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中位线
中位线
一、知识要点
1.三角形中位线
(1)定义:
连结三角形两边中点的线段叫三角形中位线
(2)定理:
三角形的中位线平行于第三边,且等于它的一半
(3)定理的作用:
可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长
(4)三角形中位线的证明:
三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线,证明方法很多,课本上用的是同一法,下面举出几种简单的方法:
①如图4.11-1,延长DE到F,使EF=DE,连CF,(或过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得□BDFC,再证△ADE≌△CEF.
图4.11-1 图4.11-2
②如图4.11-2,延长DE到F,使EF=DE,连结CF、AF、DC,可得□DCFA和□DBCF.
2.梯形中位线
(1)定义:
连结梯形两腰中点的线段
(2)中位线定理:
梯形的中位线平行于两底,且等于两底和的一半
(3)梯形中位线定理的作用:
证明三条(或两条)直线平行,计算梯形的两底或中位线,证明线段之间的倍分(或相等关系).
4.梯形中位线证明:
①如图4.11-3,连结AF并延长交BC的延长线于H,先证△ADF≌△HCF,得DF=FC,得EF为EF为△ABH的中位线,∴EF∥BC∥AD,EF=
(BC+CH)=
(BC+AD)
图4.11-3 图4.11-4
②如图4.11-4,过点F作GH∥AB交BC于H,交AD和延长线于G可得△DGF≌△CHF、□ABHG、□AEFG、□EBHF、AG=EF=BH.
二、典型例题
例1
(1)若等腰梯形的周长为80cm,中位线长与腰长相等,则它的中位线长等于 cm.
(2)如图4.11-5,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于O,过点O作AB的平行线交CB于点E.若OE=3cm,则AD= cm.
解:
(1)∵周长=两底长的和+两腰长的和,而中位线长=腰长,
∴两腰长的和=2×中位线的长
又∵中位线长=
×两底长的和
∴两底长的和=2×中位线的长
∴2中位线+2中位线=周长
4×中位线的长=80(cm)
中位线的长=20(cm)
(2)∵□ABCD,AC、BD交于O,
∴DO=OB(平行四边形对角线互相平分)
又∵OE∥AB,
∴BE=EC(过三角形一边中点而平行于另一边的直线平分第三边)
这样OE=
AB(三角形中位线定理)
∵BC=AD(平行四边形对边相等)
∴OE=
AD
从而AD=2OE=2×3=6(cm)
例2 如图4.11-6,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AD=2cm,中位线长为5cm,高AE=3
cm,求这个梯形的腰长.
分析 要求腰长AB,必须设法把题给的已知数据集中到Rt△ABE中来.由中位线长为5cm,可知两底长的和为10cm.∵AD=2(cm),∴BC=8(cm),∴BE=FC=
=3(cm),在△Rt△ABE,AE=3
cm,BE=3cm,故可求得AB的长.
解:
作DF⊥BC,交BC于F
∵AD∥BC,AB=DC,∴∠B=∠C
又∵∠AEB=∠DFC=90°,∴△ABE≌△DCF
∴BE=CF
∵中位线=5cm
∴AD+BC=5×2=10(cm)
由AD的长为2cm,得BC=10-2=8(cm)
∴BE=
=3(cm)
在Rt△ABE中,AE=3
cm,BE=3cm,故由勾股定理得
AB=
=
=
=6(cm)
答:
这个梯形的腰长是6cm
例3 如图4.11-7,Rt△ABC,∠BAC=90°,D、E分别为AB,BC的中点,点F在CA延长线上,∠FDA=∠B.
(1)求证:
AF=DE;
(2)若AC=6,BC=10,求四边形AEDF的周长.
分析 本题是考查知识点较多的综合题,它不但考查应用三角形中位线定理的能力,而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。
(1)要证AF=DE,因为它们刚好是四边形的一组对边,这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线,所以DE∥AC.又题给条件∠FDA=∠B,而在Rt△ABC中,因AE是斜边上的中线,故AE=EB.从而∠EAB=∠B.于是∠EAB=∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形为平行四边形.故AF=DE得证.
(2)要求四边形AEDF的周长,关键在于求AE和DE,AE=
BC=5,DE=
AC=3.
证明:
(1)∵D、E分别为AB、BC的中点,
∴DE∥AC即DE∥AF
∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,BE=EC
∴EA=EB=
BC,∠EAB=∠B
又∵∠FDA=∠B,
∴∠EAB=∠FDA
∴EA∥DF,AEDF为平行四边形
∴AF=DE
(2)∵AC=6,BC=10,
∴DE=
AC=3,AE=
BC=5
∴四边形AEDF的周长=2(AE+DE)=2(3+5)=16
例4 如图4.11-14,从□ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA′、BB′、CC′、DD′,垂足分别为A′B′,C′D′.求证:
AA′+CC′=BB′+DD′
分析 怎样将结论中的线段联系起来,由平行四边形和梯形的有关知识,连结对角线AC、BD可得中点O,自然想到作出两梯形AA′D′D的中位线OO′,这样中位线OO′就将结论中的线段联系到了一起.
证明:
连结对角线AC、BD,它们相交于点O,作OO′⊥MN,垂足为O′,在□ABCD中
AO=OC(平行四边形对角线互相平分)
∵AA′⊥MN,CC′⊥MN,OO′⊥MN ∴AA′∥CC′∥OO′
∴A′O′=O′C′(经过一腰中点且平行于底的直线,必平分另一腰)
∵2OO′=AA′+CC′(梯形中位线定理)
同理2OO′=BB′+DD′
∴AA′+CC′=BB′+DD′
练习
一、填空题
1.如图4.11-15,EF是△ABC的中位线,EF=3,则BC= .
图4.11-15 图4.11-16
2.已知梯形的中位线长为9,一条底边长是12,那么另一条底边长是 .
3.如图4.11-16,把长为8cm的长方形对折,按图中的虚线剪出一个梯形并打开,则打开后的梯形中位线长为 cm.
4.已知梯形的下底长为4cm,中位线长为3cm,则上底长为 cm.
5.三角形各边分别是3cm、5cm、6cm,则连结各边中点所围成的三角形的周长是 .
6.已知梯形的中位线长16cm,梯形的一条对角线把中位线分成两条线段,这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是 cm.
7.如图4.11-17,△ABC中,AD、BE是中线且交于G,那么
= .
图4.11-17 图4.11-18
8.如图4.11-18,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=12,BC=16,中位线EF与对角线分别相交于H和G,则GH的长是 .
9.如果中位线长是5,那么梯形的上底和下底的和是 .
10.如图4.11-19,梯形ABCD中,AD∥BC,EF为中位线,G为BC上任一点,如果S△GEF=2
cm2,那么梯形的面积是 cm2.
二、选择题
1.梯形的上底长4cm,下底长6cm,则梯形的中位线长为( )
A.12cm B.5cm C.10cm D.20cm
2.如果等边三角形的边长为3,那么连结各边中点所成的三角形周长为( )
A.9 B.6 C.3 D.
3.在四边形ABCD中,对角线AC=BD,那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
4.A′、B′、C′、D′顺次为四边形ABCD各边的中点,下面条件使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是( )
A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是等腰梯形 D.四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=BD
5.已知三角形三边长分别为a、b、c,它的三条中位线组成一个新的三角形,这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形,这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形,则最小的三角形的周长是( )
A.
(a+b+c) B.
(a+b+c) C.
(a+b+c) D.
(a+b+c)
6.如果梯形的一底为6,中位线为8,则另一底为( )
A.4 B.7 C.10 D.14
7.如图4.11-20,梯形ABCD中,AD∥BC,如果中位线EF的长为4cm,且BC=3AD,则梯形下底的长为( )
A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm
8.如图4.11-21,△ABC中,如果AB=30cm,BC=24cm,AC=27cm,AE=EF=FB,EG∥DF∥BC,FM∥EN∥AC,则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )
A.70cm B.75cm C.80cm D.81mc
三、解答题
1.如图4.11-22,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于点O,S△ADO∶S△BOC=1∶9,求S△DOC∶S△BOC.
2.如图4.11-23,等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠A=60°、∠1=∠2,且梯形的周长30cm,求这个梯形的面积.
3.如图4.11-24,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,AB=CD,E为梯形内D一点,且EB=EC,求证:
EA=ED.
4.如图4.11-25在△ABC中,∠A+∠B=2∠ACB,BC=8,D为AB的中点,且CD=
,求AC的长.
5.如图4.11-26,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,求证:
DM=
AB.
四、如图4.11-27,△ABC的∠B的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等,已知BE=AD=4,求△ABC三边之长.
五、如图4.11-28,在四边形ABCD中,∠A=60°,AD+BC=AB=DC=1,求四边形ABCD的面积S.
六、如图4.11-29,梯形ABCD,AD∥BC,AB∥DE,AE∥BD,AD延长线交CE于F.①求证:
EF=FC;②若△CED=
S梯形ABCD时,求AD与BC的关系.
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