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运筹学教案
《运筹学I》教案
课程名称:
运筹学
授课教师:
孔造杰
课程学时:
64开课时间:
第三学年第一学期授课方式:
课堂教学为主,实验教学为辅
2011年1月
时间安排:
周学时4,共16周,总学时64,
授课方式:
课堂教学与实验教学结合,以课堂教学为。
初步安排课堂教学52学时左右,实
验教学8-10学时,实验课以上机为主,辅以习题课。
时间:
第一周第一次
授课方式:
课堂教学
教学内容:
、绪论
1.运筹学的起源与发展:
?
起源于二次大战的一门边缘交叉学科?
由于战争的需要而
产生与发展;战后在经济、管理和机关学校及科研单位继续研究;我国于1982
年加入IFORS并于1999年8月组织了第15届大会。
2.运筹学的特点及研究对象:
运筹学是一门边缘性的、综合性的应用科学。
它是以应
用数学为主要技术手段,综合应用经济、军事、心理学、社会学、物理学、化学以及工农业生产的一些理论和方法,对实际问题找出最优的或满意的解决方案的一门
科学。
3.运筹学解决问题的方法步骤:
?
明确问题?
建立模型?
设计算法?
整理数据?
求解模型?
评价结果?
实施控制
4.运筹学的主要内容
5.运筹学的主要应用领域
、第一章:
线性规划基础一一§1-1问题的提出,§1-2LP模型与解的概念
1.问题的提出:
从两个生产与经济问题的实例出发,引导学生认识实际问题同数学模型之间的联系,认识规划模型同一般的数学方程、数学函数之间的区别,认识用数学方法解决实际问题的基本思维模式和方法途径。
2.线性规划的一般数学模型:
掌握线性规划的构成形式及要素:
决策变量、约束条件、目标函数。
线性规划的一般模型为:
目标函数:
max(min)zqxiqx2cnxn
X1,X2,,Xn0
3•线性规划解的概念:
可行解一一满足所有约束条件包括非负条件的解;最优解
使目标函数①达到最大值的可行解:
基;基本解一一非零分量的数目不大于方程数m,则称X为基本解;基本可行解一一满足非负条件的基本解;可行基一一对应于基本可行解的基。
、线性规划图解法(§1-3)
1.用图解的方法解上一节提出的线性规划模型。
通过图解,使学生较直观地看到线性
规划模型的求解过程及其意义,掌握图解法的基本方法和技巧,清楚地认识到线性规划有解的条件和最优解可能存在的位置。
2.通过图解法直观地认识线性规划解的集中特殊情况:
当目标方程直线与某一约束直
线平行时,最优值不唯一;有可行域,但无最优解,即目标函数的值Z无
可行解;当约束条件出现相互矛盾时,则没有可行域。
、线性规划的求解基础(§1-4)
1.线性规划的标准式:
maxz
C1X1
C2X2
Cnxn
s.t.
ra11x1
a1nxn
bi
Y
a?
1x〔
a?
2X2
a2nxn
b2
am1x1
am2x2
amnxn
b^
X1,X2,
Xn0
2.化一般模型为标准模型:
分成三种情况:
若问题的目标函数为最小化minZCX;
若约束条件为不等式;若某一决策变量xk无非负约束。
3.从解线性方程组引申到解线性规划模型
4.线性规划求解理论:
凸集、凸组合、顶点、三个定理
线性规划的应用§1-5
分成人力资源问题、生产计划问题、套裁下料问题、配料生产问题、投资问题等若干方面进行实例分析,主要引导学生学习怎样从实际问题列出其规划模型。
、单纯形法及其计算步骤(§2-1)
1.单纯形表的形式及其构成:
在单纯形表中不仅反映增广系数矩阵,而且反映检验数
、规则判定值,以及目标函数的取值。
2.计算步骤:
1)找出初始可行基,建立初始单纯形表,确定初始基本可行解。
2)检查对应于非基变量的检验数j,若所有的j0,(jm1~n),则当前解为
最优解,停止迭代;否则转入下一步。
3)在所有j0的列中,若有一个k所对应变量Xk的系数列向量中的各分量均小于
等于零,即Pk(a;k,a2k,,amk)T0,则此问题无最优解,停止迭代;否则转下
_.rH
zj>o
b
4)根据maXj0)k,确定Xk为进基变量;根据规则|minC」I
jjak
a,k0)b,确定X|为出基变量。
于是得到迭代主元素aik,转入下一步。
alk
5)以a^为主元素进行迭代运算(高斯消元法迭代),即把a^变为1,而把同列的其它
元素变为零,得到新的基本可行解所对应的新的单纯形表。
转入2o
三、人工变量的处理(§2-2)
大M求解法
在、“=”约束中,为了构造单纯形表的初始基,一般就需要加入人工变量。
人工
变量是实际问题模型中没有的人为的虚拟变量,所以这些变量在最终解中不能为基变量,而
必须是非基变量(以确保其等于零),为确保这一点,就需采取一定的措施,大M法就是措
施之一。
为确保人工变量从基中退出,以不影响目标函数的取值,在目标函数中给每一个人工变量设定一个很大的负系数M(M为任意大的正数),这样,只要人工变量没有退出基,目
标函数就不可能取到最大值。
此即所谓大M法。
两阶段法
第二阶段:
判断原问题是否有解。
为此,需要建立一个辅助线性规划,并求解。
辅助问题是
这样的:
目标函数取成所有的人工变量之和,并取其极小化;约束条件为加入人工变量后的
原约束。
第二阶段:
求原问题的最优解。
对于上述第一种情况,在当前基中不含有人工变量,将目标
函数变为原问题的目标函数,在单纯形表中将价值系数行换为原问题的价值系数。
划去人工
变量所在的列即得到原问题的初始单纯形表。
然后重新求检验数,继续迭代,直到求得原问题的最优解。
2.对于小型的线性规划模型用单纯形法,手工求解还是比较方便的,但我们也发现每次迭代都需计算很多无关的数字,对于大型的线性规划模型,不但手工解比较困难,就是借助计算机也会占用更多的空间和时间。
为适应计算机计算的需要,提出一种改进的办法。
LP的计算机求解§2-4
介绍用Excel求解线性规划的方法、步骤和注意事项
案例分析§2-5
一、对偶问题的提出(§3-1)
1.从经济意义上提出对偶问题:
针对第一章中例1的实际生产问题从另一个角度提出,
并进行具体分析、建模;
2.从数学模型上提出对偶问题:
根据线性规划的矩阵描述和单纯形表的矩阵描述,从
数学上定义一个新的模型,这个模型同原模型不仅有同样的解值,而且有着一一晖映
的对应关系。
、写对偶问题(§3-2)
1.为便于叙述和记忆对偶问题,通常规定一个标准形式,一般规定原规划为“w”约束,对偶规划为约束,变量均》0的对偶问题为标准形式。
把它们之间的关系
对偶问题(或原问题)
用表格形式表示出来,可以写成表3-2的形式
X1
X2
…Xn
原关系
minw
*
a11
a12
…am
w
b
y2
a21
a22
…a2n
w
1
1
1
b2
1
1
ym
1
1
am1
1
1
am2
1
1
…amn
w
1
1
bm
对偶关系
>
>
…>
maxz
minw
maxz
C1
C2
…Cn
2.原问题模型于对偶模型之间的对应关系原问题(或对偶问题)
目标函数maxz
目标函数minw
变
n个变量
约
n个约束
>0
束
w0
条
w
量
无约束
件
=
约
m个约束
变
m个变量
束
w
>0
条
w0
件
=
量
无约束
资源条件(约束右端常数项)价值系数(目标函数系数)
价值系数(目标函数系数)
资源条件(约束右端常数项)
一、对偶问题的性质:
1.对称性:
对偶问题的对偶是原问题。
2.弱对偶性:
若X是原问题的可行解,Y是对偶问题的可行解,则存在CXYb
3.等值最优性:
设X?
是原问题的可行解,Y是对偶问题的可行解,当cXYb时,
X?
Y分别是原问题和对偶问题的最优解。
4.对偶定理:
若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且目标函数值相等。
5.互补松弛定理(松紧定理):
若>?
Y?
分别是原问题和对偶问题的可行解,Xs,Ys分
别是原问题和对偶问题的松弛变量,那么,当且仅当刃与Y为最优解时,有
XsY?
0和XYs0。
6.原问题的检验数对应对偶问题的一个解。
为了使学生掌握这些定理和性质,对上述性质进行必要的证明于说明,使学生能够真正理解
其原理。
二、影子价格
影子价格是对偶规划问题的经济解释。
在单纯形法的的每一步迭代中,目标函数取值z=CbB_1b,和检验数Cn—CbB「1N中都
有乘子Y=CbB—1,
变量yi*的经济意义是在其他条件不便的情况下,单位资源变化所引起的目标函数的最
优值的变化。
所以,y「代表对第I种资源的价格估计,这种估计是针对具体工厂的具体产品而存在的
一种特殊价格,称其为影子价格。
对偶单纯形法(§3-4)
对偶单纯形法并非将原问题写成对偶问题,再用单纯形表求解,而是利用对偶问题的性质求解线性规划模型,它提供了单纯形表的另一种用法。
在单纯形表中,b列对应于原问题的一个基本可行解,而检验数行则对应其对偶问题的一个基本解。
在前面我们进行单纯形表的迭代中,始终保持原问题为基本可行解(即b列
大于等于零),而对偶问题为基本非可行解(即检验数行含有正值),一旦检验数行有基本非可行解变为基本可行解,则原问题和对偶问题同时达到最优解。
根据对偶问题的对称性,单纯形表的迭代过程也可以反过来进行,即保持对偶问题始
终是基本可行解(即保持CCBB1A0),而使原问题从基本非可行解逐步迭代到基
本可行解,从而使原问题和对偶问题同时得到最优解。
这种单纯形表的应用方法称为对偶单
纯形法。
对偶单纯形法的解题步骤,用流程图表述如图3-1。
图3-1:
对偶单纯形法流程图
20
习题课系统总结第一章至第三章线性规划的所有内容,讲解重点习题的正确解法和思路,留出分钟进行课堂答疑。
一、灵敏度分析一一目标函数系数的变化(§4-1)
1.Cj是非基变量Xj的系数
在单纯形表中,Cj的变化仅影响到其检验数,而且当Cj是非基变量Xj的系数时,仅影
响该非基变量Xj的检验数。
非基变量的检验数为jCjCBB1p
当Cj变化了Cj后jCjCjCbBP
CjCbBPjCj
2.Cr是基变量Xr在目标函数中的系数
单纯形表中的检验数为jCjcBb1pj
由于Cr是基变量的系数,所以它的变化不仅影响其对应变量的检验数,而且影响到cb
的变化,进而影响除基变量之外的所有变量的检验数。
由此得到G的变化范围为:
'I'''
max{j/arjarj0}Crmin{j/arjarj0}
二、灵敏度分析——右端常数项的变化
在最终单纯形表中,右端常数项表示最终基变量的取值,因而不能为负。
这时我们谈最
优解不变,是指最优基不变。
在单纯形表的最终表中,基变量的取值为:
XBB1bb
若b中第r个分量br变化了△br,即卩b'bb其中b(0,...,br,...,0)T则变化后的基变量取值为:
xBB1b'B1(bb)
B1bB1b
1T
bB10br0
有Max{bi/airair0}brMin{b/a『a『0}
系数矩阵A的变化(§4-3)
1.由于aj属于非基变量的系数列向量,所以它的变化仅仅影响到该非基变量的检验数,
而不影响其它任何量。
因为Y0,所以当yi0时有:
ayj/yi
2.系数矩阵A中某列向量变化后的分析:
如果系数矩阵A中某一列向量Pj发生了变化,
且其对应的变量Xj为非基变量,那么Pj的变化仅影响最终表中的检验数j。
如果
j'0,则说明Pj变化后并不影响当前解;如果j'0,则说明Pj变化后要影响到当前解,需要求出最终表中第j列的新数据B1P;填入第j列,然后以xj为进基变量继续迭代,直到得到最优解。
3.如果系数矩阵A中发生变化的列向量Pj为基变量,则Pj变化后不仅影响变量xj的检
验数,而且影响到最终表中的Pj也不再是单位列向量,即B和B1都要变。
这时要
做的是求出最终表中Xj列的数,并通过迭代使该列恢复单位向量,再根据恢复后的
状态予以处理。
4.系数矩阵A中增加一列或一行的分析(通过例题分析说明A中增加一行或一列之后
对最优解的影响。
总结如下:
1若修正后的原问题与对偶问题的解都是可行解,则修正后的解仍是可行解;
2若出现原问题是可行解,对偶问题是非可行解,则按单纯形法继续迭代求出最优解;
3若对偶问题是可行解,原问题是非可行解,则按对偶单纯形法继续求出最优解;
4若原问题与对偶问题的解均是非可行解,这时就要引入人工变量,建立新的单纯
形表重新计算。
计算机求解中Excel灵敏度报告
时间:
第六周第二次授课方式:
课堂教学/答疑教学内容:
一、运输问题提出与建模(§5-1)
运输是社会经济生活中必不可少的一个环节,也是我们身边司空见惯的现象,例如,煤炭、粮食、木材等物资在全国各地的调运;企业生产所需原材料及产成品的运进运出;商业部门对销售网点的货物配送等等。
若用Xj表示从产地A运往销地Bj的运输量,那么在产销平衡条件下,要求
总运费最省的运输方案可表示为:
mn
cijXij
i1j1
MinZ
n
满足条件:
广X
j1
m
ai(i=1,
…,m)
Xj
i1
Xj0
bj(j=1,-
n)
解运输问题通常采用表上作业法,这一过程通常分为三个阶段:
(1)给出初始可行方案;
(2)判断是否最优方案;
(3)调整方案。
二、基变量与闭回路(§5-2)
讲解求解运输问题模型的理论基础:
基本量的个数,构成基变量应该满足的条件等。
二、初始解的确定方法
1最小元素法:
最小元素法的基本思想就是就近供应。
即从单位运价表中最小运价开始确定产销关系,依次类推,一直到给出初始方案为止。
2伏格尔法(Vogel)
伏格尔法(Vogel)是对最小元素法的改进,但相对要复杂些。
(具体略)
Vogel法是对最小元素法的改进,由Vogel法得到的初始方案一般更接近于最优方案。
需注意的是用Vogel法所求得初始方案的过程中也可能遇到最小元素法所遇到的问题,以可以用同样的方法去解决。
运输问题的单纯形方法:
(§5-3)
一初始方案的给出
1最小元素法:
最小元素法的基本思想就是就近供应。
即从单位运价表中最小运价开始确定产销关系,依次类推,一直到给出初始方案为止。
2伏格尔法(Vogel)
伏格尔法(Vogel)是对最小元素法的改进,但相对要复杂些。
(具体略)Vogel法是对最小元素法的改进,由Vogel法得到的初始方案一般更接近于最优方案。
需注意的是用Vogel法所求得初始方案的过程中也可能遇到最小元素法所遇到的问题,以可以用同样的方法去解决。
二、运输问题解的最优性判定
1•闭回路法:
在给出的初始方案计算表上,除了m+n-1个有数字格外,还有
mxn-(m+n-1)个空格。
从每一空格出发,沿水平或垂直方向前进,当遇到有数字格时可以任意转90度继续前进,也可以串过有数字格继续前进,直到回到起始点。
这样总可以找到一个且只有一个闭回路。
在这个闭回路中,除了起始点为空格外,其余角点都是有数字点。
如果检验数为正,表明沿此闭回路的调整会使总费用增加;如果检验数为
负,表明沿此闭回路的调整会使总费用减少。
如果求得所有空格点的检验数都大于等于零,则当前运输方案为最优方案;如果还
有空格的检验数小于零,则还要进一步调整当前运输方案。
2.位势法:
用闭回路法求检验数,思路很清晰简单,但当产销点较多时是十分麻烦的,而位势法是比较简单易行的。
(1)在表5-13的右端增加一列,记为Ui,i=l~m。
在下面增加一行,记为vj,j=1~n。
使其满足_|Cij=Ui+Vj。
(2)求出所有的空格的位势Ui+vj,并将其填入表5-15中。
(任一格的位势等于其行位势加列位势)
(3)在表5-13的右端增加一列,记为ui,i=1~m。
在下面增加一行,记为vj,j=1~n。
使其满足—Cij=Ui+Vj。
(4)由单位运价表中的每一数据Cij减去位势表中对应格的位势,得到每个变量的检
验数(如本例的表5-16所示)(注:
对应基变量的检验数必为0,可以不写)。
(5)判定:
若所有检验数均大于等于零,则当前解为最优解;若有一个或一个以上的格为负数,则当前解为非最优解,还需进一步调整改进。
三、案的调整:
无论是用最小元素法还是用Vogel法给出的初始方案,也不论是用闭回路法
还是用位势法进行最优性判定。
当解为非最优解时,也就是存在负的检验数时,都要用
闭回路法进行调整。
运输问题的变体(§5-4)
前面三节所述运输问题的理论与表上作业法的计算,都是以产销平衡为前提的。
即各产地的总产出等于各销地的总销量。
即:
aibj
i1j1
但在实际的运输问题中,其产销往往是不平衡的,为了应用上述理论和表上作业法进行计算,就需要一定的技术措施,把产销不平衡的运输问题化为产销平衡的运输问题来处理。
1.产大于销
2.销大于产
运输问题的应用§5-5
时间:
第七周第二次
授课方式:
课堂教学
教学内容:
一、整数规划的模型与特点(§6-1)
在前面我们所讨论的线性规划模型中,一般情况下都限定决策变量X>0。
但在实际问
题中往往会有其它限制,如决策变量只能取整数,只能取0、1两个值等等。
若对原线性规
划问题增加这种限制,则称之为整数规划问题。
所以整数规划也是一种特殊的线性规划。
整数规划有很现实的实际意义,因为在很多线性规划问题中,决策变量往往代表的是人数、机器台数等等,这时非整数解显然是不合要求的。
整数规划有很现实的实际意义,因为在很多线性规划问题中,决策变量往往代表的是人数、机器台数等等,这时非整数解显然是不合要求的。
对于处理这一类要求有整数解的线性规划
问题,通常人们首先想到的是先不管整数条件的限制,直接使用单纯形法求解,然后将所得
到的非整数解经四舍五入化为整数。
但是这种办法往往是行不通的,这是因为由舍入化整所
得的整数解不一定是可行解,即便是可行解,也不一定是最优解。
目前,解整数规划问题通常采用的方法是分支定界法和割平面法。
二、分枝定界法(§6-2)
1.分枝定界法是以求相应的线性规划问题的最优解为出发点的。
如果得到的线性规划
问题的最优解不符合整数条件,就将原问题分解成两个或几个子问题,而每一子问题
都是在原线性规划问题的基础上增加相应的整数约束条件,从而在其可行域的边界附
近除去一部分原来的可行域,但所除去的可行域是不包含有整数解的。
这样,可以使
靠近可行域边界的整数点逐步地暴露在新可行域的边界上,在分解后的缩小了的可行
域内继续求相应的线性规划问题,直到得到所要求的最优整数解。
2.解体步骤:
1.称原问题(整数规划)为A,称相应的线性规划(即不考虑整数条件)为B,解B。
2.如果问题B没有可行解,则问题A也没有可行解。
3.如果已得问题B的最优解,检查它是否合于整数条件。
若是,则它就是原问题A的最优解;若否转入下步。
4.在问题B的解中,任选一个不符合整数条件的变量Xj,如果Xj的值是bj,作两个
后继问题,它们是对问题B分别各增加一个约束条件:
a)Xj(小于bj的最大整数)
b)Xj(大于bj的最小整数)
不考虑整数条件,解这两个后继问题。
5.在现有的、且还没有分解后继问题的各可行解中,选目标函数值为最优的问题,重新称这个问题为问题B,回到第3步。
重复进行,直到得到整数最优解。
时间:
第八周第一次授课方式:
课堂教学教学内容:
割平面法(§6-3)
1.解法思想:
首先不考虑整数条件,解线性规划问题,若得整数解即为所求,若有非整数解,则增加线性约束条件(即割平面法),使得由原可行域中切割掉一部分,切掉的这部分只包含非整数解,而没有切割掉任何整数可行解。
2.利用最终单纯形表求割平面方程的基本步骤:
1.从最终单纯形表中引出诱导方程。
N4kXkbi①
k
Xi——基变量之一;
Xk所有非基变量;
aik――相对应非基变量在最终表中的系数;
b——最终表中对应于xi的取值,bi非整数。
2.将aik、bi都分解成整数部分N与非负真分数f之和。
即aikNikfik,其中0丘1
biNifi,其中0fi1
其中N为不超过aik
(或bi)的最大整数。
所以上述①式变为:
XiNikXkNififikXk
kk
②
3.现在提出整数条件,即
X,Xk均为整数。
可见②式左边为整数,
因而其右端也就必为整数。
又0fi1,
0fik1
必有fifikXik0③
k
此即所求割平面方程。
4.给割平面方程③加入非负松弛变量y得到
即fifikXiky0④
k
然后以y为基变量把此方程④填入最终计算表继续迭代,重复以上过程,直到得到整数最优解。
0-1整数规划(§6-4)
0-1整数规划的解法:
枚举法(穷举法),隐枚举法
1.枚举法就是对于各种可能情况的组合及结果一一列出。
对于有n个变量的0-1规划用
枚举法,需计算2n种组合情况下的目标值,并进行大小比较,选其最大值所对应的
方案作为最优解。
显然当n较大时,这种方法几乎是不可能的。
2.隐枚举法:
先试探一个解,根据此解,以目标函数方程及其取值作为增加的约束条
件一一称之为过滤约束条件。
当求解优于当前最优值的时候,则修改这一过滤条件的
右端常数项的取值。
注:
为方便分析,一般常重新排列决策变量的顺序使目标函数中的各决策变量的系数是递增
(不减)的。
时间:
第八周第二次
授课方式:
课堂教学
教学内容:
指派问题(匈牙利法)(§6-5)
解题步骤:
1)使目标系数矩阵的各行各列出现“0”元素(在系数矩阵位置填写的目标系数值所构成的矩阵)。
具体作法是以系数矩阵的每一行减去该行元素的最小值,然后再将无“0”的列减去该列元素的最小值。
2)最优解判别:
由有“0”元素最少的行开始,圈出一个“0”以◎表示,然后
戈U去同行同列的其它“0”元素,用$表示;或者按列检查,以“0”元素最
少的列开始,圈出一个“0”记号为◎,戈U去同行同列的其它“0”,记号为0。
若能圈出n个不同行不同列的“0”元素◎,即为所求最优解,否则进行下一
步。
3)作能覆盖所有“0”元素的最少数的直线集。
a)对没有◎的行打"号;
b)对打"号行上所有有“
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