S1-S2为常数,并求出该常数。
24.(2012•广州)如图,抛物线y=
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
25、(2013•广州)(本小题满分14分)
已知抛物线y1=
过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限。
(1)使用a、c表示b;
(2)判断点B所在象限,并说明理由;
(3)若直线y2=2x+m经过点B,且于该抛物线交于另一点C(
),求当x≥1时y1的取值范围。
例题
1.如图,已知A、B是线段MN上的两点,
,
,
.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设
.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:
△ABC的最大面积?
=
2.如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?
若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
二次函数提高训练
1.已知二次函数y=x2-(2m-1)x+4m-6.
(1)试说明不论m取任何实数,函数图象都经过x轴上的一个定点A;
(2)设函数图象与x轴的另一个交点为B(A与B不重合),顶点为C,当△ABC为直角三角形时,求m的值;
(3)在
(2)的条件下,若点B在点A的右侧,点D的坐标为(0,3),点E是函数图象上一点.问:
在x轴上是否存在点F,使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形?
若存在,求出F点坐标;若不存在,请说明理由.
2.已知二次函数y=x2-(2a+1)x+2a.
(1)若函数图象与x轴有两个不同交点,且分别位于点(2,0)的两侧,求实数a的取值范围;
(2)若函数图象不经过第三象限,且当x>2时,函数值y随x的增大而增大,求实数a的取值范围.
3.已知抛物线
,且当
时,
.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)求k的取值范围;
(3)过动点P(0,n)作直线l⊥y轴,点O为坐标原点.①当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于k的函数关系式;②当直线l与抛物线相交于A、B两点时,是否存在实数n,使得不论k在其取值范围内取任意值时,△AOB的面积为定值?
如果存在,求出n的值;如果不存在,说明理由.
4.在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
5.已知二次函数y=x2+mx-
m2(m>0)的图象与x轴交于A、B两点.
(1)求证:
该函数图象的对称轴在y轴的左侧;
(2)若
-
=
(O为坐标原点),求二次函数的表达式;
(3)设函数图象与y轴交于点C,若△ABC是直角三角形.求△ABC的面积.
6.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围;
(3)若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为2
,求m的值.
7.已知二次函数y=3ax2+2bx+c.
(1)若a=b=1,c=-1,求函数图象与x轴交点的坐标;
(2)若a=b=1,且当-1<x<1时,函数图象与x轴有且只有一个交点,求c的取值范围;
(3)若a+b+c=0,且当x=0和x=1时,对应的函数值y均大于0.试判断当0<x<1时,函数图象与x轴是否有交点?
请说明理由.
8.在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)作一直线与二次函数y=ax2(a>0)图象交于A、B两点,且使∠AOB=90°.
(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值,并说明理由;
(2)求a的值;
(3)当△AOB的面积为4
时,求直线AB的解析式.
9.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3,0),第一象限内的点P在直线y=2x上,且∠PAO=45°.
(1)求点P的坐标;
(2)若二次函数的图象经过P、O、A三点,求该二次函数的解析式;
(3)设
(2)中的二次函数图象的顶点为M,将该二次函数图象向上或向下平移,使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处,求△APM与△APQ的面积之比.
10.已知关于x的方程(a+2)x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2,且抛物线y=x2-(2a+1)x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两侧.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当|x1|+|x2|=2
时,求a的值.
11.如图:
二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A(-
,0),B(2,0)两点,且与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)在x轴上方的抛物线上有一点D,且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标;
(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
12.如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过
(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:
当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
13.已知抛物线y=x2-(2m-1)x+4m-6.
⑴试说明对于每一个实数m,抛物线都经过x轴上的一个定点;
⑵设抛物线与x轴的两个交点A(x1,0)和B(x2,0)(x1<x2)分别在原点的两侧,且A、B两点间的距离小于6,求m的取值范围;
⑶抛物线的对称轴与x轴交于点C,在
(2)的条件下,试判断是否存在m的值,使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D,且被x轴截得的劣弧与CD弧是等弧.若存在,求出所有满足条件的m的值;若不存在,说明理由.