北师版初三数学上册第一章特殊的四边形讲解附题.docx

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北师版初三数学上册第一章特殊的四边形讲解附题

九年级（上）第一章特殊的平行四边形

一、平行四边形

1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：

（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

平行四边形的判别方法：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

二、矩形

2矩形的性质与判定

※矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：

具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：

有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定

正方形的定义：

一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：

有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

S正方形=

三、菱形

1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：

四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

3、正方形的判定

五、等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：

两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（选择题和填空题可直接用）

六、三角形中的中位线

1、三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、常用结论：

任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：

三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：

三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：

三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：

三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：

三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

七、有关四边形四边中点问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；

（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

菱形的性质

菱形的判断

菱形的判断与性质

矩形的性质

矩形的判断

正方形的性质

正方形的判断