多元复合函数求导和隐函数求导.doc
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多元复合函数求导和隐函数求导
这节内容比较难,听课要认真。
要搞清我们学什么,要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。
一.显函数及复合函数
1.显函数:
(显现出来)
(显现出)
2,二元显函数求偏导:
将一个固定,对另一变量求导。
3,复合函数:
(复合函数是显函数)
——
——
一元:
作图:
作图:
——
——
二元:
(如)作图:
————
三元:
如作图:
——
——
4,链式:
→一条链
两条链
二、复合函数的求导:
链式法则:
一元:
——
——
“一条链”+“另一条链”
同理写出下列链式公式:
——
——
————
例1
解:
方法一:
把代入直接求;
方法二:
用链式法则
——
——
例2对抽象函数,求
——
————
——
解:
令
隐函数的求导
上节我们学了复合函数的求导法则:
链式法则。
今天我们开始学习隐函数的求导,首先我们要弄清什么是隐函数。
一、隐函数:
(隐藏在方程中的函数)
一元:
确定函数(如)
二元:
确定函数(如)
由定义首先我们的问题是:
什么情况下隐函数存在?
若存在,又怎样对其求导?
对第一个问题,我们不做深入的研究。
大家要知道160页定理2的前半部分说明隐函数的存在性。
下面我们研究如何求导或偏导。
二、隐函数求导方法:
一元二元
隐函数存在性定理隐函数存在定理
方法一:
两边对求导,把看作;方法一:
两边对或求导,把看作;
(本质是复合函数求导)(本质是复合函数求偏导)
方法二:
(公式法)方法二:
(公式法)
求法:
——
——
,把看作,把看作
两边对求偏导,两边对求偏导,
比较两种方法:
其本质相同,但“形”上不同。
第一种方法中,需要把把看作;而第二种方法是对而言。
例:
由确定的函数,求
解:
方法一:
(两句话:
两边对求导,把看作)
方法二:
(公式法:
注意公式中的函数)
设
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