单招理科数学模拟试题含答案.docx
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单招理科数学模拟试题含答案
.
2019年单招理科数学模拟试题
(一)
【含答案】
一、选择题:
本大题共
12
小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有
且只有一项符合题目要求.
1.复数z满足方程
=﹣i(i为虚数单位),则复数z在复平面对应的点在(
)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合A={x|x2+x﹣2<0},集合B={x|(x+2)(3﹣x)>0},则(?
RA)∩B等于(
)
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。
A.{x|1≤x<3}B.{x|2≤x<3}
C.{x|﹣2<x<1}D.{x|﹣2<x≤﹣1或2≤x<3}
3.下列函数中,在其定义域,既是奇函数又是减函数的是(
)
A.f(x)=B.f(x)=
C.f(x)=2﹣x﹣2xD.f(x)=﹣tanx
4.已知“x>2”是“x2>a(a∈R)”的充分不必要条件,则
a的取值围是(
)
A.(﹣∞,4)B.(4,+∞)C.(0,4]D.(﹣∞,4]
5.已知角α是第二象限角,直线
2x+(tanα)y+1=0的斜率为
,则cosα等于(
)
A.B.﹣C.D.﹣
6.执行如图所示的程序框图,若输入
n的值为8,则输出s的值为(
)
A.16B.8C.4D.2
7.(﹣)8的展开式中,x的系数为()
A.﹣112B.112C.56D.﹣56
8.在△ABC中,∠A=60°,AC=3,面积为,那么BC的长度为()
A.B.3C.2D.
Word文档
.
9.记曲线y=
与x轴所围成的区域为D,若曲线y=ax(x﹣2)(a<0)把D的
面积均分为两等份,则
a的值为(
)聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。
A.﹣B.﹣C.﹣
D.﹣
10.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取
30名学生参加环保知识测试,得
分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为
me,众数为
m0,平均值为,则(
)残
骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。
A.me=m0=
B.me=m0<C.me<m0<D.m0<me<
11.已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且
AB=6,BC=2
,则棱锥O
﹣ABCD的侧面积为(
)酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。
A.20+8
B.44C.20
D.46
12.函数f(x)=2sin(2x++φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后关于y轴对称,
则以下判断不正确的是()彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。
A.是奇函数B.为f(x)的一个对称中心
C.f(x)在上单调递增D.f(x)在(0,)上单调递减
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若变量x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为.
14.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积
为.
15.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,
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.
点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。
16.已知向量,的夹角为θ,|+|=2,|﹣|=2则θ的取值围为.
三、解答题:
本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S6=51,a5=13.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}的通项公式是bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.袋中有大小相同的四个球,编号分别为1、2、3、4,从袋中每次任取一个球,记下其编号.若所取球的编号为偶数,则把该球编号改为3后放同袋中继续取球;若所取球的编号
为奇数,则停止取球.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。
(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;
(2)若第一次取到偶数,记第二次和第一次取球的编号之和为X,求X的分布列和数学期望.
19.在三棱椎A﹣BCD中,AB=BC=4,AD=BD=CD=2,在底面BCD作CE⊥CD,且
CE=.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。
(1)求证:
CE∥平面ABD;
(2)如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°,求二面角B﹣AC﹣E的余弦值.
20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为.且
过点(3,﹣1).
(1)求椭圆C的方徎;
(2)若动点P在直线l:
x=﹣2上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,
再过P作直线l′⊥MN,直线l′是否恒过定点,若是,请求出该定点的坐标;若否,请说明理
由.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘。
21.已知函数f(x)=m(x﹣1)2﹣2x+3+lnx(m≥1).
(1)求证:
函数f(x)在定义域存在单调递减区间[a,b];
(2)是否存在实数m,使得曲线C:
y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只
有一个公共点?
若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞。
[选修4-1:
几何证明选讲]
22.选修4﹣1:
几何证明选讲
如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B、C两点,D是OC的中点,
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.
连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=2,∠APB=30°.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥。
(Ⅰ)求∠AEC的大小;
(Ⅱ)求AE的长.
[选修4-4:
极坐标与参数方程]
23.选修4﹣4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中,动点A的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2),其中α∈R.在极坐标
系(以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)
中,直线C的方程为ρcos(θ﹣
)=a.渗
釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨。
(Ⅰ)判断动点A的轨迹的形状;
(Ⅱ)若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,数
a的值.
[选修4-5:
不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|.
(1)若a=2,解不等式f(x)≥2;
(2)若a>1,?
x∈R,f(x)+|x﹣1|≥1,数a的取值围.
2019年单招理科数学模拟试题
(一)参考答案
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有
且只有一项符合题目要求.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵。
1.复数z满足方程=﹣i(i为虚数单位),则复数z在复平面对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】由=﹣i,得,然后利用复数代数形式的除法运算化简,求出复数
z在复平面对应的点的坐标,则答案可求.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢。
【解答】解:
由=﹣i,
得,即z=1+i.
则复数z在复平面对应的点的坐标为(1,1).
位于第一象限.
故选:
A.
2.已知集合A={x|x2+x﹣2<0},集合B={x|(x+2)(3﹣x)>0},则(?
RA)∩B等于()
贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉。
A.{x|1≤x<3}B.{x|2≤x<3}
C.{x|﹣2<x<1}D.{x|﹣2<x≤﹣1或2≤x<3}
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.
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出B,求出A的补集,找出补集与B的公共部分,能求出结果.
【解答】解:
∵集合A={x|x2+x﹣2<0}={x|﹣2<x<1},集合B={x|(x+2)(3﹣x)>0}={x|﹣2<x<3},∴(CRA)∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2<x<3}
={x|1≤x<3}.
故选:
A.
3.下列函数中,在其定义域,既是奇函数又是减函数的是()
A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=2﹣x﹣2xD.f(x)=﹣tanx
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质,逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性,即可得到答案.
【解答】解:
A中,f(x)=是奇函数,但在定义域不单调;
B中,f(x)=是减函数,但不具备奇偶性;
C中,f(x)2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数;
D中,f(x)=﹣tanx是奇函数,但在定义域不单调;
故选C.
4.已知“x>2”是“x2>a(a∈R)”的充分不必要条件,则a的取值围是()
A.(﹣∞,4)B.(4,+∞)C.(0,4]D.(﹣∞,4]
【考点】充要条件.
【分析】由x>2得到x2>4,根据充分不必要条件的概念得:
a≤4.
【解答】解:
由题意知:
由x>2能得到x2>a;而由x2>a得不出x>2;
∵x>2,∴x2>4;
∴a≤4;
∴a的取值围是(﹣∞,4].故选:
D.
5.已知角α是第二象限角,直线2x+(tanα)y+1=0的斜率为,则cosα等于()
A.B.﹣C.D.﹣
【考点】直线的斜率.
【分析】表示出k,求出tanα,根据角α是第二象限角,求出cosα即可.
【解答】解:
由题意得:
k=﹣=,
故tanα=﹣,
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.
故cosα=﹣,故选:
D.
6.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为()
A.16B.8C.4D.2
【考点】程序框图.
【分析】已知b=8,判断循环条件,i<8,计算循环中s,i,k,当x≥8时满足判断框的条件,退出循环,输出结果s即可.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱。
【解答】解:
开始条件i=2,k=1,s=1,i<8,开始循环,s=1×(1×2)=2,i=2+2=4,k=1+1=2,i<8,继续循环,
s=
×(2
×4)=4,i=6,k=3,i<8,继续循环;
s=
×(4
×6)=8,i=8,k=4,8≥8,循环停止,输出s=8;
故选B:
7.(
﹣)8的展开式中,x的系数为(
)
A.﹣112B.112C.56D.﹣56
【考点】二项式系数的性质.
【分析】先求出通项公式,再令
4﹣r=1,由此可得开式中
x的系数
【解答】解:
(
﹣)8的展开式的通项为
Tr+1=(﹣2)rC8rx4﹣
r,
令4﹣r=1,
解得r=2,
∴展开式中x的系数为(﹣2)2C82=112,故选:
B.
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.
8.在△ABC中,∠A=60°,AC=3,面积为,那么BC的长度为()
A.B.3C.2D.
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】根据三角形的面积公式求得丨
AB丨,cosA=
,sinA=
,求得丨AD
丨,丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得
BC的长度.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦。
【解答】解:
在图形中,过
B作BD⊥AC
S△ABC=丨AB丨?
丨AC丨sinA,即×丨AB丨×3×sin60°=,
解得:
丨AB丨=2,
∴cosA=,丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1,
sinA=,则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=,
丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2,
在△BDC中利用勾股定理得:
丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7,
则丨BC丨=,
故选A.
9.记曲线y=
与x轴所围成的区域为D,若曲线y=ax(x﹣2)(a<0)把D的
面积均分为两等份,则
a的值为(
)買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌。
A.﹣B.﹣
C.﹣D.﹣
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】求出区域
D表示(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,利用曲线
y=ax(x﹣2)(a
<0)把D的面积均分为两等份,可得
=,即可得到结论.綾镝鯛駕櫬鹕
踪韦辚糴飙钪。
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.
【解答】解:
由y=得(x﹣1)2+y2=1,(y≥0),
则区域D表示(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,
而曲线y=ax(x﹣2)(a<0)把D的面积均分为两等份,
∴=,
∴(﹣ax2)=,
∴a=﹣,
故选:
B.
10.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得
分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为me,众数为m0,平均值为,则()驅
踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼。
A.me=m0=B.me=m0<C.me<m0<D.m0<me<
【考点】众数、中位数、平均数.
【分析】根据题意,由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数,比较即可得答案.
【解答】解:
根据题意,由题目所给的统计图可知:
30个得分中,按大小排序,中间的两个得分为
5、6,故中位数me=5.5,
得分为5的最多,故众数
m0=5,
其平均数
=
≈5.97;
则有m0<me<,
故选:
D.
11.已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且
AB=6,BC=2
,则棱锥O
﹣ABCD的侧面积为(
)猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬。
A.20+8
B.44C.20
D.46
【考点】球接多面体;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由题意求出矩形的对角线的长,结合球的半径,球心到矩形的距离,满足勾股定理,
求出棱锥的高,即可求出棱锥的体积.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝。
【解答】解:
由题意可知四棱锥
O﹣ABCD的侧棱长为:
5.所以侧面中底面边长为
6和2
,
它们的斜高为:
4和2
,
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.
所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为:
S=4×6+2
=44.
故选B.
12.函数f(x)=2sin(2x+
+φ)(|φ|<
)的图象向左平移
个单位后关于
y轴对称,
则以下判断不正确的是(
)構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲。
A.
是奇函数B.
为f(x)的一个对称中心
C.f(x)在
上单调递增D.f(x)在(0,
)上单调递减
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用诱导公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得所得函数的解析式,再利用三角函数的奇偶性、单调性,以及它的图象的对称性,逐一判断各个选项是否正确,从
而得出结论.輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧。
【解答】解:
把函数
f(x)=2sin(2x+
+φ)(|φ|<
)的图象向左平移
个单位后,
得到y=2sin(2x+
+φ+π)=﹣2sin(2x+
+φ)的图象,
再根据所得关于y轴对称,可得
+φ=kπ+
,k∈Z,∴φ=
,
∴f(x)=2sin(2x+
+φ)=2cos2x.
由于f(x+
)=2cos(2x+
)=﹣sin2x是奇函数,故
A正确;
当x=
时,f(x)=0,故(
,0)是f(x)的图象的一个对称中心,故
B正确;
在
上,2x∈(﹣
,﹣
),f(x)没有单调性,故
C不正确;
在(0,
)上,2x∈(0,π),f(x)单调递减,故
D正确,
故选:
C.
二、填空题:
本大题共
4小题,每小题
5分,共20
分.
13.若变量x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为6.
【考点】简单线性规划.
Word文档
.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,
联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰。
【解答】解:
由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(4,2),
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,由图可知,当直线y=2x﹣z过点A时,直线在y轴上的截
距最小,z有最大值为6.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减。
故答案为:
6.
14.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为
.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】首先还原几何体为体和三棱锥的组合体,分别计算体积得到所求.
【解答】解:
由三视图得到几何体如图:
其体积为;
故答案为:
Word文档
.
15.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,
点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣
2的距离之和的最小值为
3,则该双曲线的方程为
为
﹣x2=1.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄。
【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得
a=2b,再利用抛物线的
定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线
x=﹣2的距离之和的最小值
为3,可得FF1=3,从而可求双曲线的几何量,从而可得结论.
恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻。
【解答】解:
抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)一条
渐近线的方程为ax﹣by=0,鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬。
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,
∴,
∴2b=a,
∵P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3,
∴FF1=3,
∴c2+4=9,
∴c=,
∵c2=a2+b2,a=2b,∴a=2,b=1,
∴双曲线的方程为﹣x2=1.
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.
故答案为:
﹣x2=1.
16.已知向量,的夹角为θ,|+|=2,|﹣|=2则θ的取值围为.
【考点】向量的三角形法则.
【分析】由|+|=2,|﹣|=2,可得:
+2=12,﹣
2=4,可得
,
,利用cosθ=
与基本不等式的性质即可得出.
硕
癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶。
【解答】解:
由|+|=2
,|﹣|=2,可得:
+2=12,
﹣2
=4,
∴
=8≥2
,
=2,
∴cosθ=
≥.
∴θ∈
.
故答案为:
.
三、解答题:
本大题共
5小题,共
70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S6=51,a5=13.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}的通项公式是bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.
【考点】等比数列的前
n项和;等比关系的确定.
【分析】
(1)设等差数列{an}的公差为d,利用S6=51,求出a1+a6=17,可得a2+a5=17,从而求出a2=4,可得公差,即可确定数列{an}的通项公式;阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙。
(2)求出数列{bn}的通项公式,利用等比数列的求和公式,可得结论.
【解答】解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,则∵S6=51,
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