高三模拟考试数学试题.docx
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高三模拟考试数学试题
2019-2020年高三3月模拟考试数学试题
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.(5分)(xx•南京二模)已知集合A={2a,3},B={2,3}.若A∪B={1,2,3},则实数a的值为 0 .
考点:
并集及其运算.
分析:
根据题意,由A与B及A∪B,易得2a=1,即可得到答案.
解答:
解:
∵集合A={2a,3},B={2,3}且A∪B={1,2,3},
则有2a=1,
∴a=0
故答案为:
0.
点评:
本题考查集合的并集运算,注意要考虑集合元素的互异性.
2.(5分)(xx•南京二模)函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是 π .
考点:
二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法.
专题:
计算题;三角函数的图像与性质.
分析:
根据二倍角的正弦公式,化简可得f(x)=sin2x,再由三角函数的周期公式即可算出函数f(x)的最小正周期.
解答:
解:
∵sin2x=2sinxcosx
∴f(x)=sinxcosx=sin2x,
因此,函数f(x)的最小正周期T==π
故答案为:
π
点评:
本题给出三角函数式,求函数的周期,着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识,属于基础题.
3.(5分)(xx•南京二模)若复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为 2 .
考点:
复数的基本概念.
专题:
计算题.
分析:
利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.
解答:
解:
∵复数===是纯虚数,
∴,解得m=2.
因此实数m的值为2.
故答案为2.
点评:
熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键.
4.(5分)(xx•南京二模)盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是 .
考点:
古典概型及其概率计算公式.
专题:
概率与统计.
分析:
因为只是从盒子中摸出求,对3只白球和2只黑球标记后无需思考排序问题,用列举法写出从中随机地摸出两只球的所有摸法种数,查出两只球颜色相同的摸法种数,则两只球颜色相同的概率可求.
解答:
解:
记3只白球分别为白1,白2,白3,2只黑球分别记为黑1,黑2.
从中随机地摸出两只球,所有不同的摸法为(白1白2)(白1白3)(白1黑1)(白1黑2)(白2白3)(白2黑1)
(白2黑2)(白3黑1)(白3黑2)(黑1黑2)共10种,
其中两只球颜色相同的摸法有(白1白2)(白1白3)(白2白3)(黑1黑2)共4种,
所以两只球颜色相同的概率是p=.
故答案为.
点评:
本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了列举法列举随机事件的个数,是基础题.
5.(5分)(xx•南京二模)根据xx年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定(试行)》,AQI共分为六级:
(0,50]为优,(50,100]为良,(100,150]为轻度污染,(150,200]为中度污染,(200,300]为重度污染,300以上为严重污染.2012年12月1日出版的《A市早报》对A市xx年11月份中30天的AQI进行了统计,频率分布直方图如图所示,根据频率分布直方图,可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为 12 .
考点:
频率分布直方图.
专题:
图表型.
分析:
根据频率分布直方图,估计该月环境空气质量优、良的频率和,进而根据频数=频率×样本容量可得答案.
解答:
解:
由频率分布直方图得:
样本中“环境空气质量优、良”的频率为(0.002+0.006)×50=0.04…4分
由样本估计总体,A市该月环境空气质量优、良的总天数为0.04×30=12天…8分
故答案为:
12.
点评:
本题考查的知识点是频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图中频率=矩形的高×组距是解答的关键.
6.(5分)(xx•南京二模)如图是一个算法流程图,其输出的n的值是 5 .
考点:
程序框图.
分析:
本题是一个循环结构,由图可以看出此循环体执行5次,由于每次执行都是对S加上3n,由此规律计算出结果.
解答:
解:
此图,此循环体共执行了5次,
第一次执行S=1+3=4,n=2;
第二次执行后TS=1+3+6=10,n=3;
第三次执行后,S=1+3+6+9=19,n=4;
第四次执行后,S=1+3+6+9+12=31,n=5;
此时S=31>20,
故退出循环体,输出n=5.
故答案为:
5.
点评:
本题考查循环结构,解题的关键是根据框图得出算法以及运行的过程,从而计算出所要的结果.
7.(5分)(xx•南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为的扇形,则此圆锥的高为 cm.
考点:
点、线、面间的距离计算;弧长公式;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
设此圆的底面半径为r,高为h,母线为l,根据底面圆周长等于展开扇形的弧长,建立关系式解出r=1,再根据勾股定理得h==2cm,即得此圆锥高的值.
解答:
解:
设此圆的底面半径为r,高为h,母线为l,则
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为的扇形,
∴l=3,得2πr=×l=2π,解之得r=1
因此,此圆锥的高h===2cm
故答案为:
2
点评:
本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径为和圆心角,求圆锥高的大小.着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识,属于基础题.
8.(5分)(xx•南京二模)在平面直角坐标系xOy中,设过原点的直线l与圆C:
(x﹣3)2+(y﹣1)2=4交于M、N两点,若MN,则直线l的斜率k的取值范围是 [0,] .
考点:
直线与圆的位置关系.
专题:
直线与圆.
分析:
如图所示,过点C作OE⊥MN,垂足为E,连接CM.由|MN|,则可得|CE|≤,利用点到直线的距离公式求出|CE|即可.
解答:
解:
如图所示,过点C作OE⊥MN,垂足为E,连接CM.
设直线MN的方程为y=kx,则|CE|==,
∵|MN|,∴,
化为4k2﹣3k≤0,解得.
故直线l的斜率k的取值范围是.
故答案为.
点评:
熟练掌握直线与圆相交时弦长l、半径r及弦心距d三者之间的关系及点到直线的距离公式是解题的关键.
9.(5分)(xx•南京二模)设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,若,S5=5,则a7的值为 9 .
考点:
等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
设出等差数列的公差,由题意列关于首项和公差的二元一次方程组,求出首项和公差,则a7的值可求.
解答:
解:
设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由,S5=5,
得
,
整理得,解得.
所以a7=a1+6d=﹣3+6×2=9.
故答案为9.
点评:
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式,考查了学生的计算能力,是基础题.
10.(5分)(xx•南京二模)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x﹣1﹣3,则不等式f(x)>1的解集为 (﹣2,0)∪(3,+∞) .
考点:
奇偶性与单调性的综合;其他不等式的解法.
专题:
计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:
当x=0时根据奇函数的特性得f(x)=0,故原不等式不成立;当x>0时,原不等式化成2x﹣1﹣3>1,解之可得x>3;当x<0时,结合函数为奇函数将原不等式化为2﹣﹣x﹣1﹣3<﹣1,解之可得﹣2<x<0.最后综合即可得到原不等式的解集.
解答:
解:
①当x=0时,f(x)=0,显然原不等式不能成立
②当x>0时,不等式f(x)>1即2x﹣1﹣3>1
化简得2x﹣1>4,解之得x>3;
③当x<0时,不等式f(x)>1可化成﹣f(﹣x)>1,即f(﹣x)<﹣1,
∵﹣x>0,可得f(﹣x)=2﹣x﹣1﹣3,
∴不等式f(﹣x)<﹣1化成2﹣x﹣1﹣3<﹣1,
得2﹣x﹣1<2,解之得﹣2<x<0
综上所述,可得原不等式的解集为(﹣2,0)∪(3,+∞)
点评:
本题给出奇函数在大于0时的不等式,求不等式f(x)>1的解集.着重考查了函数的奇偶性、函数解析式的求法和指数不等式的解法等知识,属于基础题.
11.(5分)(xx•南京二模)在△ABC中,已知AB=2,BC=3,∠ABC=60°,BD⊥AC,D为垂足,则的值为 .
考点:
向量在几何中的应用.
专题:
平面向量及应用.
分析:
因为BD是AC边上的高,所以BD丄CC,•=0,故有=•(+)=2+•=.由△ABC的面积=AB×BCsin60°=AC×BD结合余弦定理能求出BD的长,从而得出结果.
解答:
解:
∵BD是AC边上的高,∴BD丄AC,
∴•=0,
∴=•(+)=2+•=.
又△ABC的面积=AB×BCsin60°或△ABC的面积=AC×BD
∴AB×BCsin60°=AC×BD
∴×2×3sin60°=×BD
∴BD=
∴=.
故答案为:
.
点评:
本题考查平面向量的数量积的运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意向量垂直的合理运用.
12.(5分)(xx•南京二模)关于x的不等式(2ax﹣1)lnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的值为 .
考点:
函数恒成立问题.
专题:
综合题;不等式的解法及应用.
分析:
依题意,对x∈(0,1],x∈[1,+∞)分类讨论,构造f(x)=,利用函数的单调性即可求得实数a的值.
解答:
解:
∵(2ax﹣1)lnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
∴当x∈(0,1]时,lnx≤0,
∴2ax﹣1≤0,
∴a≤(0<x≤1),
令f(x)=,则f(x)在(0,1]上单调递减,
∴f(x)min=f
(1)=
∴a≤.①
当x∈[1,+∞)时,lnx≥0,
∴(2ax﹣1)lnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立⇔2ax﹣1≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
同理可求a≥f(x)max=f
(1)=.②
由①②得:
a=.
故答案为:
.
点评:
本题考查函数恒成立问题,考查构造函数与分类讨论思想,考查函数的单调性,属于难题.
13.(5分)(xx•南京二模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:
.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A、B两点,若,则直线l的斜率为 .
考点:
双曲线的简单性质;直线的斜率.
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设直线AB方程为y=kx+1,与双曲线方程联解得(3﹣4k2)x2﹣8kx﹣16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=且x1x2=,根据得x1=﹣2x2,将三个式子联解,即可得到直线l的斜率.
解答:
解:
设直线AB方程为y=kx+1,与双曲线消去y,
得(3﹣4k2)x2﹣8kx﹣16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系,得…
(1)
∵,可得x1=﹣2x2,∴代入
(1)得,
消去x2得﹣2()2=,解之得k2=,得k=
故答案为:
点评:
本题给出经过点M(0,1)的直线l交双曲线于AB两点,在已知的情况下求直线的斜率.着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识,属于中档题.
14.(5分)(xx•南京二模)已知数列{an}的通项公式为an=7n+2,数列{bn}的通项公式为.若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c9的值为 961 .
考点:
等差数列与等比数列的综合.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由数列{an}的通项公式为an=7n+2,数列{bn}的通项公式为.可分析出当m=7k+4或m=7k+5,k∈Z时,bm才能在{an}中出现,即为公共项.进而得到答案.
解答:
解:
令an=bm,即7n+2=m2,
设k∈Z,
1.若m=7k,则bm=49k2=7(7k2)∉{an}.
2.若m=7k+1,则bm=(7k+1)2=49k2+14k+1=7(7k2+2k)+1∉{an}.
3.若m=7k+2,则bm=(7k+2)2=49k2+28k+4=7(7k2+4k)+4∉{an}.
4.若m=7k+3,则bm=(7k+3)2=49k2+42k+9=7(7k2+6k+1)+2∈{an}.
5.若m=7k+4,则bm=(7k+4)2=49k2+56k+16=7(7k2+8k+2)+2∈{an}.
6.若m=7k+5,则bm=(7k+5)2=49k2+70k+25=7(7k2+10k+3)+4∉{an}.
7.若m=7k+6,则bm=(7k+6)2=49k2+84k+36=7(7k2+12k+5)+1,不∈{an}.
故当m=7k+3和m=7k+4,k∈Z时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项.
所以公共项为b3,b4,b10,b11,b17,b18,b24,b25,b31,b32,…
所以c9=312=961.
故答案为:
961
点评:
本题考查的知识点是等差数列和等比数列,其中分析出当m=7k+4或m=7k+5,k∈Z时,bm才能在{an}中出现,即为公共项,是解答的关键.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.
15.(14分)(xx•南京二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,
(1)求B;
(2)若,求cosC的值.
考点:
正弦定理;两角和与差的正切函数.
专题:
解三角形.
分析:
(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、特殊角的三角函数值即可得出;
(2)利用两角和的正切公式平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式即可得出.
解答:
解:
(1)由正弦定理得,
∴,
∴,化为sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,
∴sin(B+C)=2sinAcosB,
∵B+C=π﹣A,∴sinA=2sinAcosB,
∵A∈(0,π),∴sinA≠0,得到.
又B∈(0,π),∴.
(2)∵,∴,解得.
∵A∈(0,π)∴A为锐角.
∴,.
∴cosC=cos(π﹣A﹣B)=cos(A+B)==﹣cosAcos+==.
点评:
熟练掌握正弦定理、两角和的正弦余弦正切公式、诱导公式、特殊角的三角函数值是解题的关键.
16.(14分)(xx•南京二模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,PB⊥平面ABCD,CD⊥BD,PB=AB=AD=1,点E在线段PA上,且满足PE=2EA.
(1)求三棱锥E﹣BAD的体积;
(2)求证:
PC∥平面BDE.
考点:
直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
(1)先作垂线,求棱锥的高,再根据体积公式求棱锥的体积;
(2)根据在三角形中分相邻两边等比例的线段平行于底边,证线线平行,再由线线平行证明线面平行.
解答:
解:
(1)过E作EF⊥AB,垂足为F,
∵PB⊥平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD,
又平面PAB∩平面ABCD=AB,EF⊂平面PAB,
∴EF⊥平面ABCD,即EF为三棱锥E﹣BAD的高,
∵EF∥PB,PE=2EA,PB=1,∴EF=,
∵CD⊥BD,梯形ABCD为直角梯形,∴∠A=90°,
∵AB=AD=1,∴VE﹣BAD=×S△BAD×EF=.
(2)证明:
连接AC交BD与G,连接EG,
∵∠A=90°,AB=AD=1,∴BD=,∠CBD=45°,
∵CD⊥BD,∴BC=2,
∵AD∥BC,BC=2,AD=1,∴=,
∵PE=2EA,∴EG∥PC,
又PC⊄平面BDE,EG⊂平面BDE,
∴PC∥平面BDE.
点评:
本题考查线面平行的判定及棱锥的体积.
17.(14分)(xx•南京二模)如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心,∠AOB=60°,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:
在上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE,问C应选在何处,才能使得修建的道路CD与CE的总长最大,并说明理由.
考点:
余弦定理;正弦定理.
专题:
计算题;解三角形.
分析:
由题意,得四边形ODCE是平行四边形,连接OC,设OC=r,OD=x,OE=y,可得△OCD中∠ODC=180°﹣∠AOB=120°.利用余弦定理得r2=x2+y2+xy,再由基本不等式算出x+y≤r,当且仅当x=y=r时等号成立.由此可得当点C取在弧AB的中点时,可使修建的道路CD与CE的总长最大.
解答:
解:
根据题意,四边形ODCE是平行四边形
因为∠AOB=60°,所以∠ODC=180°﹣∠AOB=120°
连接OC,设OC=r,OD=x,OE=y
在△OCD中,根据余弦定理得OC2=OD+2DC2﹣2OD•DCcos120°
即r2=x2+y2+xy
∴(x+y)2=r2+xy≤r2+()2.
解之得(x+y)2≤r2,可得x+y≤r,当且仅当x=y=r时,等号成立
∴x+y的最大值为r,此时C为弧AB的中点
答:
当点C取在弧AB的中点时,可使修建的道路CD与CE的总长最大.
点评:
本题给出圆心角为60度的扇形场地,求修建道路CD与CE的总长最大最大值.着重考查了利用余弦定理解三角形、基本不等式求最值等知识,属于中档题.
18.(16分)(xx•南京二模)已知数列{an}的各项都为正数,且对任意n∈N*,都有(k为常数).
(1)若,求证:
a1,a2,a3成等差数列;
(2)若k=0,且a2,a4,a5成等差数列,求的值;
(3)已知a1=a,a2=b(a,b为常数),是否存在常数λ,使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立?
若存在.求出λ;若不存在,说明理由.
考点:
数列递推式;等差关系的确定.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(1)把,代入,令n=1化简即可证明;
(2)当k=0时,,由于数列{an}的各项都为正数,可得数列{an}是等比数列,设公比为q>0,根据a2,a4,a5成等差数列,可得a2+a5=2a4,即,解出即可;
(3)存在常数λ=,使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立.由,及,可得,由于an>0,两边同除以anan+1,得到,进而=…=,即当n∈N*时,都有,再利用已知求出a1,a2,a3即可证明.
解答:
(1)证明:
∵,
∴,
令n=1,则,
∵a1>0,∴2a2=a1+a3,
故a1,a2,a3成等差数列;
(2)当k=0时,,
∵数列{an}的各项都为正数,
∴数列{an}是等比数列,设公比为q>0,
∵a2,a4,a5成等差数列,
∴a2+a5=2a4,∴,
∵a1>0,q>0,
∴q3﹣2q2+1=0,
化为(q﹣1)(q2﹣q﹣1)=0,解得q=1或.
∴或.
(3)存在常数λ=,使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立.
证明如下:
∵,∴,
∴,即,
由于an>0,两边同除以anan+1,得到,
∴=…=,
即当n∈N*时,都有,
∵a1=a,a2=b,,
∴a3=.∴=.
∴存在常数λ=,使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立.
点评:
本题综合考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式,灵活的变形推理能力和计算能力.
19.(16分)(xx•南京二模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(x0,y0)在椭圆C上,F为椭圆的左焦点,直线l的方程为x0x+3y0y﹣6=0.
①求证:
直线l与椭圆C有唯一的公共点;
②若点F关于直线l的对称点为Q,求证:
当点P在椭圆C上运动时,直线PQ恒过定点,并求出此定点的坐标.
考点:
直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(1)把A,B的坐标代人椭圆的方程即可解得a2,b2;
(2)①把直线l的方程与椭圆的方程联立,证明△=0即可;
②把直线l的方程为x0x+3y0y﹣6=0与过点F且与直线l垂直的方程为3y0x﹣x0y+6y0=0联立即可得到交点坐标,再利用中点坐标公式即可得到其对称点Q的坐标,得到直线PQ的方程即可证明.
解答:
解:
(1)由题意得
解得
所以所求椭圆C的方程为.
(2)联立,消去y得
(*)
由于点P(x0,y0)在椭圆C上,∴,化为.
故(*)可化为.
∵.
所以方程组仅有一组解(x0,y0),即直线与椭圆有唯一公共点.
②点F(﹣2,0),过点F且与直线l垂直的方程为3y0x﹣x0y+6y0=0.
解方程,得
,
因为P(x0,y0)在椭圆,∴,所以解即为
.
所以点F(﹣2,0)关于直线l的对称点的坐标为Q.
当x0≠2时,
=.
所以直线PQ的方程为.
即(x﹣2)y0﹣yx0+2y=0.
∴,即直线过定点M(2,0).
点评:
本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立得到根与系数的关系、轴对称、中点坐标公式、直线过定点问题等基础知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力.
20.(16分)(xx•南京二模)设函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x﹣alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值;
(3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1,x2,求证:
.
考点:
利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;不等式的证明.
专题:
导数的综合应用.
分析:
(1)对a分类讨论,利用导数与函数单调性的关系即可得出;
(2)由
(1)可得,若函数f(x)有两个零点,则a>0,且f(x)的最小值,即.可化为h(a)=.利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出;
(3))由x1,x2是方程f(x)=c得两个不等实数根,由
(1)可知:
a>0.不妨设0<x1<x2.则,.
两式相减得
+alnx2=0,化为a=.由,当时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0.故只要证明即可,即证明,令换元,再利用导数即可证明.
解答:
解:
(1)x∈(0,+∞).
==.
当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞0上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
当a>0时,由f′(x)>0得;由f′(x)<0,解得.
所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由
(1)可得,若函数f(x)有两个零点,则a>0,且f(x)的最小值,即.
∵a>0,∴.
令h(a)=a+﹣4,可知h(a)在(0,+∞)上为增函数,且h
(2)=﹣2,h(3)==,
所以存在零点h(a0)=0,a0∈(2,3),
当a>a0时,h(a)>0;当0<a<a0时,h(a)<0.
所以满足条件的最小正整数a=3.
又当a=3时,f(3)=3(2﹣ln3)>0,f
(1)=0,∴a=3时,f(x)由两个零点.
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