离散数学第2章习题解答.docx
- 文档编号:11504096
- 上传时间:2023-03-02
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:25.16KB
离散数学第2章习题解答.docx
《离散数学第2章习题解答.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《离散数学第2章习题解答.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
离散数学第2章习题解答
习题2.1
1.将下列命题符号化。
(1)4不是奇数。
解:
设A(x):
x是奇数。
a:
4。
“4不是奇数。
”符号化为:
¬A(a)
(2)2是偶数且是质数。
解:
设A(x):
x是偶数。
B(x):
x是质数。
a:
2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为:
A(a)∧B(a)
(3)老王是山东人或河北人。
解:
设A(x):
x是山东人。
B(x):
x是河北人。
a:
老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为:
A(a)
B(a)
(4)2与3都是偶数。
解:
设A(x):
x是偶数。
a:
2,b:
3。
“2与3都是偶数。
”符号化为:
A(a)∧A(b)
(5)5大于3。
解:
设G(x,y):
x大于y。
a:
5。
b:
3。
“5大于3。
”符号化为:
G(a,b)
(6)若m是奇数,则2m不是奇数。
解:
设A(x):
x是奇数。
a:
m。
b:
2m。
“若m是奇数,则2m不是奇数。
”符号化为:
A(a)→A(b)
(7)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解:
设C(x,y):
直线x平行于直线y。
设D(x,y):
直线x相交于直线y。
a:
直线A。
b:
直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为:
C(a,b)↔¬D(x,y)
(8)小王既聪明又用功,但身体不好。
解:
设A(x):
x聪明。
B(x):
x用功。
C(x):
x身体好。
a:
小王。
“小王既聪明又用功,但身体不好。
”符号化为:
A(a)∧B(a)∧¬C(a)
(9)秦岭隔开了渭水和汉水。
解:
设A(x,y,z):
x隔开了y和z。
a:
秦岭。
b:
渭水。
c:
汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为:
A(a,b,c)
(10)除非小李是东北人,否则她一定怕冷。
解:
设A(x):
x是东北人。
B(x):
x怕冷。
a:
小李。
“除非小李是东北人,否则她一定怕冷。
”符号化为:
B(a)→¬A(a)
2.将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1)有些实数是有理数。
解:
设R(x):
x是实数。
Q(x):
x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为:
(x)(R(x)∧Q(x))
它的真值为:
真。
(2)凡是人都要休息。
解:
设R(x):
x是人。
S(x):
x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为:
("x)(R(x)→S(x))
它的真值为:
真。
(3)每个自然数都有比它大的自然数。
解:
设N(x):
x是自然数。
G(x,y):
x比y大。
“每个自然数都有比它大的自然数。
”符号化为:
("x)(N(x)→($y)(N(y)∧G(y,x)))
它的真值为:
真。
(4)乌鸦都是黑的。
解:
设A(x):
x是乌鸦。
B(x):
是黑的。
“乌鸦都是黑的。
”符号化为:
("x)(A(x)→B(x))
它的真值为:
真。
(5)不存在比所有火车都快的汽车。
解:
设A(x):
x是汽车。
B(x):
是火车。
K(x,y):
x比y快。
“不存在比所有火车都快的汽车。
”符号化为:
¬($x)(A(x)∧("y)(B(y)→K(x,y)))
它的真值为:
真。
(6)有些大学生不佩服运动员。
解:
设S(x):
x是大学生。
L(x):
是运动员。
B(x,y):
x佩服y。
“有些大学生不佩服运动员。
”符号化为:
($x)(S(x)∧L(y)∧¬B(x,y))
它的真值为:
真。
(7)有些女同志既是教练员又是运动员。
解:
设W(x):
x是女同志。
J(x):
x是教练员。
L(x):
x是运动员。
“有些女同志既是教练员又是运动员。
”符号化为:
($x)(W(x)∧J(x)∧L(x))
它的真值为:
真。
(8)除2以外的所有质数都是奇数。
解:
设A(x):
x是质数。
B(x):
x是奇数。
C(x,y):
x不等于y。
“除2以外的所有质数都是奇数。
”符号化为:
("x)(A(x)∧C(x,2)→B(x))
它的真值为:
真。
3.指出一个个体域,使下列被量化谓词的真值为真,该个体域是整数集合的最大子集。
在以下各题中,A(x)表示:
x>0,B(x)表示:
x=5,C(x,y)表示:
x+y=0
(1)("x)A(x)
解:
正整数集合Z+。
(2)($x)A(x)
解:
整数集合Z。
(3)("x)B(x)
解:
集合{5}。
(4)($x)B(x)
解:
整数集合Z。
(5)("x)($y)C(x,y)
解:
整数集合Z。
4.分别在全总个体域和实数个体域中,将下列命题符号化。
(1)对所有的实数x,都存着实数y,使得x-y=0
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x-y=0。
在实数个体域符号化为:
("x)($y)B(x,y)
在全总个体域符号化为:
("x)(R(x)→($y)(R(y)∧B(x,y)))
(2)存在着实数x,对所有的实数y,都有x-y=0
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x-y=0。
在实数个体域符号化为:
($x)("y)B(x,y)
在全总个体域符号化为:
($x)(R(x)∧("y)(R(y)→B(x,y)))
(3)对所有的实数x和所有的实数y,都有x+y=y+x
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x=y。
在实数个体域符号化为:
("x)("y)B(x+y,y+x)
在全总个体域符号化为:
("x)(R(x)→("y)(R(y)→B(x+y,y+x)))
(4)存在着实数x和存在着实数y,使得x+y=100
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x+y=100。
在实数个体域符号化为:
($x)($y)B(x,y)
在全总个体域符号化为:
($x)(R(x)∧($y)(R(y)∧B(x,y)))
习题2.2
1.指出下列公式中的约束变元和自由变元。
(1)("x)(P(x)→Q(y))
解:
约束变元:
x,自由变元:
y
(2)("x)(P(x)∧R(x))→(($x)P(x)∧Q(x))
解:
约束变元:
x,自由变元:
x
(3)("x)(P(x)∧($x)Q(x))∨(("x)R(x,y)∧Q(z))
解:
约束变元:
x,自由变元:
y,z
(4)($x)("y)(R(x,y)∧Q(z))
解:
约束变元:
x,y,自由变元:
z
(5)("z)(P(x)∧($x)R(x,z)→($y)Q(x,y))∨R(x,y)
解:
约束变元:
x,y,z,自由变元:
x,y
2.对下列谓词公式中的约束变元进行换名。
(1)($x)("y)(P(x,z)→Q(x,y))∧R(x,y)
解:
将约束变元x换成u:
($u)("y)(P(u,z)→Q(u,y))∧R(x,y)
将约束变元y换成v:
($x)("v)(P(x,z)→Q(x,v))∧R(x,y)
(2)("x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧($x)R(x)→("z)S(x,z)
解:
将前面的约束变元x换成u,后面的约束变元x换成v:
("u)(P(u)→(R(u)∨Q(u,y)))∧($v)R(v)→("z)S(x,z)
将约束变元z换成w:
("x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧($x)R(x)→("w)S(x,w)
3.对下列谓词公式中的自由变元进行代入。
(1)(($y)Q(z,y)→("x)R(x,y))∨($x)S(x,y,z)
解:
将自由变元z用u代入:
(($y)Q(u,y)→("x)R(x,y))∨($x)S(x,y,u)
将自由变元y用v代入:
(($y)Q(z,y)→("x)R(x,v))∨($x)S(x,v,z)
(2)("y)P(x,y)∧($z)Q(x,z)↔($x)R(x,y)
解:
将自由变元x用u代入:
("y)P(u,y)∧($z)Q(u,z)↔($x)R(x,y)
将自由变元y用v代入:
("y)P(x,y)∧($z)Q(x,z)↔($x)R(x,v)
4.利用谓词公式对下列命题符号化。
(1)每列火车都比某些汽车快。
解:
设A(x):
x是火车。
B(x):
x是汽车。
C(x,y):
x比y快。
“每列火车都比某些汽车快。
”符号化为:
("x)(A(x)→($y)(B(y)∧C(x,y)))
(2)某些汽车比所有火车慢。
解:
设A(x):
x是火车。
B(x):
x是汽车。
C(x,y):
x比y快。
“某些汽车比所有火车慢。
”符号化为:
($x)(B(x)∧("y)(A(y)→C(y,x)))
(3)对每一个实数x,存在一个更大的实数y。
解:
设R(x):
x是实数。
G(x,y):
x比y大。
“对每一个实数x,存在一个更大的实数y。
”符号化为:
("x)(R(x)→($y)(R(y)∧G(y,x)))
(4)存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积。
解:
设R(x):
x是实数。
G(x,y):
x比y大。
“存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积。
”符号化为:
($x)($y)($z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz))
(5)所有的人都不一样高。
解:
设R(x):
x是人。
G(x,y):
x和y一样高。
“所有的人都不一样高。
”符号化为:
("x)("y)(R(x)∧R(y)→¬G(x,y))
5.自然数一共有下述三条公理:
a)每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
b)没有一个数使数1是它的后继数。
c)每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
用两个谓词表达上述三条公理。
注:
设n是不等于1的自然数,则n+1是n的后继数,n-1是n的先驱数。
解:
设A(x):
x是数。
B(x,y):
x是y后继数(根据定义,也可理解为y是x先驱数)。
a)“每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
”符号化为:
("x)(A(x)→($y)(A(y)∧B(y,x))∧(($z)(A(z)∧B(z,x))→(z=y)))
b)“没有一个数使数1是它的后继数。
”符号化为:
¬($x)(A(x)∧B(1,x))
c)“每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
”符号化为:
("x)(A(x)∧¬(x=1)→($y)(A(y)∧B(x,y))∧(($z)(A(z)∧B(x,z))→(z=y)))
6.取个体域为实数集R,函数f在a点连续的定义是:
对每个ε>0,存在一个δ>0,使得对所有
x,若|x-a|<δ,则|f(x)-f(a)|<ε。
试把此定义用符号化的形式表达出来。
解:
("ε)((ε>0)→(δ)((δ>0)∧("x)((|x-a|<δ)→(|f(x)-f(a)|<ε))))
7.若定义惟一性量词($!
x)为“存在惟一的一个x”,则($!
x)P(x)表示“存在惟一的一个x使P(x)为真”。
试用量词,谓词及逻辑运算符表示($!
x)P(x)。
解:
($!
x)P(x)($x)P(x)∧(($y)P(y)→(y=x))
习题2.3
1.设个体域为D=í1,2,3ý,试消去下列各式的量词。
(1)("x)P(x)
解:
("x)P(x)P
(1)∧P
(2)∧P(3)
(2)("x)P(x)→($y)Q(y)
解:
("x)P(x)→($y)Q(y)(P
(1)∧P
(2)∧P(3))→(Q
(1)∨Q
(2)∨Q(3))
(3)("x)P(x)∨($y)Q(y)
解:
("x)P(x)∨($y)Q(y)(P
(1)∧P
(2)∧P(3))∨(Q
(1)∨Q
(2)∨Q(3))
(4)("x)(P(x)↔Q(x))
解:
("x)(P(x)↔Q(x))(P
(1)↔Q
(1))∧(P
(2)↔Q
(2))∧(P(3)↔Q(3))
(5)("x)ØP(x)∨("y)Q(y)
解:
("x)¬P(x)∨("y)Q(y)(¬P
(1)∧¬P
(2)∧¬P(3))∨(Q
(1)∧Q
(2)∧Q(3))
2.求下列各式的真值。
(1)("x)($y)H(x,y)其中H(x,y):
x>y,个体域为D=í4,2ý
解:
("x)($y)H(x,y)($y)H(2,y)∧($y)H(4,y)
(H(2,2)∨H(2,4))∧(H(4,2)∨H(4,4))
(0∨0)∧(1∨0)0∧10
(2)($x)(S(x)→Q(a))∧p其中S(x):
x>3,Q(x):
x=5,a:
3,p:
5>3,个体域为D=í-1,3,6ý
解:
($x)(S(x)→Q(a))∧p((S(-1)→Q(3))∨(S(3)→Q(3))∨(S(6)→Q(3)))∧(5>3)
((0→0)∨(0→0)∨(1→0))∧1
(1∨1∨0)∧11∧11
(3)($x)(x2-2x+1=0)其中个体域为D=í-1,2ý
解:
($x)(x2-2x+1=0)(((-1)2-2×(-1)+1=0)∨(22-2×2+1=0)
((4=0)∨(1=0)0∨00
3.证明下列各式。
其中:
B是不含变元x的谓词公式。
(1)($x)(S(x)→R(x))Û("x)S(x)→($x)R(x)
证明:
($x)(S(x)→R(x))Û($x)(¬S(x)∨R(x))
Û($x)¬S(x)∨($x)R(x)
Û¬("x)S(x)∨($xR(x)
Û("x)S(x)→($x)R(x)
(2)("x)("y)(S(x)→R(y))Û($x)S(x)→("y)R(y)
证明:
("x)("y)(S(x)→R(y))Û("x)("y)(¬S(x)∨R(y))
Û("x)¬S(x)∨("y)R(y)
Û¬($x)S(x)∨("y)R(y)
Û($x)S(x)→("y)R(y)
(3)($x)(A(x)→B)Û("x)A(x)→B
证明:
($x)(A(x)→B)Û($x)(¬A(x)∨B)Û($x)¬A(x)∨B
Û¬("x)A(x)∨BÛ("x)A(x)→B
(4)("x)(B→A(x))ÛB→("x)A(x)
证明:
("x)(B→A(x))Û("x)(¬B∨A(x))Û¬B∨("x)A(x)ÛB→("x)A(x)
(5)("x)(A(x)→B(x))Þ("x)A(x)→("x)B(x)
证明:
因为("x)(A(x)→B(x)),所以对于任意个体c,A(c)→B(c)和A(c),从而有B(c),由c的任意性有("x)B(x),根据cp规则,("x)(A(x)→B(x))Þ("x)A(x)→("x)B(x)
(6)("x)(A(x)«B(x))Þ("x)A(x)«("x)B(x)
证明:
("x)(A(x)«B(x))Û("x)((A(x)→B(x))∧(B(x)→A(x)))
Û("x)(A(x)→B(x))∧("x)(B(x)→A(x))
("x)(A(x)→B(x))∧("x)(B(x)→A(x))Þ("x)(A(x)→B(x))Þ("x)A(x)→("x)B(x)
同理,("x)(A(x)→B(x))∧("x)(B(x)→A(x))Þ("x)B(x)→("x)A(x)
所以,("x)(A(x)→B(x))∧("x)(B(x)→A(x))Þ(("x)A(x)→("x)B(x))∧(("x)B(x)→("x)A(x))
而(("x)A(x)→("x)B(x))∧(("x)B(x)→("x)A(x))Û("x)A(x)«("x)B(x)
故有("x)(A(x)«B(x))Þ("x)A(x)«("x)B(x)
4.判断下列证明是否正确。
("x)(A(x)→B(x))Û("x)(¬A(x)∨B(x))Û("x)Ø(A(x)∧¬B(x))
Û¬($x)(A(x)∧¬B(x))Û¬(($x)A(x)∧($x)¬B(x))
Û¬(($x)A(x)∧¬("x)B(x))Û¬($x)A(x)∨("x)B(x))
Û($x)A(x)→("x)B(x))
解:
下列的推理是错的:
¬($x)(A(x)∧¬B(x))Û¬(($x)A(x)∧($x)¬B(x))
习题2.4
1.求下列各式的前束范式。
(1)("x)P(x)∧($x)Q(x)
解:
("x)P(x)∧($x)Q(x)Û("x)P(x)∧("x)Q(x)Û("x)(P(x)∧Q(x))
(2)("x)P(x)∨($x)Q(x)
解:
("x)P(x)∨($x)Q(x)Û("x)P(x)∨("x)Q(x)
Û("x)P(x)∨("y)Q(y)
Û("x)("y)(P(x)∧Q(y))
(3)("x)("y)((($z)A(x,y,z)∧($u)B(x,u))→($v)B(x,v))
解:
("x)("y)((($z)A(x,y,z)∧($u)B(x,u))→($v)B(x,v))
Û("x)("y)(($z)($u)(A(x,y,z)∧B(x,u))→($v)B(x,v))
Û("x)("y)("z)("u)($v)((A(x,y,z)∧B(x,u))→B(x,v))
(4)("x)("y)(($z)(A(x,z)∧B(x,z))→($u)R(x,y,u))
解:
("x)("y)(($z)(A(x,z)∧B(x,z))→($u)R(x,y,u))
Û("x)("y)("z)($u)((A(x,z)∧B(x,z))→R(x,y,u))
(5)("x)(($y)A(x,y)→($x)("y)(B(x,y)∧("y)(A(y,x)→B(x,y))))
解:
("x)(($y)A(x,y)→($x)("y)(B(x,y)∧("y)(A(y,x)→B(x,y))))
Û("x)(($y)A(x,y)→($x)("y)(B(x,y)∧("z)(A(z,x)→B(x,z))))
Û("x)(($y)A(x,y)→($u)("v)("z)(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
Û("x)("y)($u)("v)("z)(A(x,y)→(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
Û($x)($y)("u)($v)($z)(A(x,y)→(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
2.求下列各式的前束合取范式。
(1)("x)(P(x)∨("z)Q(z,y)→("y)R(x,y))
解:
("x)(P(x)∨("z)Q(z,y)→("y)R(x,y))
Û("x)(("z)(P(x)∨Q(z,y))→($y)R(x,y))
Û("x)(("z)(P(x)∨Q(z,y))→($u)R(x,u))
Û("x)($z)($u)((P(x)∨Q(z,y))→R(x,u))
Û("x)($z)($u)((P(x)∨Q(z,y))∨R(x,u))
Û("x)($z)($u)((P(x)∧ØQ(z,y))∨R(x,u))
Û("x)($z)($u)((P(x)∨R(x,u))∧(ØQ(z,y))∨R(x,u)))
(2)(x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∨(x)R(x,y)
解:
(x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∨(x)R(x,y)
Û(x)(u)(P(x,u)∧Q(u,z))∨(v)R(v,y)
Û(x)(u)(v)((P(x,u)∧Q(u,z))∨R(v,y))
Û(x)(u)(v)((P(x,u)∨R(v,y))∧(Q(u,z))∨R(v,y)))
(3)(($y)Q(z,y)→("x)R(x,y))∨($x)S(x,y,z)
解:
(($y)Q(z,y)→("x)R(x,y))∨($x)S(x,y,z)
Û(($u)Q(z,u)→("x)R(x,y))∨($v)S(v,y,z)
Û("u)("x)($v)((Q(z,u)→R(x,y))∨S(v,y,z))
Û("u)("x)($v)(Q(z,u)∨R(x,y)∨S(v,y,z))
3.求下列各式的前束析取范式。
(1)("x)(P(x)→("y)(("x)Q(x,y)→("z)R(x,y,z)))
解:
("x)(P(x)→("y)(("x)Q(x,y)→("z)R(x,y,z)))
Û("x)(P(x)→("y)(("x)Q(x,y)→($z)R(x,y,z)))
Û("x)(P(x)→("y)($u)($z)(Q(u,y)→R(x,y,z)))
Û("x)("y)($u)($z)(P(x)→(Q(u,y)→R(x,y,z)))
Û("x)("y)($u)($z)(P(x)∨ØQ(u,y)∨R(x,y,z))
(2)(x)(y)(P(x,y)∨Q(y,z))∧(x)R(x,y)
解:
(x)(y)(P(x,y)∨Q(y,z))∧(x)R(x,y)
Û(x)(u)(P(x,u)∨Q(u,z))∧(v)R(v,y)
Û(x)(u)(v)((P(x,u)∨Q(u,z))∧R(v,y))
Û(x)(u)(v)((P(x,u)∧R(v,y))∨(Q(u,z))∧R(v,y)))
(3)(($y)Q(z,y)∧("x)R(x,y))∨($x)S(x,y,z)
解:
(($y)Q(z,y)∧("x)R(x,y))∨($x)S(x,y,z)
Û(($u)Q(z,u)∧("x)R(x,y))∨($x)S(x,y,z)
Û($u)("x)(Q(z,u)∧R(x,y))∨($x)S(x,y,z)
Û($u)("x)(Q(z,u)∧R(x,y))∨($v)S(v,y,z)
Û($u)("x)($v)((Q(z,u)∧R(x,y))∨S(v,y,z))
习题2.5
1.证明下列各式。
(1)("x)(F(x)→(G(y)∧R(x))),($x)F(x)Þ($x)(F(x)∧R(x))
证明:
⑴($x)F(x)P
⑵F(c)ES⑴
⑶("x)(F(x)→(G(y)∧R(x)))P
⑷F(c)→(G(y)∧R(c))US⑶
⑸G(y)∧R(c)T⑵⑷假言推理
⑹R(c)T⑸化简律
⑺F(c)∧R(c)T⑵⑹合取引入
⑻($x)(F(x)∧R(x))EG⑺
(2)("x)(F(x)→G(x)),("x)(R(x)→ØG(x))Þ("x)(R(x)→ØF(x))
证明:
⑴("x)(R(x)→ØG(x))P
⑵R(c)→ØG(c)US⑴
⑶("x)(F(x)→G(x))P
⑷F(c)→G(c)US⑶
⑸ØG(c)→ØF(c)T⑷假言易位式
⑹R(c)→ØF(c)T⑵⑸假言三段论
⑺("x)(R(x)→ØF(x))UG⑹
(3)("x)(F(x)∨G(x)),("x)(G(x)→ØR(x)),("x)R(x)Þ("x)F(x)
证明:
⑴("x)R(x)P
⑵R(c)US⑴
⑶("x)(G(x)→ØR(x))P
⑷G(c)→ØR(c)US⑶
⑸ØG(c)T⑵⑷拒取式
⑹("x)(F(x)∨G(x))P
⑺F(c)∨G(c)US⑹
⑻F(c)T⑸⑺析取三段论
⑼("x)F(x)UG⑻
(4)($x)F(x)→("y)((F(y)∨G(y))→R(y)),($x)F(x)Þ($x)R(x)
证明:
⑴($x)F(x)P
⑵F(c)ES⑴
⑶($x)F(x)→("y)((F(y)∨G(y))→R(y))P
⑷("y)((F(y)∨G(y))→R(y))T⑴⑶假言推理
⑸(F(c)∨G(c))→R(c)US⑷
⑹F(c)∨G(c)T⑵附加律
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 离散数学 习题 解答