湖北省武汉市新洲区届高三联考数学理PDF版含答案.docx
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湖北省武汉市新洲区届高三联考数学理PDF版含答案
机密★启用前
2019年高三年级10月联考理科数学
考试时间:
2019年10月18日上午10:
00—12:
00试卷满分:
150分
注意事项:
1答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3非选择题的作答:
用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4考试结束后,请将答题卡上交.
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1设集合M={x|x=2k+1,k∈Z},集合N={x|x=4k±1,k∈Z},则()AM=NBM⫋NCN⫋MDN=∁zM
2已知复数Z满足Z(1-2i)=3+i,则共轭复数Z的模为()
5
A7
B1C2D2
3“(x-1)(y-2)=0”是“x=1且y=2”的()
A充分不必要条件B必要不充分条件
C充要条件D既不充分也不必要条件
4若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N≡n(modm),例如10≡3(mod7).下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的«中国剩余定理»,执行该程序框图,则输出n的值等于()
A29B30
C31D32
5已知x=3ln2,y=2ln3,z=2,则x,y,z的大小关系是()
Ax>y>zBy>x>zCx=y>zDy>z>x
6设A、B、C为三角形三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+sinC-sinB=0有两相等的实根,那么角B()
AB>60°BB≥60°CB<60°DB≤60°
7某同学研究曲线C:
x3+y3=1的性质,得到如下结论:
①x,y的取值范围是R;②曲线
8
C是轴对称图形;③曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2.其中正确的结论序
号为()
A①②B①③C②③
2→
D①②③
8若在直线l上存在不同的三点A、B、C,使得关于x的方程xOA+xOB→+B→C=O→有解
(O∉l),则方程解集为()
AØB{-1}
C{-1,0}D{-1+5,-1-5}
22
9将函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向右平移π个单位长度后所得的图象关于
212
2
y轴对称,则f(x)在[0,π]上的最小值为()
A-3B-1
→
C-2D0
→
10已知O为△ABC的外心,且|AC|=4,|AB|=23,则AO→(A→C-AB→)等于()A2B4C6D8
11已知实数a、b、c、d满足a-2ea=1-c=1(e是自然对数的底数),则(a-c)2+(b-d)2
的最小值为()
bd-3
A10B18C8D12
121777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题,此后人们根据蒲丰投针原理,运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值.请你运用所学知识,解决蒲丰投针问题:
平面上画着一些平行线,它们之间的距离都等于a(a>0),向此平面任投一根长度为
l(l<a)的针,已知此针与其中一条线相交的概率是p,则圆周率π的近似值为()
A2ap
Bal
C2l
Dpa
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13已知f(x)为奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x+2对称,若g(1)=7,则
f(-5)=.
⎧⎪-sinπx,-2≤x≤0
14已知f(x)=⎪2
若关于x的方程f(x)=k有四个实根x,x,x,
⎨⎩⎪⎪|lnx|,x>0
x4,则这四根之和x1+x2+x3+x4的取值范围是.
123
15已知△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,sinA=1+cosA,cosA=4,
S△ABC=6,则a=.
sinB
2-cosB5
16定义在区间(0,+∞)上函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立(f′(x)为
f(1)
f(x)的导数),则f(2)的取值范围是.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17(10分)已知△ABC是圆O(O为坐标原点)的内接三角形,其中A(1,0),B(-1,-3)
角A,B,C所对的边分别是a,b,c.22
(1)若点C的坐标是(-3,4),求cos∠COB的值;
()︵55
2若点C在优弧AB上运动,求△ABC周长的取值范围.
18(12分)如图,在四棱锥PGABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,
BD=23,且AC,BD交于点O,E是PB上任意一点.
(1)求证:
AC⊥DE;
4
(2)已知二面角AGPBGD的余弦值为3,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角
的正弦值.
19(12分)若a∈R,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a),求g(a)的表达式并求当a为何值时,g(a)的值最小.
20(12分)已知椭圆x2+y2=1(a>1),过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B
和C、D.记得到的平行四边形ACBD的面积为S.
(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A,C的坐标表示S;
2
(2)设l1与l2的斜率之积与直线CA、CB的斜率之积均为-1,求面积S的值.
21(12分)有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏,棋盘上标有第0站(出发地),在第1站,第2站,
第100站.一枚棋子开始在出发地,棋手每掷一次硬币,这枚棋子向前跳动一次,若掷出正向,棋子向前跳一站,若掷出反面,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(失败收容地)或跳到第100站(胜利大本营),该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn.
(1)求P0,P1,P2;
(2)写出Pn与Pn-1、Pn-2的递推关系(2≤n≤99);
(3)求玩该游戏获胜的概率.
x
22(12分)已知函数f(x)=ax-a-2lnx(a∈R).
(1)若f(x)是定义域上的增函数,求a的取值范围;
5
(2)设a>3,m,n分别为f(x)的极大值和极小值,若S=m-n,求S的取值范围.
201910
年高三年级月联考理科数学参考答案与评分细则
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
C
C
D
B
A
A
B
C
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13-314(0,e+1-2)152616(4,8)
三、解答题:
共70分.e
17(10分)
→→
(1)cos∠COB=cos<O→C,O→B>=OCOB
=3-43=3-43
|O→C||O→B|101010
(2)∵∠AOB=120°,C=3,∴∠ACB=60°
∴a=b=3=2
(5分)
(7分)
(8分)
sinAsinBsin60°
∴a+b=2sinA+2sin(2π-A)=23sin(A+π),
36
2π,
O<A<3
3<a+b≤23
(9分)
∴23<a+b+c≤33
18(12分)
(10分)
(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC.
(1分)
又∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD
(2分)
DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE(4分)
(2)连OE,在△PBD中,OE∥PD,∴OE⊥平面ABCD
分别以OA,OB,OE为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD=t,则A(1,0,0,),B(0,3,0),
C(-1,0,0),E(0,0,t),P(0,-3,t).
由(1)知,平面PBD2n→=(1,0,0)(5分)
的一个法向量为1→→
设平面PAB的一个法向量为n→2=(x,y,z),则由{n2AB=0
即{-x+3y=0
令y=1,则n→2=(3,1,2t3).
(7分)
-x-3y+tz=0
因二面角AGPBGD的余弦值为3,∴|cos<n→1,n→2>|=3=3,∴t=3.
(10分)
44+t1224
设EC与平面PAB所成角为θ,∵E→C=(-1,0,-3),n→2=(3,1,23),
2
∴sinθ=|cos<E→C,n→2>|=|-3-3|=23=3
3
13
(12分)
1+9
4+4
13413
4323
19(12分)
(1)a≤0时,∵0≤x≤1,∴f(x)=x2-ax,f(x)单调递增.
∴g(a)=f(1)=1-a(2分)
(2)当a>0,如图所示,令f(x)=a2,得x=a或x=2+1a
a,422
①当2≥1即a≥2时,g(a)=f(1)=a-1
(4分)
②当a<1<2+1a,即2(2-1)<a<2时,g(a)=f(a)=a2
(6分)
2224
③当2+1a≤1,即0<a≤2(2-1)时,g(a)=f(1)=1-a
(8分)
⎧⎪1-a,a≤2(2-1)
综上,g(a)=⎪a2,()
(10分)
⎪42-1<a<2
⎩⎪a-1,a≥2
2分)(:
-=0
20(1显然当a=2(2-1)时,g(a)取最小值.
1)直线l1xy1yx1.
d=|x1y2-x2y1|,则|AB|=2|AO|=2
(12分)
∴S=2S△ABC=|AB|ydxy|
x12+y12
=2x12+y12|x12-21
x12+y12
1221(2)
=2|xy-xy|
设l1:
y=K1x,l2:
y=K2x;
(4分)
∵KK
=y2-y1y2+y1=y22-y12
CACB
x2-x1x2+x1x22-x12
又x122x222y22-y121
∵a2+y1=a2+y2
∴x22-x12=-a2
∴KK=-1=-1∴a2=2∴椭圆方程为x2+y2=1
(6分)
CACBa222
y=K1x2
2
∴22,
22
2=2
(8)
x1=1+2K12
同理可得x2
1+2K22分
又∵S=2|x1y2-x2y1|=2|K2-K1||x1x2|∴S2=4(K2-K1)2x12x22
∴S2=4(K2-K1)2(
K24
K2
(10分)
1+2
1
1)(1+22)
将K2=-2K
代入得S2=4(K1+K1)2(
41
1
121
1+2K12)(1+2K2)
S2=4(2K12+1)2×(8K12
)=8∴S=22
(12分)
()4K12
1+2K122
2112分
11113
(1)依题意得P0=1,P1=2,P2=2+2×2=4
(2)依题意知,棋子跳到第n站有两种情况:
(3分)
2
第一种,棋子先到n-2站,又掷出反面,其概率为1Pn-2;
第二种,棋子先到n-1站,又掷出正面,其概率为1Pn-1.
11(2
∴Pn=2Pn-1+2Pn-22≤n≤99)(6分)
(没写2≤n≤99,得5分)
(3)【解法一】由(2)知,Pn-Pn-1=-1(Pn-1-Pn-2),且P1-P0=-1
(8分)
∴{Pn
-Pn-1
}是以
-1为首项
2
22
-1为公比的等比数列.
P99=P0+(P1-P0)+(P2-P12P-P2)++(P99-P98)
11)+(
2
1-(-1)100
=2=2(1-1100)
(10分)
1+132
2
+=1∴P
=1(1+1)P=
1=1(1+1)
(12)
又P99
P100
1003
299或
100
P9823
299分
∴玩该游戏获胜的概率为1(1+199)
32
【】∵=1PPn≤99
解法二Pn2n-1+1n-2,2≤
∴P+1P
2
=P+1
==P+1P=1
(8分)
n2n-1n-12Pn-2
221
Pn-2=-1(Pn-1-2)
322
3
n-1n-1n
∴Pn-3=(P1-2)(-1)
=-1(-1)
=1(-1)
∴Pn=2+1(-1)n,1≤n≤99P99=2-1+199=2(1-1100)
(10分)
33233232
∴P100=1-P99=1(1+199)
32
∴玩该游戏获胜的概率为1(1+199).
(12分)
22(12分)32
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+a-2=ax2-2x+a
(1分)
∵f(x)在定义域内单调递增,∴f′(x)≥0,即ax2-2x+a≥0对x>0恒成立.
则a≥x2x
恒成立.
2+1
∴a≥(x2x
)max∵x2x
≤1∴a≥1
2+12+1
(2)
所以a的取值范围是[1,+∞)
【解法一】将S表示为关于x1的函数,
(4分)
设方程f′(x)=0,即ax25x5a=0的两根为x1,x2,且0<x1<x2.
由△=4-4a2>0且a>3,得3<a<1
(5分)
-2+2
则m=f(x1),n=f(x2),∵x1x2=1,x1+x2=a
∴2<x1+x1=a2<10
∴1<x1<1.
(7分)
1a33a
S=m-n=ax1-x1-2lnx1-(ax2-x2-2lnx2)
=ax1-a-2lnx1-(a-ax1+2lnx1)=2(ax1-a-2lnx1)
(6分)
x1x1x1
∵ax12-2x1+a=0
∴a=S=4-lnx)=4(-lnx)
(8分)
x12+1
x12+11
x12+121
令x12=t,则1<t<1,得g(t)=t-1-1lnt,1<t<1,则S=4g(t)
92t+129
g′(t)=-(t-1)2<0∴g(t)而且(1,1)上递减,从而g(1)<g(t)<g(1)
2t(t+1)49169
即0<g(t)<ln3-5∴0<S<4ln3-5
(12分)
【解法二】将S
表示x1的函数
为
x2
S=m-n=ax1-a-2lnx1-(ax2-a-2lnx2)=a(x1-x2)-a(1-1)-2lnx1
x1x2
2x-x
xx1-1
x1x2x2
x
∵x1+x2=a,x1x2=1∴S=4
1+2-2ln
1=4x2
-2ln1
x1,
t-1
x1x2
x2x1x2x2
令x2=t则S=4t+1-2lnt
∵t+1=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-2,∵3<a<1
tx1x2
x1x2
a25
∴2<t+t1<82∴1<t<1
(8分)
t991
()2
设g(t)=4
-1-2lnt(
<t<1),g′(t)=8
2-2=-2t-12<0
(10分)
t+19
(t+1)t
t(t+1)
∴g(t)在(1,1)上为减函数∴g(1)<g(t)<g(1)
916169
55
∴0<g(t)<4ln3-即0<S<4ln3-.
【解法三】将S表示为关于a的函数.
∵x=1-1-a2,x=1+1-a2,S=4x1-x2-2lnx1
(12分)
(6分)
1a2a
x1+x2x2
∴S=-41-a2-2ln1-1-a2
令1-a2=t∵3<a<1,∴0<t<4
(8分)
1-t554
∴S=-4t-2ln1+t=-4t-2[ln(1-t)-ln(1+t)],0<t<5
(10分)
∴S′=-4-2(1
-1)=4t2>0
t-1t+11-t2
5
∴S关于t单调递增,故0<S<4ln3-16
(12分)
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