福建省莆田市届高三下学期模拟考试 文科数学word版含答案.docx
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福建省莆田市届高三下学期模拟考试文科数学word版含答案
2020年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本试卷共6页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前ꎬ考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时ꎬ将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答ꎬ超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎻ非选择题答案使用05毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写ꎬ字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁ꎬ不折叠、不破损.考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题ꎬ每小题5分ꎬ共60分在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的
1已知集合A={xy=x+1}ꎬB={xx2+x-2<0}ꎬ则A∩B=
A{x-1<x<1}B{x-1≤x<1}
C{x-1<x<2}D{x-1≤x<2}2若iz=1-2iꎬ则z=
A3B5C3D53设等差数列{an}前n项和为Snꎬ若a2=4ꎬS5=10ꎬ则a5=
A-2B0C6D10
2x
4函数f(x)=的图象大致为
x2+1
AB
CD
文科数学试卷第1页(共6页)
1
5已知2a=ꎬb=5-2ꎬ
3
c=log34ꎬ则
Aa>b>cBa>c>bCc>a>bDc>b>a
6执行右边的程序框图ꎬ则输出S的值为
A7
B8
C15
D31
7已知抛物线C:
y2=4x的焦点为FꎬA为C上一点ꎬ且AF=5ꎬO为坐标原点ꎬ则△OAF的面积为
A2B5C23D4
8在长方体ABCD-ABCD
中ꎬAB=BC=1ꎬ异面直线AD
与BD所成
11111
10
角的余弦值为ꎬ则AA1=
10
A1B2C19D22
9有2个人在一座6层大楼的底层进入电梯ꎬ假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的ꎬ则2个人在不同层离开的概率为
1
A
6
1
B
5
4
C
5
5
D
6
10已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0ꎬ0<φ<π)的图象关于直线x=5π对称ꎬ且
6
f⎛7π⎫
ç÷=0.当ω取最小值时ꎬφ=
⎝12⎭
π
A
6
π
B
3
x2y2
2π
C
3
5π
D
6
11已知双曲线C:
-=1(a>b>0)的右焦点为FꎬO为坐标原点以F为圆心ꎬOFa2b2
为半径作圆Fꎬ圆F与C的渐近线交于异于O的AꎬB两点.若AB=
离心率为
OFꎬ则C的
A
210
5
B
1+7
3
23
C
3
D2
x3-3xꎬx≥aꎬ
12设函数f(x)=是定义域为R的增函数ꎬ则实数a的取值范围是
a2x-6ꎬx<a
A[1ꎬ+∞)B[
3ꎬ+∞)C[1ꎬ2]D[
文科数学试卷第2页(共6页)
3ꎬ2]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题ꎬ考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题ꎬ每小题5分ꎬ共20分.
13已知向量a=(2ꎬx)ꎬb=(3ꎬ2)ꎬ且(a-b)∥bꎬ则x=.
⎧⎪x-y+1≥0ꎬ
⎪
14设xꎬy满足约束条件⎨x+y-2≥0ꎬ
⎪
⎪
⎩x≤3ꎬ
则z=2x+y的最大值为.
15若数列{an}满足a1=2ꎬan+1=
an+1
1-an
ꎬ则a2020=.
16有一根高为30cmꎬ底面半径为5cm的圆柱体原木(图1)某工艺厂欲将该原木加工成一工艺品ꎬ该工艺品由两部分组成ꎬ其上部分为一个球体ꎬ下部分为一个正四棱柱(图2)问该工艺品体积的最大值是cm3
‰1‰2
文科数学试卷第3页(共6页)
三、解答题:
共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题ꎬ考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分
17(12分)
足不出户ꎬ手机下单ꎬ送菜到家ꎬ轻松逛起手机“菜市场”ꎬ拎起手机“菜篮子”在省时省心的同时ꎬ线上买菜也面临着质量不佳、物流滞后等问题“指尖”上的菜篮子该如何守护“舌尖”上的幸福感?
某手机APP(应用程序)公司为了解这款APP使用者的满意度ꎬ对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查”活动ꎬ邀请每位使用者填写一份满意度测评表(满分100分).该公司最后共收回1100份测评表ꎬ随机抽取了100份作为样本ꎬ得到如下数据:
评分
[40ꎬ50)
[50ꎬ60)
[60ꎬ70)
[70ꎬ80)
[80ꎬ90)
[90ꎬ100]
合计
男性
1
4
7
13
12
8
45
女性
0
5
9
11
16
14
55
(1)从表中数据估计ꎬ收回的测评表中ꎬ评分不小于80分的女性人数ꎻ
(2)该公司根据经验ꎬ对此APP使用者划分“用户类型”:
评分不小于80分的为“A类用户”ꎬ评分小于80分的为“B类用户”.
(ⅰ)请根据100个样本数据ꎬ完成下面列联表:
用户类型
性别
A类用户
B类用户
合计
男性
45
女性
55
合计
100
(ⅱ)根据列联表判断能否有95%的把握认为“用户类型”与性别有关?
n(ad-bc)2
附:
K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
文科数学试卷第4页(共6页)
18(12分)
△ABC的内角AꎬBꎬC的对边分别为aꎬbꎬcꎬ已知acosC+ccosA+2bcosB=0.(1)求Bꎻ
(2)设D为AC上的点ꎬBD平分∠ABCꎬ且AB=3BD=3ꎬ求sinC.
19(12分)
如图ꎬ四棱锥P-ABCD的底面是菱形ꎬAB=AC=2ꎬP
PA=23ꎬPB=PD
(1)证明:
平面PAC⊥平面ABCDꎻ(2)若PA⊥ACꎬM为PC的中点ꎬ
求三棱锥B-CDM的体积.M
A
D
BC
20(12分)
已知F1ꎬF2
⎛
为椭圆E:
⎫
2y2
+
a2b2
=1(a>b>0)的左、右焦点ꎬ且F1F2
=23ꎬ
点Pç26ꎬ3÷在E上
⎝33⎭
(1)求E的方程ꎻ
(2)直线l与以E的短轴为直径的圆相切ꎬl与E交于AꎬB两点ꎬO为坐标原点ꎬ试判断
O与以AB为直径的圆的位置关系ꎬ并说明理由
21(12分)
已知函数f(x)=(1-sinx)ex
(1)求f(x)在区间(0ꎬπ)的极值ꎻ
(2)证明:
函数g(x)=f(x)-sinx-1在区间(-πꎬπ)有且只有3个零点ꎬ且之和为0
文科数学试卷第5页(共6页)
(二)选考题:
共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如
果多做ꎬ则按所做第一个题目计分ꎬ作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中ꎬ已知直线l过点P(2ꎬ2).以坐标原点为极点ꎬx轴正半轴为极轴建立极坐标系ꎬ曲线C的极坐标方程为ρ-ρcos2θ-4cosθ=0
(1)求C的直角坐标方程ꎻ
(2)若l与C交于AꎬB两点ꎬ求的最大值
23[选修4-5:
不等式选讲](10分)已知f(x)=2x-1+x+2.(1)求不等式f(x)≤5的解集ꎻ
(2)若x∈[-1ꎬ+∞)时ꎬf(x)≥kx+kꎬ求k的取值范围
文科数学试卷第6页(共6页)
2020年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷
文科数学试题参考解答及评分标准
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分.
3.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本大题考查基础知识和基本运算每小题5分ꎬ满分60分
1B
2B
3A
4C
5D
6C
7A
8B
9C
10D
11C
12D
二、填空题:
本大题考查基础知识和基本运算每小题5分ꎬ满分20分
4
13
3
1
141015
3
161000+
500
π
3
三、解答题:
本大题共6小题ꎬ共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17本小题主要考查随机抽样、独立性检验等基础知识ꎬ考查数据处理能力、运算求解能力与应用意识ꎬ考查统计与概率思想ꎬ考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养ꎬ体现基础性、综合性与应用性满分12分
为
解:
(1)从表中数据得不小于80分的女性比例16+14
100
=310
2分
3
故可估计评分不小于80分的女性人数为
10
×1100=330人
4分
(2)根据题意得列联表:
8分
2
55×45×50×50≈1010<3841ꎬ
查表得:
P(K2≥3841)≈0050ꎬ
10分
所以没有95%的把握认为“用户类型”与性别有关
文科数学试卷答案第1页(共7页)
12分
18本小题主要考查三角函数关系式、解三角形等基础知识ꎬ考查推理论证能力和运算求解
能力ꎬ考查函数与方程思想、化归与转化思想ꎬ考查逻辑推理、数学运算等核心素养ꎬ体现基础性、综合性满分12分
解:
(1)因为acosC+ccosA+2bcosB=0ꎬ
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB=0ꎬ1分
所以sin(A+C)+2sinBcosB=0
因为A+B+C=πꎬ
2分
所以sinB+2sinBcosB=0ꎬ3分
1
因为sinB≠0ꎬ故cosB=-
2
4分
因为0<B<πꎬ
所以B=2π
3
5分
(2)由(1)知B=2πꎬ因为BD平分∠ABCꎬ
3
所以∠ABD=π
3
6分
在△ABD中ꎬ因为AB=3BD=3ꎬ
由余弦定理ꎬ得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos∠ABDꎬ
7分
1
即AD2=9+1-2×3×1×
2
AB2+AD2-BD2
=7ꎬ即AD=7
9+7-1
8分
所以cosA=
2ABAD
==
2×3×714
9分
因为0<A<πꎬ
21
所以sinA=14
10分
因为∠C+∠A+∠ABC=πꎬ
所以sinC=sin(π
3
–A)
11分
=sinπcosA-cosπsinA
=32
3
×57
14
-12
3
×21
14
=217
12分
文科数学试卷答案第2页(共7页)
19本小题主要考查空间直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识ꎬ考查空间
想象能力、推理论证能力、运算求解能力ꎬ考查化归与转化思想、数形结合思想ꎬ考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养体现基础性、综合性满分12分
解:
(1)设BD交AC于点Oꎬ连接POꎬ
在菱形ABCD中ꎬAC⊥BDꎬ
又PB=PDꎬO是BD中点ꎬ
1分
所以PO⊥BDꎬ2分
因为AC∩PO=OꎬAC⊂平面PACꎬPO⊂平面PACꎬ3分
所以BD⊥平面PACꎬ
又BD⊂平面ABCDꎬ
4分
故平面PAC⊥平面ABCD5分
(2)连接OMꎬ因为M为PC中点ꎬ且O为AC中点ꎬ
所以OM∥PA6分
由(1)知BD⊥PAꎬ又PA⊥ACꎬ
则BD⊥OMꎬOM⊥ACꎬ
又AC∩BD=Oꎬ
7分
所以OM⊥平面ABCDꎬ8分
又SΔBCD=
11
BDOC=
22
×23×1=3ꎬ
D
9分B
1
OM=PA=3ꎬ
2
10分
VB-CDM=VM-BCD=
11
△BCD
SOM=
33
×3×3=1ꎬ
所以三棱锥B-CDM的体积等于1
12分
20本小题主要考查椭圆的定义和几何性质、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识ꎬ考查推理论证能力、运算求解能力ꎬ考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想ꎬ考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养体现基础性、综合性与创新性满分12分
解:
(1)设椭圆的半焦距为cꎬF1F2=23可知c=3
1分
把P(26ꎬ3)代入椭圆方程ꎬ得8+1
=1ꎬ
2分
333a23b2
又a2=b2+3ꎬa>b>0ꎬ3分
所以a=2ꎬb=1ꎬ
x2
4分
故E的方程为
4
+y2=1
5分
文科数学试卷答案第3页(共7页)
(2)①当直线l斜率不存在时ꎬl的方程为x=±1
3
当x=1时ꎬ与椭圆交点为(1ꎬ±)ꎬ
2
3
因为以AB为直径的圆的圆心为M(1ꎬ0)ꎬ半径为ꎬ
2
3
所以OM>ꎬ2
所以O在以AB为直径的圆外
同理当x=-1时ꎬO在以AB为直径的圆外
6分
②当直线l斜率存在时ꎬ依题意可设l的方程为y=kx+m(k≠0)ꎬ
m
则原点到直线l的距离d==1ꎬ即1+k2=m2ꎬ
7分
+y2=1ꎬ
⎧⎪x2
⎪
联立⎨4
⎪
⎪
⎩y=kx+mꎬ
消去yꎬ得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0ꎬ
8分
则Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)>0ꎬ
设A(xꎬy)ꎬB(xꎬy)ꎬ则由韦达定理可知ꎬ
122
2-
+=-8kmꎬxx
1
121+4k22
=4m4ꎬ
1+4k2
9分
则O→A
O→B=xx
+yy
=xx
+(kx
+m)(kx
+m)
=(k2+1)xx
+km(x
+)+22
2-⎛
8km⎫
=(k2+1)4m4+kmç-
÷+m2
1+4k2
=5m-4k-4
⎝1+4k2⎭
22
1+4k2
2
=k+1
1+4k2ꎬ
11分
所以O→A
O→B
>0ꎬ从而∠AOB为锐角ꎬ
所以O在以AB为直径的圆外
综上ꎬO在以AB为直径的圆外
12分
文科数学试卷答案第4页(共7页)
21本小题主要考查导数及其应用等基础知识ꎬ考查推理论证能力、运算求解能力与创新意
识ꎬ考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想ꎬ考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养ꎬ体现综合性、创新性满分12分
解:
(1)因为f(x)=(1-sinx)exꎬ
所以f′(x)=(1-sinx-cosx)ex=⎡1-2sin⎛x+π⎫⎤exꎬ
1分
⎢⎢ç
⎣⎝
÷⎥⎥
4⎭⎦
令f′(x)=0得sin⎛x+π⎫=2ꎬx∈(0ꎬπ)ꎬ从而x=π
2分
ç÷
⎝4⎭22
当x∈0ꎬπ时ꎬx+π∈πꎬ3πꎬsinx+π>2ꎬ
ç÷
⎝2⎭
ç÷
4⎝44⎭
ç÷
⎝4⎭2
所以1-2sin⎛x+π⎫
<0ꎬf′(x)<0ꎬ从而f(x)单调递减ꎻ
3分
ç÷
⎝4⎭
当x∈πꎬπ时ꎬx+π∈3πꎬ5πꎬsinx+π<2ꎬ
ç÷
⎝2⎭
ç÷
4⎝44⎭
ç÷
⎝4⎭2
所以1-2sin⎛x+π⎫
>0ꎬf′(x)>0ꎬ从而f(x)单调递增ꎻ
4分
ç÷
⎝4⎭
故f(x)在区间(0ꎬπ)有极小值f⎛π⎫=0ꎬ无极大值
5分
ç÷
(2)因为g(x)=f(x)-sinx-1ꎬ
⎝2⎭
所以g(0)=0ꎬ从而x=0是y=g(x)的一个零点
令u(x)=-sinx-1ꎬ
6分
则u(x)在区间⎛0ꎬπ⎫单调递减ꎬ在区间⎛πꎬπ⎫单调递增ꎬ
ç÷
⎝2⎭
ç÷
⎝2⎭
结合(1)可知ꎬg(x)在区间⎛0ꎬπ⎫单调递减ꎬ在区间⎛πꎬπ⎫单调递增ꎬ
ç÷
⎝2⎭
ç÷
⎝2⎭
7分
又g⎛π⎫
ç÷=-2<0ꎬg(π)=eπ-1>0ꎬ8分
⎝2⎭
所以g(x)在区间(0ꎬπ)有唯一零点ꎬ记为x1
9分
(-x)x-
又因为g(-x)=(1+sinx)e-x+sinx-1=-
e
sinx
-=-g(x)
x
e
所以对于任意的x∈Rꎬ若g(x)=0ꎬ必有g(-x)=0ꎬ
10分
所以g(x)在区间(-πꎬ0)有唯一零点-x1
11分
故g(x)在区间(-πꎬπ)的零点为:
-x1ꎬ0ꎬx1
所以g(x)在区间(-πꎬπ)有且只有3个零点ꎬ且之和为0
文科数学试卷答案第5页(共7页)
12分
22选修4-4:
坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程与极坐标方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识ꎬ考查运算求解能力ꎬ考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等思想ꎬ考查数学运算、逻辑推理等核心素养ꎬ体现基础性与综合性满分10分
解:
(1)曲线C的方程可化为ρ2-ρ2cos2θ-4ρcos
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