最新高中数学 章末综合测评1 解三角形 新人教A版必修5.docx
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最新高中数学章末综合测评1解三角形新人教A版必修5
章末综合测评
(一) 解三角形
满分:
150分 时间:
120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,a=k,b=k(k>0),A=45°,则满足条件的三角形有( )
【导学号:
91432101】
A.0个 B.1个
C.2个D.无数个
A [由正弦定理得=,
所以sinB==>1,即sinB>1,这是不成立的.所以没有满足此条件的三角形.]
2.已知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( )
A.90°B.120°
C.135°D.150°
B [设最小边为5,则三角形的三边分别为5,7,8,设边长为7的边对应的角为θ,则由余弦定理可得49=25+64-80cosθ,解得cosθ=,∴θ=60°.则最大角与最小角的和为180°-60°=120°.]
3.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=( )
【导学号:
91432102】
A.或B.
C.D.
C [由=,得sinC=.
∵BC=3,AB=,∴A>C,则C为锐角,故C=.]
4.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,则cosB=( )
A.±B.
C.-D.
A [因为=,所以=,
解得sinB=.
因为b>a,所以B>A,故B有两解,所以cosB=±.]
5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于( )
【导学号:
91432103】
A.6∶5∶4B.7∶5∶3
C.3∶5∶7D.4∶5∶6
B [∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
∴==.
令===k(k>0),
则解得
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.]
6.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,那么b等于( )
A.B.1+
C.D.2
B [∵S△ABC=acsinB,∴ac=6.
又∵b2=a2+c2-2accosB
=(a+c)2-2ac-2ac·cos30°=4b2-12-6,
∴b2=4+2,∴b=1+.]
7.已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k,则k的取值范围是( )
【导学号:
91432104】
A.(2,+∞)B.(-∞,0)
C.D.
D [由正弦定理得:
a=mk,b=m(k+1),c=2mk,(m>0),
∵即
∴k>.]
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2=,则△ABC的形状为( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
B [由已知可得=-,
即cosA=,b=ccosA.
法一:
由余弦定理得cosA=,则b=c·,
所以c2=a2+b2,由此知△ABC为直角三角形.
法二:
由正弦定理,得sinB=sinCcosA.
在△ABC中,sinB=sin(A+C),
从而有sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA,
即sinAcosC=0.在△ABC中,sinA≠0,
所以cosC=0.由此得C=,故△ABC为直角三角形.]
9.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为( )
【导学号:
91432105】
A.2B.8
C.D.
C [∵===2R=8,
∴sinC=,∴S△ABC=absinC===.]
10.在△ABC中,三边长分别为a-2,a,a+2,最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为( )
A.B.
C.D.
B [∵三边不等,∴最大角大于60°.设最大角为α,故α所对的边长为a+2,∵sinα=,∴α=120°.
由余弦定理得(a+2)2=(a-2)2+a2+a(a-2),即a2=5a,故a=5,故三边长为3,5,7,S△ABC=×3×5×sin120°=.]
11.如图16,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距15海里的C处.现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为( )
【导学号:
91432106】
图16
A.小时B.1小时
C.小时D.2小时
B [在△OBC中,由余弦定理,得CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°=152+252+15×25=352,因此CB=35,=1(小时),因此甲船到达B处需要的时间为1小时.]
图17
12.如图17,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为( )
A.B.
C.D.
D [设BD=a,则BC=2a,AB=AD=a.
在△ABD中,由余弦定理,得
cosA===.
又∵A为△ABC的内角,∴sinA=.
在△ABC中,由正弦定理得,=.
∴sinC=·sinA=·=.]
二、填空题(每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知△ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为________.
【导学号:
91432107】
a2+b2 ∴cosC<0,∴a2+b2-c2<0,故a2+b2 14.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=________. [由3sinA=5sinB,得3a=5b. 又因为b+c=2a, 所以a=b,c=b, 所以cosC===-.因为C∈(0,π),所以C=.] 15.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________. 【导学号: 91432108】 2 (,) [设A=θ⇒B=2θ. 由正弦定理得=, ∴=1⇒=2. 由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°, 故30°<θ<45°⇒ ∴AC=2cosθ∈(,).] 16.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=6cosC,则+=________. 4 [∵+=6cosC, ∴=6·, ∴2a2+2b2-2c2=c2, 又+=+=======4.] 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a. (1)求; (2)若c2=b2+a2,求B. 【导学号: 91432109】 [解] (1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA. 故sinB=sinA,所以=. (2)由余弦定理和c2=b2+a2, 得cosB=. 由 (1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2. 可得cos2B=,又cosB>0, 故cosB=,所以B=45°. 18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=. (1)若b=4,求sinA的值; (2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值. [解] (1)∵cosB=>0,且0 ∴sinB==. 由正弦定理得=, sinA===. (2)∵S△ABC=acsinB=4, ∴×2×c×=4,∴c=5. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×2×5×=17,∴b= . 19.(本小题满分12分)已知A,B,C为△ABC的三个内角,其所对的边分别为a,b,c,且2cos2+cosA=0. (1)求角A的值; (2)若a=2,b=2,求c的值. 【导学号: 91432110】 [解] (1)∵cosA=2cos2-1, ∴2cos2=cosA+1. 又2cos2+cosA=0,∴2cosA+1=0, ∴cosA=-,∴A=120°. (2)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA, 又a=2,b=2,cosA=-, ∴ (2)2=22+c2-2×2×c×, 化简,得c2+2c-8=0,解得c=2或c=-4(舍去). 20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A? [解]如图所示, 设∠ACD=α,∠CDB=β. 在△CBD中,由余弦定理得 cosβ= ==-, ∴sinβ=. 而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ=×+×= . 在△ACD中,=, ∴AD==15(千米). 所以这人还要再走15千米可到达城A. 21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2cosC+2=0. (1)求角C的大小; (2)若b=a,△ABC的面积为sinAsinB,求sinA及c的值. 【导学号: 91432111】 [解] (1)∵cos2C+2cosC+2=0, ∴2cos2C+2cosC+1=0,即(cosC+1)2=0, ∴cosC=-. 又C∈(0,π),∴C=. (2)∵c2=a2+b2-2abcosC=3a2+2a2=5a2, ∴c=a,即sinC=sinA, ∴sinA=sinC=. ∵S△ABC=absinC,且S△ABC=sinAsinB, ∴absinC=sinAsinB, ∴sinC=,由正弦定理得 2sinC=,解得c=1. 22.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足sinA+cosA=2. (1)求角A的大小; (2)现给出三个条件: ①a=2;②B=;③c=b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可) [解] (1)依题意得2sin=2, 即sin=1,
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