乘法公式与多项式.docx
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乘法公式与多项式
第一章乘法公式與多項式
§1–1乘法公式
一.學習重點:
能了解並運用以下公式:
1.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd2.和的平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2
3.差的平方公式:
(a-b)2=a2-2ab+b24.平方差的公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
5.立方和的公式:
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b36.立方差的公式:
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
7.和的立方公式:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b38.差的立方公式:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
9.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
二.公式的推導:
(以下的推導過程不利用面積的方法進行,只用分配律與變數變換的方法進行,面
積的方法可參考課本的圖形,公式5~9同學們自行倣效推導。
)
A.分配律:
(1)乘法對加法的分配律:
A×(B+C)=A×B+A×C。
(2)加法對乘法的分配律:
(B+C)×A=B×A+C×A。
B.恆等式:
以上所提到的公式均是恆等式,即將a、b、c、d用任何的數字或是其他的文字來
替換,左邊的值(式子)恆等於右邊的值(式子)。
1.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
推導:
(a+b)(c+d)=a×(c+d)+b×(c+d)(利用加法對乘法的分配律)
=ac+ad+bc+bd(利用乘法對加法的分配律)
2.(a+b)2=a2+2ab+b2
推導一:
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×(a+b)+b×(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
推導二:
將(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中的c改為a,d改為b,則
(a+b)(a+b)=a×(a)+a×(b)+b×(a)+b×(b)=a2+2ab+b2
3.(a-b)2=a2-2ab+b2
推導一:
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a×(a-b)-b×(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2(過程中要注意變號)
推導二:
將(a+b)2=a2+2ab+b2中的b改為(-b),則
(a-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
4.(a+b)(a-b)=a2-b2
推導一:
(a+b)(a-b)=a×(a-b)+b×(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2
推導二:
將(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中的c改為a,d改為(-b),則
(a+b)(a-b)=a×(a)+a×(-b)+b×(a)+b×(-b)=a2-b2
三.範例演練:
公式(a+b)2=a2+2ab+b2
1.展開下列各式:
2.試求下列各填空之值:
(1)(a+2b)2
(2)(3x+4y)2(3)(-4a+5)2
(1)(a+1)2=a2+。
(2)若(1991.5)2=19912+P,則P=。
(3)19972+1997×6+32=。
P1
公式(a-b)2=a2-2ab+b2
3.展開下列各式:
4.試求下列各填空之值:
(1)(3a-2b)2
(2)(-3x-4y)2(3)(2a-5)2
(1)6952-2×695×705+7052=。
(2)2992=。
(3)(a–x)2=a2–6a+9,則x=。
公式(a+b)(a-b)=a2-b2
5.展開下列各式:
6.試求下列各填空之值:
(1)(3a+2b)(3a-2b)
(2)(-3x-4)(-3x+4)
(1)503×497=250000–M,則M=。
(2)1002×998=。
(3)
=。
公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
7.展開下列各式:
8.展開下列各式:
(1)(2x+3y)(4x2-6xy+9y2)
(2)(x2+3)(x4-3x2+9)
(1)(4x-3)(16x2+12x+9)
(2)(x2-2)(x4+2x2+4)
公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
9.展開下列各式:
10.展開下列各式:
(1)(x+2)3
(2)(x2+3)3(3)(2x+3y2)3
(1)(x-4)3
(2)(x2-1)3(3)(2x-3y)3
求值問題
11.試求下列各填空之值:
12.利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca求下列各題
(1)若a+b=8,ab=5,則(a+b)2=
(1)設a+b+c=10,ab+bc+ca=25,求a2+b2+c2之值。
a2+b2=(a-b)2=a-b=。
(2)設a2+b2+c2=13,ab+bc+ca=-2,求a+b+c之值。
(2)設a3-b3=485,a-b=5,則(3)求6782+(-555)2+(-127)2+2×678×(-555)+2×(-555)
a2+ab+b2=ab=。
×(-127)+2×678×(-127)之值。
P2
求值問題
13.試求下列各填空之值:
14.試求下列各填空之值:
(1)若xy=3x-3y-1,則(x+3)(y-3)之值為。
(1)設x2=3,則(x+2)(x-2)(x2+4)之值為。
(2)若xy=x-y+5,則(x+1)2(y-1)2之值為。
(2)設x3=2,則(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)=。
(3)若
,
,則
。
(3)3×5×(42+1)(44+1)(48+1)(416+1)=4n-1則n=。
求值問題
15.利用乘法公式求
之值。
16.試求
之值。
四.自我評量:
1.若
x2+4x+9=(mx+3)2,則m=?
(A)
(B)2(C)
(D)4。
2.(-a+b)2=(A)(-a-b)2(B)-(a-b)2(C)(a-b)2(D)(a+b)2。
3.若16x2+□+25是完全平方式,則□=(A)40(B)40x(C)±40(D)±40x。
4.若1022=(100+2)2=1002+()+22,則()=(A)200(B)400(C)102(D)50。
5.若298302=90000–a=b,則a–b=(A)89996(B)90000(C)-89992(D)-90000。
6.55562–55552=(A)11110(B)11101(C)11111(D)111111。
7.設a+b+c=10,a2+b2+c2=20,則ab+bc+ca=(A)40(B)20(C)10(D)0。
8.(3x+2y)()=(3x)3+(2y)3則()=(A)3x-2y(B)9x2+6xy+4y2(C)9x2-6xy+4y2(D)9x2-12xy+4y2。
9.783–83=70[a2+(788)+82],則a為(A)70(B)78(C)-70(D)86。
10.x+y=4、xy=-6,則x3+y3之值為(A)32(B)132(C)136(D)256。
11.設(a+b)2=1,(a-b)2=2,則ab=(A)1(B)2(C)
(D)
。
12.設x2=8,則(x-3)(x+3)(x2+3x+9)(x2-3x+9)之值為(A)217(B)-217(C)729(D)-729。
13.
(1)(3a-2)()=27a3–8。
(2)(x2+3y)()=x6+27y3。
14.
(1)展開(a-2)(a+2)(a4+4a2+16)=。
(2)展開(x-2)2(x2+2x+4)2=。
15.若xy=x+y+3,則(x-1)(y-1)=。
16.若x2+x-2=0,則(x2+x+1)2+5(x2+x+1)–2之值為。
17.求(10-1)(10+1)(102-10+1)(102+10+1)之值為。
18.
(1)
=。
(2)1987×2013–19972=。
P3
§1–2多項式與其加減運算
一.學習重點:
1.多項式:
由數和文字符號x進行加法和乘法運算所構成的式子,稱為x的多項式。
即型如
anxn+an-1xn-1+…..+a2x2+a1x+a0的式子。
其中,an、an-1…...a2、a1、a0均為實數,n為正整數或0。
例如:
3x2-5x+6、4x6、7x-6、8、-3、0等均是x的多項式。
其中,4x6、8、-3、0為單項式,
7x-6為二項式,3x2-5x+6為三項式。
注意:
、
、
等皆不是多項式。
2.多項式的次數:
在一個多項式中,x的最高次數就是這個多項式的次數。
例如:
5x2-7x+1的次數為2,7x-10x3+2的次數為3。
注意:
因為8、-3可視為8x0、-3x0。
所以,8、-3的次數為0。
但是,因為0可視為0x0、0x2
、0x7……,有無限多個表示法。
所以,0這個多項式無次數可言。
常數多項式
3.多項式的係數:
多項式anxn+an-1xn-1+…..+a2x2+a1x+a0中,an就是xn項的係數,a2就是x2項的
係數,a1就是x項的係數,而a0稱為常數項。
例如:
7x3-5x2+x-2的x3項的係數為7,x2項的係數為-5,x項的係數為1,常數項為-2。
4.同類項:
在多項式中,文字相同、次數也相同的項,稱為同類項。
在多項式的寫法上,
我們往往把同類項合併。
例如:
(1)3x2、-
x2、
x2
(2)常數:
5、-3、
、
、0皆為同類項。
但是,
(3)3x、5x2(4)2x、3y則不為同類項。
5.升冪排列(升次排列):
把多項式的各項x(文字)的次數由小到大排列。
例如:
-2x-3x2+4的升冪排列為4-2x-3x2。
6.降冪排列(降次排列):
把多項式的各項x(文字)的次數由大到小排列。
例如:
-2x-3x2+4的降冪排列為-3x2-2x+4。
7.多項式的加減法:
(1)橫式:
將同類項的係數相加或相減。
例如:
(3x2-5x+1)+(7x2+2x-4)=(3+7)x2+[(-5)+2]x+[1+(-4)]=10x2-3x-3
(2)直式:
將同類項對齊,再將係數相加或相減。
例如:
3x2–5x+1
+)7x2+2x–4
10x2–3x–3
(3)分離係數法:
將直式中各項的係數與文字符號分離,只寫出係數作運
算的一種方法。
在寫出係數時,遇到缺項通常都補0。
例如:
(3x2-5x+1)+(7x2+2x-4)3–5+1
=10x2-3x-3+)7+2–4
10–3–3
P4
二.範例演練:
多項式的次數
1.設f(x)=
是多項式,則f(x)是2.多項式f(x)=ax3+bx2+cx+d
次多項式,共有項,x2的係數
(1)當a=0,b≠0時,f(x)為次多項式。
為,常數項為。
(2)當a≠0,b=0時,f(x)為次多項式。
多項式的升羃與降羃
3.有一多項式為–9y2+10y5–6y+8+2y3,則4.有一多項式為–10x2+13x3–2+3x4–4x,則
(1)升羃排列為。
(1)升羃排列為。
(2)降羃排列為。
(2)降羃排列為。
多項式的相等
5.設f(x)=ax2+(a+b)x–1,g(x)=x2+3x+c,若f(x)=g(x)6.若f(x)=(a–3)x2+(b+1)x+c–2為零多項式,
,則a+b+c=。
則a+b+c=。
多項式的相等多項式的求值
7.若5x2–3x+4=a(x–1)2+b(x–1)+c,則a、b、c的大8.f(x)=3x2–kx+1,若f
(2)=7,則k=。
小關係為。
多項式的求值
9.若f(x)=2x3–3x+1,且g(x+2)=f(x–1),則10.若f(x)=3,則f(-2)+f(10)+f
(2)=。
g
(2)=。
多項式的求值
11.設x4–3x2+1=a(x+1)4+b(x+1)3+c(x+1)2+d(x+1)+e,12.設x4–3x2+1=a(x–1)4+b(x–1)3+c(x–1)2+d(x–1)+e,
a、b、c、d、e均為實數,則:
(1)a=a、b、c、d、e均為實數,則a=,
(2)e=(3)a+b+c+d+e=(4)a–b+c–d+e=b=,c=,d=,e=。
(5)a+c+e=(6)b=,c=,d=。
P5
多項式的加法與減法
13.試計算下列各填空之值:
14.試計算下列各填空之值:
(1)(5x2+3)+(2x2+3x–5)=。
(1)(x4+3x3+10x2+8)–(x3–10x2+x–6)=。
(2)g(x)–(2x2–3x–5x)=–4x2+x+1,則g(x)=。
(2)若f(x)–g(x)=-2x2-7x+14,且f(x)+2g(x)=9x2+5x-1
,則f(x)=,g(x)=。
三.自我評量:
1.若多項式ax2+bx+c為一次多項式,則必(A)a≠0(B)a=0,c≠0(C)a=0,b≠0(D)a=0,b=0。
2.若ax2+bx+c為x的單項式,則(A)a≠0(B)b≠0(C)c≠0(D)abc=0。
3.選出有關f(x)=3的錯誤敘述(A)f(x)為零次多項式(B)f(x)為常數多項式(C)f(x)為零多項式
(D)f(x)為單項式。
4.下列敘述何者正確?
(A)f(x)=a為零次多項式(B)f(x)=0為零多項式,其次數為0
(C)零次多項式就是零多項式(D)零多項式與零次多項式均稱為常數多項式。
5.x的多項式–32,其次數為(A)零次(B)一次(C)二次(D)沒有次數。
6.下列敘述何者正確?
(A)零多項式的次數為0(B)3不為x的多項式(C)常數多項式就是
零次多項式(D)0為常數多項式。
7.設a、b、c為實數,a2+b2=0且c≠0,則多項式ax2+bx+c(A)次數為0(B)次數為1
(C)次數為2(D)為零多項式。
8.選出–7x2的同類項(A)–7x(B)x2(C)–7(D)–7x2+2。
9.下列何者不是同類項?
(A)
(B)
(C)
(D)
。
10.多項式5x3–4x2–2(A)為五次多項式(B)常數項是2(C)x2的係數是4(D)x的係數是0。
11.選出x的多項式(A)
(B)
(C)
(D)
。
12.f(x)=–10x2+13x3+3x4–2–4x,下列敘述何者正確?
(A)f(x)為升羃排列(B)f(x)之係數和為0
(C)f(x)為二次多項式(D)f(–1)=0。
13.若f(x)=–2,則f
(1)+f(–1)=(A)0(B)4(C)–4(D)2。
14.設f(x)=(x–1)100–1,則f
(2)=(A)1(B)2(C)0(D)–2。
15.設f(x–1)=2x3–5x+6,則f(–2)=(A)0(B)6(C)9(D)45。
16.x2–[5x3–3+2x2+x–(4x3–2x–3x2–5)]=ax3+bx2+cx+d,則a、b、c、d中(A)a(B)b(C)c(D)d最小。
17.設f(x)+g(x)=x3+3,f(x)–g(x)=3x,則f(3)–g
(2)=(A)17(B)22(C)34(D)39。
18.(-3x+2+2x2)+(-1+8x3-6x+12x2)=(按降羃排列)。
19.f(x)–(3x2–2x+6)=–5x2+x+7,則f(x)=。
20.g(x)與4x3+3x2–2的和為5x4+6x–5,則g(x)=。
P6
§1–3多項式的乘除運算
一.學習重點:
1.多項式的乘法:
利用分配律展開,例如:
展開(2x+3)(4x-1)。
(1)橫式:
(2x+3)(4x–1)=8x2-2x+12x-3=8x2+10x-3
(2)直式:
2x+3(3)分離係數法:
2+3
×)4x–1×)4–1
8x2+12x8+12
–2x–3–2–3
8x2+10x–38+10–38x2+10x–3
2.多項式的除法:
將除式與被除式皆按降羃排列,以被除式的最高次項除以除式的最高次項,
所得的值為商的最高次項。
依序為之,直到餘式的次數小於除式的次數或餘
式為0。
例如:
(2x2+3x+4)(x+2)
(1)長除法(直式):
2x–1
(2)分離係數法:
2–1
x+2)2x2+3x+41+2)2+3+4
2x2+4x(x+2)‧2x2+4
–x+4–1+4
–x–2(x+2)‧(–1)–1–2
66
注意:
被除式與除式有缺項時,若用長除法(直式)作計算,應將缺項空位;若用分離係數法
作計算,則應將缺項補0。
3.被除式=除式×商+餘式,當被除式的次數≧除式的次數時,則
(1)被除式的次數=除式的次數+商的次數。
(2)餘式=0或是餘式的次數<除式的次數。
注意:
當被除式的次數<除式的次數時,商=0,餘式=被除式。
例如:
a.已知f(x)、g(x)分別為三次式及二次式,且f(x)g(x)=q(x)……r(x)。
則商q(x)為一次式,而餘式r(x)可能為一次式、零次式(即不為0的數字)或0。
b.已知f(x)、g(x)分別為三次式及一次式,且f(x)g(x)=q(x)……r(x)。
則商q(x)為二次式,而餘式r(x)為一常數(0或非零的數字)。
4.被除式=除式商+餘式
(1)
=商+
(2)
=商(3)
=除式。
二.範例演練:
多項式的乘法
1.展開下列各式(請利用橫式方式):
2.展開下列各式(請利用直式方式):
(1)(-3x2)(7+2x-8x2)
(2)(6x2-1)(2x+5x2-4x3)
(1)(2x2+3x-5)(x+2)
(2)(x3+4x-3)(3x-2)
P7
多項式的乘法
3.展開下列各式(請利用分離係數法):
4.展開下列各式:
(1)(x2-3x-6)(3x-2)
(2)(2x3+2x-3)(-x+3)
(1)(2x-1)(x-3)(3x+2)
(2)(2x+3)2(x-4)
多項式的乘法
5.
(1)若(3x2-4x+a)(2x2+x-1)的乘積中x2之係數為6.在(1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5)2的展開式中,x6項
-19,則a之值為。
的係數為。
(2)在(1+x+x2+x3+x4+x5)(x+3x2+5x3+7x4+9x5)的展
開式中,x6項的係數為。
多項式的除法
7.請利用長除法求下列各題之商與餘式:
8.請利用分離係數法求下列各題之商與餘式:
(1)(3x2-5x+8)÷(x+2)
(2)(-x3+6x-2)÷(2x-1)
(1)(x3-27)÷(x+3)
(2)(x3+5x2+9x+7)÷(x2+3x+2)
多項式的除法
9.設f(x)為多項式,
10.設一多項式被3x2-2x+9除之,得商為–x2-x+7
則f(x)=。
、餘式為4x-23,則此多項式為。
多項式的除法
11.若x4+3x3-2x2+ax+b能被x2+x-2整除,求a、b12.若x4-3x3+4x2+mx+n以x2-x-2除之,得餘式為
之值。
2x+5,求m、n之值。
P8
餘式定理的應用
13.設f(x)為一次多項式,若f(x)被x+2除,餘式14.設f(x)為多項式,若f(x)被x-2除之餘1;以
為1;被x-1除,餘式為7,則:
x+2除之餘3。
若以(x-2)(x+2)除之,則餘式
(1)f(x)=。
為。
(2)f(x)除以x-3的餘式=。
四.自我評量:
1.設x的多項式A、B均為五次式,則(A)A+B為十次式(B)A+B為五次式(C)AB為十次式
(D)A–B為零次式。
2.設f(x)、g(x)皆為x的二次多項式,則下列何者的次數可以推知?
(A)f(x)+g(x)(B)f(x)g(x)
(C)f(x)–g(x)(D)f(x)g(x)。
3.多項式A、B,其次數分別為5次、3次,則下列敘述何者正確?
(A)A+B的次數為8次
(B)A-B的次數為2次(C)AB的次數為15次(D)AB的次數為8次。
4.將(x3+x+3)(x2-2x+2)展開為x5+ax4+bx3+c
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- 乘法 公式 多项式
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