天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详细讲解.docx

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天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详细讲解

第4章随机变量的数字特征

一、填空题

1、设为北方人的身高，为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于

2、设为今年任一时刻的气温，为今年任一时刻的气温，则今年的气温变化比的大，相当于.

3、已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数

n=6,p=0.4.

4、已知服从，则.=1,=1/2.

5、设的分布律为

0

1

2

则9/4.

6、设相互独立，则协方差0.

这时，之间的相关系数0.

7、若是随机变量的相关系数，则的充要条件是.

8、是随机变量的相关系数，当时，与不相关，当时，与几乎线性相关.

9、若，且相互独立，则36.

10、若为常数，则.

11、若相互独立，，则0.

12、若随机变量服从上的均匀分布，则π.

13、若，则12，85，

37.

14、已知，，则30.

15、若随机变量的概率密度为，则2，

1/3.

二、计算题

1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。

设

表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？

解:

的分布律为:

1

2

3

4

5

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5

（1+2+3+4+5）=3.

答：

略

2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射]

击几次？

解:

设为射击次数，则的分布律为:

1

2

3

答：

略

3、设的密度函数为，求、

解:

故

4、（拉普拉斯分布）的密度函数为，求.、

解:

故

5、设连续型随机变量的分布函数

求、、、.

解:

为连续型随机变量，

为连续函数.

可解得;,.

的概率密度

=0

令，则

6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3,假设它们的状态相互独立，以表示同时需调整的部件数，求、

解:

设表示第个部件需调整，=1,2,3

则

故

7、对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间，求圆面积的数学期望.

解:

因为~，所以的密度

设=“圆面积”，则=，所以

.

8、设随机变量、，求、.

解:

显然

所以.

1

2

3

-1

0.2

0.1

0

0

0.1

0

0.3

1

0.1

0.1

0.1

9、设的分布律为

求.

解:

10、已知随机变量的概率密度为

求的概率密度

解:

所以

所以

11、设随机变量的密度函数为

求.

解:

：

=.

12、设随机变量和相互独立，且，

求.

解:

13、设二维随机变量的均值、存在，

证明：

。

证：

因为

所以

14、证明：

如果随机变量与相互独立，且，存在，则

证：

15、设区域为，二维随机变量服从上的均匀分布，判断、

的相关性、独立性.

解:

显然，二维随机变量的概率密度函数为

所以

因此

同样可得

又

所以

故、不相关，但由于

所以与不相互独立.

16、设随机变量和的联合分布律为

验证不相关，但不相互独立.

证：

因为

所以

故不相关.

又，

所以

故不相互独立.

17、设随机变量具有概率密度

求.

解：

由的“对称性”可得

.

又

所以.

又

由的“对称性”可得

所以

故

18、已知随机变量，不相关，都具有零期望值及方差为1，

令，，试求。

解：

19、设相互独立

求的相关系数.（其中是不为0的常数）

解：

因为相互独立，所以

所以

.