R∩SÛ
所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。
五、(10分)设A={a,b,c,d},R是A上的二元关系,且R={,,,
s(R)=R∪R-1={,,,
六、(15分)设A、B、C、D是集合,f是A到B的双射,g是C到D的双射,令h:
证明h是双射。
证明:
1)先证h是满射。
"∈B×D,则b∈B,d∈D,因为f是A到B的双射,g是C到D的双射,所以存在a∈A,c∈C,使得f(a)=b,f(c)=d,亦即存在∈A×C,使得h()=
2)再证h是单射。
"
综合1)和2),h是双射。
七、(12分)设
证明:
Þ"a,b∈H有b-1∈H,所以a*b-1∈H。
Ü"a∈H,则e=a*a-1∈H
a-1=e*a-1∈H
∵a,b∈H及b-1∈H,∴a*b=a*(b-1)-1∈H
∵HÍG且H≠F,∴*在H上满足结合律
∴
八、(10分)设G=
解:
设G的每个结点的度数都大于等于6,则2|E|=Sd(v)≥6|V|,即|E|≥3|V|,与简单无向平面图的|E|≤3|V|-6矛盾,所以G至少有一个结点的度数小于等于5。
(写过程,7分)
(1)G是否为阿贝尔群?
(2)找出G的单位元;(3)找出G的幂等元(4)求b的逆元和c的逆元
解:
(1)(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c)
(a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 离散数学 考试 试题 答案