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总结大一高数的得与失
总结大一高数的得与失
篇一:
大一高数知识点,重难点整理
第一章基础知识部分
&初等函数
一、函数的概念
1、函数的定义
函数是从量的角度对运动变化的抽象表述,是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。
设有两个变量x与y,如果对于变量x在实数集合D内的每一个值,变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应,那么就称x是自变量,y是x的函数,记作y=f(x),其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域,函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法
(1)解析法
即用解析式(或称数学式)表示函数。
如y=2x+1,y=︱x︱,y=lg(x+1),y=sin3x等。
便于对函数进行精确地计算和深入分析。
(2)列表法
即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。
便于差的某一处的函数值。
(3)图像法
即用图像来表示函数关系的方法
非常形象直观,能从图像上看出函数的某些特性。
分段函数——即当自变量取不同值时,函数的表达式不一样,如
12x1,x0xsin,
fxyx
2x1,x00
x0
x0
隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。
所谓显函数,即直接用含自变量的式子表示的函数,如y=x2+2x+3,这是常见的函数形式。
而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x,y的方程F(x,y)=0给出的,如2x+y-3=0,e可得y=3-2x,即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程
xy
而由2x+y-3=0xy0等。
xt,
tT给出的,yt
这样的函数称为由参数方程确定的函数,简称参数式方程,t称为参数。
反函数——如果在已给的函数y=f(x)中,把y看作自变量,x也是y的函数,则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数,记作x=fˉ1(y)或y=fˉ1(x)(以x表示自变量).
二、函数常见的性质
1、单调性(单调增加、单调减少)
2、奇偶性(偶:
关于原点对称,f(-x)=f(x);奇:
关于y轴对称,f(-x)=-f(x).)3、周期性(T为不为零的常数,f(x+T)=f(x),T为周期)
4、有界性(设存在常数M>0,对任意x∈D,有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界,如果不存在这样的常数M,则称f(x)在D上无界。
5、极大值、极小值
6、最大值、最小值三、初等函数
1、基本初等函数
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。
(图像、性质详见P10)
2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=∫(x),且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空,那么y也是x的函数,称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数,记作y=f(∫(x))。
3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的,并且能用一个数学式子表示的函数,称为初等函数。
四、函数关系举例与经济函数关系式
1、函数关系举例2、经济函数关系式
(1)总成本函数——总成本=固定成本+变动成本平均单位成本=总成本/产量
(2)总收益函数——销售总收益=销售价格×产量(3)总利润函数——总利润=销售总收益-总成本
(4)需求函数——若其他因素不变,需求量Q=f(P)(P为产品销售价格)
&函数的极限
一、数列的极限
对于无穷数列{an},当项数n无限增大时,如果an无限接近于一个确定的常数A,则
lim
称A为数列{an}的极限,记为a=A,或当n→∞时,an→A。
n→∞n
lim1lim
若数列{an}存在极限,也称数列{an}收敛,例如0,CC(C为
nnn
limn
常数),q=0q1)。
n→∞
若数列{an}没有极限,则称数列{an}发散。
数列极限不存在的两种情况:
(1)数列有界,但当n→∞时,数列通项不与任何常数无限接近,如:
1
n1
;
(2)数列无界,如数列{n2}。
二、当x→0时,函数f(x)的极限
如果当x的绝对值无限增大(记作x→∞)时,函数f(x)无限地接近一个确定的常数A,那称A为函数f(x)当x→∞时的极限,记作
lim
fxA,或当x→∞时,f(x)→A。
x
单向极限定义如果当x或x时,函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A,那么称A为函数f(x)当x或x时得极限,记作
limlim
。
fxAfxAxn
三、当X→Xo时,函数f(x)的极限
1、当X→Xo时,函数f(x)的极限定义如果当x无限接近Xo(记作X→Xo)时,函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当X→Xo时的极限,记作
lim
fxA,或当X→Xo时,f(x)→A。
n
2、当X→Xo时,函数f(x)的左极限和右极限
如果当X→Xoˉ(或xx0)时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称函数f(x)当X→Xo时的左极限(右极限)为A,记作四、无穷大与无穷小
1、无穷大与无穷小的定义
limfxAfxxx0xx0
lim
A。
lim
如果当X→Xo时,f(x)→0,就称f(x)当X→Xo时的无穷小,记作fx0;如
xx0
果当X→Xo时,f(x)的绝对值无限增大,就称函数f(x)当X→Xo时为无穷大,记作
lim
fx。
其中,如果当X→Xo时,f(x)向正的方向无限增大,就称函数f(x)当X
xx0
lim
→Xo时为正无穷大,记作fx;如果当X→Xo时,f(x)向负的方向无限增大,
xx0
就称函数f(x)当X→Xo时为负无穷大,记作
2、无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一变化中,如果f(x)为无穷大,那么
lim
fx。
xx0
为无穷小;反之,如果f(x)f(x)
为无穷小,那么
为无穷大。
f(x)
根据这个性质,无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。
3、无穷小的性质
性质1:
有限个无穷小的代数和为无穷小;性质2:
有限个无穷小的乘积为无穷小;性质3:
有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
4、无穷小的比较
设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小,记作a=o(b);
a
=0,则称a是比b低阶的无穷小;ba
(2)如果lim=∞,则称a是比b高阶的无穷小;
b
(1)如果lim
a
=c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。
b
a
特别的,当c=1,即lim=1时,称a与b是等阶无穷小,记作a~b。
b
(3)如果lim
&极限运算法则
法则一若limu=A,limv=B,则
lim(u±v)=limu±limv=A±B;法则二若limu=A,limv=B,则
lim(u·v)=limu·limv=A·B;法则三若limu=A,limv=B,且B≠0,则lim
ulimuA==vlimvB
推论若limu=A,C为常数,k∈N,则
(1)limC·u=C·limu=C·A;
(2)limu=(limu)k=A
注运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在(在商的情况下还要求分母的极限不为零)。
k
k
&两个重要极限
一、
limsinx
=1
x0x
lim1x
二、1=e
xx
&函数的连续性
一、函数连续性的概念
1.函数在某点的连续性
若函数f(x)在点x0及其左右有定义,且处连续,x0为函数f(x)的连续点。
理解这个定义要把握三个要点:
(1)f(x)要在点x0及其左右有定义;
(2)
lim
f(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0
xx0
lim
f(x)要存在
xx0
lim
f(x)=f(x0)。
xx0
(3)增量
△x=x-x0△y=f(x)-f(x0)
设函数f(x)在点x0及其左右有定义,如果当自变量x在点x0处的增量△x趋近于零时,相应的函数增量△y也趋近于零,即
lim
则称函数f(x)在点x0处连续,x0y0,
x0
为f(x)的连续点。
2.函数在区间上的连续性、连续函数
如果函数f(x)在区间(a,b)上每一点上连续,则称函数f(x)在区间(a,b)上连续。
如果函数f(x)在某个区间上连续,就称f(x)是这个区间上的连续函数。
二、连续函数的运算与初等函数的连续性
1.连续函数的运算
如果两个函数在某一点连续,那么它们的和、差、积、商(分母不为零)在这一点也连续。
设函数u在点x0处连续,且u0x0,函数y=f(u)点u0处连续,那么复合函数yf(x0)在点x0处也连续。
2.初等函数的连续性
初等函数在其定义域内是连续的。
第二章微分与导数
&导数的概念
设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义,当△x→0时,若
y
得极限x
存在,则称y=f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数y=f(x)点x0处的导数,记作
limfx0xfx0y
,x0f’
x0xx0x
lim
还可记作y’
∣
xx0或
dydy
∣xx0
dxdx
∣
xx0
。
(x0)和f(x0)都存在且等于A,即函数f(x)在点x0可导且f′(x0)=A等价于f
x0fx0A。
fx0Af
根据这个定理,函数在某点的左、右导数只要有一个不存在,或者虽然都存在但不相等,
该点的导数就不存在。
&导数的四则运算法则和基本公式
篇二:
大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳
1.(3分)若a1,3,2,b5,1,4,则ab
2.(3分)曲面x2y2z214在点(1,2,3)处的法线方程为
yy2y0的通解为
为周期的周期函数,则其傅里叶级数的系数表达式为3.(3分)微分方程4.(3分)设f(x)是以2an(n0,1,2,),bn
(n1,2,).
1.(4分)级数
(1)
n1n1n2为().
(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定
2.(4分)设曲面x2y2R2与x2z2R2(R0)所围成的空间立体的体积为V,若该立体在第一卦限部分的体积是V1,则().
:
V14:
1(B)V:
V16:
1(C)V:
V18:
1(D)V:
V116:
1(A)V
3.(4分)二重积分f(x,y)d在极坐标系下的面积元素为().
D
(A)ddxdy(B)drdrd(C)ddrd(D)dr2sindrd
4.(4分)若可微函数zf(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,,则下列结论中正确的是().
(A)数大于零(B)f(x0,y)在yy0处的导数等于零f(x0,y)在yy0处的导
导数小于零(D)f(x0,y)在yy0处的导数不存在f(x0,y)在yy0处的(C)
1.(6分)设f(x,y)exy(y21)arctanxy,求fx(x,1).
f(x,y)由方程ezxyz0所确定,求dz.2.(6分)设z
1.(6分)计算二重积分(x
D2y2x)d,其中D是由直线y2,yx及y2x所围成的闭区域.
2.(6分)将函数f(x)ln(2x)展开为麦克劳林级数.
3.(6分)在斜边边长为定数l的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.
1.(6
分)计算曲线积分,其中L为x2y2a2(a0),yx及x轴在第一象限内所围成的扇形
的整个边界.
2.(6分)求曲面积分Ixdydzydzdx(z22z)dxdy,其中
为锥面z
z1)的下侧.
1.(6分)计算曲线积分132(xy2y)dxxx3dy,其中c是由直线x1,yx,y2x所围成的三角形c
的正向边界.
2.(6分)判别级数11的敛散性.tannnn1
3.(6分)求幂级数
(1)
n1n1(x1)nn的收敛半径和收敛区间.
1.(6分)求微分方程yy4xex在初始条件yx00,yx01下的特解.
2.(6分)设曲线积分[f(x)eLx]sinydxf(x)cosydy与路径无关,其中f(x)有一阶连续的导数,且
f(0)0,求f(x).
评分标准
一、1.10;2.x1y2z3;123
C1exC2e2x.
1f(x)cosnxdx,bnf(x)sinnxdx;;1
二、1C;2C;3B;4B.
三、1解xf(x,1)e,
fx(x,1)ex.
z2解方程两边求微分得edzyzdxxzdyxydz0,dzyzdxxzdyezxy
四、1解画图
2y
原式dyy(x2y2x)dx02
2193y3y2dy0248
13.6
2n1x2x3x4xnx)x(1(1x解ln(1234n11),2xxln(2x)ln21ln2ln122
xxxx22xx2n2ln2
(1)(11),2234n12
2分234n1
xx2x3x4xn1
nln2
(1)(2x2).234n12223242(n1)2
1分
3解设周长和两个直角边分别为z,
则x,y,zxyl,l2x2y2.y)xyl(l2x2y2),作辅助函数为F(x,
由拉格朗日乘数法,
Fx12x0,Fy12y0,
222lxy.
解之得唯一可能的极值点2l,2l.由问题本身的性质可知最大值一定存在,并在该点处取得,既当两个直角边分别为
l,l,斜边为l时,周长最大.22
五、1解画图原式
=
a
420xdx0adt0分
a2a2a2
242
1
4a2.2解画图补充平面2
1:
z1(x2y1)取上侧.由高斯公式可得
I(z22z)dxdyydzdx(z22z)dxdy
xdydzydzdxxdydz11
(112z2)dxdydz1dxdyx2y21
211
0d0rdrr2zdz3
2.六、1解画图由格林公式得
[(x21)(x22)]dxdyD
1
2111
2.2解由比较判别法的极限形式11tan1
limn11,n2
而级数1
2收敛,所以原级数收敛.n1n
3解lian1
na1,分
n
R1,又当x11时原级数收敛,当x11时原级数发散,
分
所以原级数的收敛区间为(2,0].七、1解特征方程为r210,
特征值是r11,r21,所以齐此方程的通解为yCx
1eC2ex.因为1是特征方程的单根,故可设特解为y*x(axb)ex,利用待定系数法可得a1,b1,于是原方程的通解为yC1exC2ex(x2x)ex.将初始条件代入上式得所求特解为yexex(x2x)ex.
1分
2解由所给条件可知
[f(x)ex]cosyf(x)cosy,即f(x)f(x)ex.用常数变易法可得通解为f(x)Cex1ex
2,2分将初始条件代入上式得C1
2,1所求函f(x)1x1
2e2ex.数为
篇三:
高数下总结
序言:
除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了,而且都是考试必备知识,所
以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂!
第八章向量代数与空间解析几何
1.平面的点法式方程:
设平面过P(x0,yo,z0),法向量nA,B,C,则平面方程为:
Axx0Byy0Czz00
2.平面法向量一般求法:
一般法向量n与俩向量n1x1,y1,z1,n2x2,y2,z2,则
ijnn10nnnxyz,如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由求12111
nn02
x2y2z
第九章多元函数微分学
1.二元函数:
f(x,y)02.二元函数的极限:
xx0,
yy0
limf(x,y)
求法与一元基本一致,下判断其存在性:
一般找俩条特殊路线,若二者极限不相等则二重极限不存在,即常取ykx,ykx2等简单路线,若结果与K有关则极限不存在(注意一定要将x给消掉)例.判断下列二重极限是否存在,存在并求其值
x
x2yx2y1xy
(2)lim(3)lim
(1)
(1)limx0x2y2x0x4y2xxy0y0y0
2
kx2k
=解:
(1)取ykx,则原式=lim,与K有关,故极限不存在
x0(1k2)x21k2kx4k
(2)取ykx。
则原式=lim=,与K有关,故极限不存在
x0(1k2)x41k2
2
(3)此题无法利用上述方法判断其是否存在,故直接求
1x
(1)1xxy
lim
(1)原式=lim
(1)=x=e1(用了第二个重要极限)
xxxy0y0
3.二元函数连续性:
f(x,y)在p0(x0,y0)连续等价于
xx0
yy0
x
limf(x,y)f(x0,y0)
4.偏导数求法:
对x求则把y看成常数,反之亦然
例.
zecosy
2x
zz2z2z,,(求为二阶偏导)xyxyxy
zz2x
e2xsiny2ecosy解.
yx
z
)2
(2e2xcosy)z2e2xsiny
xyyy
(
5.全微分几个概念间关系
①可微函数一定连续(不连续一定不可微)②可微则偏导一定存在(逆命题不成立)且dz③函数有一阶连续偏导则函数一定可微④偏导不存在一定不可微
zz
dxdy(全微分公式)xy
x2y2
63
例.讨论函数f(x,y)xy
0
,x2y20,x2y20
在(0,0)是否可微
解.思路:
求其在(0,0)点极限是否存在,判断其连续性从而判断其是否可微
x2y21kx6
limxy,)在(0,0)取ykx,==取决于k,则x06故f(lim33x0x6k3x6xy1ky0
2
点极限不存在(即使存在若不等于0,该函数在(0,0)点不连续,亦不可微),故f(x,y)在(0,0)点不连续,故函数在(0,0)不可微6.复合函数求导法则:
分道相加,连线相乘
①中间函数为一元:
uu(x),vv(x),zfu(x),v(x)z
uv
x
则
dzfdufdvf其中可用f'表示(f对一个变量的偏导)
1dxudxvdxuf
可用f'表示,这样就避免了u、v在最后结果中出现了
2v
同理
例.zxtanx,求
dzdx
解.zf(u,v)uv,ux,vtanx
则
dzfdufdv
f'f'sec2x
12dxudxvdx
②中间函数为二元:
uu(x,y),vv(x,y),zfu(x,y),v(x,y)z
ux
vy
zfufvzfufv
下面举一个特别重要的例子则
xuxvxyuyvy2z
例.f具有二阶连续偏导,zf(xy,xy),求
xy
2
2
解.zf(u,v),ux2y2,vxy
则
zfufv
f'2xf'y
12xuxvx
z
)f1'uf1'vf2'uf2'vz2xf2'y
xyyuyvyuyvy
2
(
2yf12''xf2'yf21''2yf22''x2xf11''
由于f具有二阶连续偏导,故f12''f21''(f12''表示f1'对第2个变量v的偏导,其他同理)
22
故原式4xyf11''2xyf12''f2'xyf22''这种题一定要弄懂!
!
!
7.隐函数微分法
①一个方程情形:
zfx'zfy'dyfx'
,f(x,y)0则)则0,f(x,y,zdxfy'xfz'yfz'
例.exy2zez0求全微分dz
解.令fxe
xy
zfx'yexyzfy'xexy
2ze则zz,
xfz'e2yfz'e2
z
zzyexyxexy
dxdyzdxzdy故dzxye2e2
②方程组情形(有3个未知量时求的是导数,有4个未知量时求的是偏导)
方法:
对方程两边同时对x或y或其他变量求(偏)导即可
xyz0
例
(1)222
xyz1
22
xyuv0dxdy
求
(2)u2v202
2
dzdzxyuv0
求
uv
xx
解.
(1)方程组两边同时对z求导得:
dxdy
10dzdz
2xdx2ydy2z0dzdz
dxzy
dzyx
解得
dyzxdzxy
(2)方程两边同时对x求偏导得:
uv
y2u2v0xx
2xvuuv0xx
8.方向导数与梯度
4xvyuu
x2u2v2
解得
v4xuyv
x2u2v2
①方向导数:
设二元函数f(x,y)在点p0(x0,y0)处可微,则f(x,y)在点p0(x0,y0)处沿任意方向l0的方向导数都存在,且其值:
f
fx'(x0,y0)cosfy'(x0,y0)sin其中为l对x轴正向的转角
lx0,y0
2y
例.求fx,yxecos(xy)在点(1,0)处沿从点P(2,1)到点Q(3,0)方向l的方向导数
7
解.方向l即为向量PQ1,1所指方向,=,
故cos,又4
y
,fx'(x,y)2eysinx(y)f'(x,y)2xe2yxsin(xy)所以,
y
fx'(1,0)
,
1fy'(1,0)2代入公式即得
f
l
1,0uuu
,,②梯度:
uf(x,y,z)在P(x0,y0,z0)梯度为gradu(p),xyzxyz000
它是一个向量。
9.多元函数求极值
方法:
先求其一阶
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- 总结 大一