教师公开招聘考试小学数学分类模拟14.docx
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教师公开招聘考试小学数学分类模拟14
教师公开招聘考试小学数学分类模拟14
一、(总题数:
0,分数:
0.00)
二、单项选择题(总题数:
22,分数:
44.00)
1.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:
y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=______.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D. √
解析:
如图所示,过A,B两点分别作AM,BN垂直于抛物线的准线.直线过定点(-2,0),抛物线的焦点为(2,0).由抛物线的性质可知,|FA|=|AM|,|FB|=|BN|,所以|AM|=2|BN|.设A点坐标为(xA,yA),B点坐标为(xB,yB),则yA=2yB,xA+2=2(xB+2),又因为联立解得xA=4,故
2.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=2x2+1只有一个交点,则双曲线的离心率为______.
A.
B.3
C.
D.
A.
B. √
C.
D.
解析:
双曲线的一条渐近线为可得方程组化简得
由双曲线渐近线和抛物线只有一个交点可得方程只有一个解,即即
则双曲线的离心率为
3.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为______.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D. √
解析:
由题意可知直线过点F(3,0)和(1,-1),由此可求得直线的斜率.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得x1+x2=2,y1+y2=-2,.将A,B点代入椭圆内可得,①—②可得,解得,又知c2=a2-b2=9,解得a2=18,b2=9.故椭圆的方程为.
4.设抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为______.
∙A.y2=4x或y2=8x
∙B.y2=2x或y2=8x
∙C.y2=4x或y2=16x
∙D.y2=2x或y2=16x
A.
B.
C. √
D.
解析:
设M点的坐标为(xM,yM).因为|MF|=5,抛物线的准线方程为,所以,推出.MF的中点N即圆的圆心坐标为,其到y轴的距离为,所以KN为圆的半径,即KN与y轴垂直.因为K点坐标为(0,2),所以yM=4,则,解得p=2或8.所以答案选C.
5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是______.
A.
B.
C.m<0
D.
A.
B.
C.
D. √
解析:
根据第四象限坐标的特点,横坐标为正,纵坐标为负,可得故选D.
6.如果点M在直线y=x-1上,则M点的坐标可以是______.
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,0) √
D.(1,-1)
解析:
各点分别代入直线y=x-1,C项适合.
7.过点(2,1)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为______.
A.x-2y+1=0
B.x-2y=0 √
C.2x-y-3=0
D.2x+y-5=0
解析:
因为所求直线与x-2y+3=0平行,所以可设直线方程为x-2y+C=0,又因为方程过点(2,1),将点代入方程x-2y+C=0,解得C=0.所以方程为x-2y=0.
8.已知△ABC的三个顶点A(2,1)、B(1,0)、C(2,-3),则△ABC的外接圆的方程为______.
∙A.(x+1)2+(y-3)2=1
∙B.(x+3)2+(y-1)2=5
∙C.(x-1)2+(y+3)2=1
∙D.(x-3)2+(y+1)2=5
A.
B.
C.
D. √
解析:
设⊙O:
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为⊙O是△ABC的外接圆,则A、B、C三点均在⊙O上,故代入可得解方程组得故△ABC的外接圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=5.
9.已知椭圆的中心点在原点,其左焦点(-2,0)到右准线的距离为,则椭圆方程为______.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C. √
D.
解析:
设椭圆的方程为其焦距为2c.由题意可得,c=2,解得a2=5,则b2=a2-c2=5-22=1,所以所求椭圆的方程为
10.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点______.
A.(1,2)
B.(-1,-2)
C.(2,-1)
D.(1,-2) √
解析:
设正比例函数的解析式为y=kx,代入已知点坐标(-1,2),得k=-2,则函数解析式为y=-2x,将题给选项代入,可知点(1,-2)符合,故选D.
11.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位,得到的抛物线是______.
∙A.y=-2(x+1)2
∙B.y=-2(x-1)2
∙C.y=-2x2+1
∙D.y=-2x2-1
A.
B.
C. √
D.
解析:
A项是向左平移,B项是向右平移,C项是向上平移,D项是向下平移,故选C.
12.在同一直角坐标系中,直线y=ax+b与抛物线y=bx2+x+a的位置关系不可能存在的是______.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D. √
解析:
由已知“同一直角坐标系上”可知直线与抛物线中字母系数的取值应一致.当a>0,b>0时,可知A项正确;当a>0,b<0时,可知B项正确;当a<0,b>0时,可知C项正确;当a<0,b<0,可知D项错误,抛物线与y轴的交点应在y轴负半轴上.故本题选D.
13.“函数f(x)在点x=x0处有极限”是“函数f(x)在点x0处连续”的______.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 √
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
根据函数连续的定义,由“函数f(x)在点x0处连续”可知“函数f(x)在点x=x0处有极限”,但若“函数f(x)在点x=x0处有极限”,函数f(x)在点x0处不一定连续,如f(x)=在x=0处有极限0,但f(x)在x=0处并不连续.因此“函数f(x)在点x=x0处有极限”是“函数f(x)在点x0处连续”的必要不充分条件.
14.=______.
A.0
B.1
C.
D.
A. √
B.
C.
D.
解析:
故本题选A.
15.=______.
A.0
B.
C.1
D.+∞
A.
B.
C.
D. √
解析:
16.=______.
A.-1B.0C.1C.2
A.
B. √
C.
D.
解析:
考生需注意审题,该题目与两个重要极限公式中的不同,不能直接套用公式.因为原式=,当x→∞时,,故是x→∞时的无穷小量;而|sinx|≤1,即sinx是有界函数.根据无穷小量的性质:
有界函数乘无穷小量仍是无穷小量,得.本题的结果考生可作为结论记住,有利于简化一些题目的解题过程.
17.已知函数,下列说法中正确的是______.
A.函数f(x)在x=1处连续且可导
B.函数f(x)在x=1处连续但不可导 √
C.函数f(x)在x=1处不连续但可导
D.函数f(x)在x=1处既不连续也不可导
解析:
因为,即=f
(1),故函数f(x)在x=1处是连续的;又因为,f"-(x)=(ex-1)"|x=1=ex-1|x=1=1,即f"-(x)≠f"+(x),故函数f(x)在x=1处是不可导的,所以本题选B.
18.设y=xx,则y"=______.
∙A.x2
∙B.xx
∙C.xx(lnx+1)2+xx-1
∙D.xx(lnx+1)2+x
A.
B.
C. √
D.
解析:
因为y"=(exlnx)"=xx(xlnx)"=xx(lnx+1),故y"=(xx)"(lnx+1)+xx(lnx+1)"=xx(lnx+1)2+xx-1.
19.设函数f(x)=x3-3x2,该函数的极大值为______.
A.-4
B.0 √
C.6
D.不存在
解析:
由已知可得,f"(x)=3x2-6x,f"(x)=6x-6.当f"(x)=0,得到函数的驻点为x1=0,x2=2.因为f"(0)=-6<0,f"
(2)=6>0,又f(0)=0,f
(2)=-4,所以当x=0时,函数取极大值为0;当x=2时,函数取极小值为-4.
20.已知曲线y=f(x)=cosx,下列关于该曲线的凹凸性的表述错误的是______.
A.曲线在内为凸的
B.曲线在内为凸的
C.曲线在内为凹的
D.曲线在内为凸的
A.
B. √
C.
D.
解析:
由已知可得,f"(x)=-sinx,f"(x)=-cosx.当x∈(0,2π)时,由f"(x)=-cosx=0得,.当时,f"(x)<0,则原函数是凸的;当时,f"(x)>0,则原函数是凹的;当时,f"(x)<0,则原函数是凸的.由此可知,B项的说法是错误的.故本题选B.
21.不定积分=______.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C. √
D.
解析:
22.计算曲线及直线y=2x,y=2所围成的平面图形的面积为______.
A.
B.
C.
D.
A.
B. √
C.
D.
解析:
由已知可作图得到所求平面图形如图阴影部分所示,根据图示,故有
三、填空题(总题数:
10,分数:
20.00)
23.已知直线l:
2x+y-2=0和直线l外两个点A(-1,1)、,直线l上存在一点C,使得C到A、B两点的距离和最小,则C的坐标为1.
解析:
[解析]以直线l为对称轴,作点A的对称点D(x1,y1),连接AD,交直线l于E,则可得AD垂直于直线l,即又因为E为AD的中点,则E的坐标为故2×将①②联立,解得再连接BD,交直线l于C,此点C即是所求点,则BD所在直线的方程为整理得32x-9y-25=0,其与直线l相交于C,则解则C的坐标为
24.直线x+y-1=0与圆(x-a)2+y2=4有公共点,则a的取值范围为1.
解析:
[解析]将y=1-x代入(x-a)2+y2=4中,整理得,2x2-2(a+1)x+a2-3=0,因直线与圆有公共点,则Δ=[-2(a+1)]2-4×2(a2-3)≥0,解得.
25.已知椭圆C:
的左焦点和右准线恰好是抛物线D的焦点和准线,则抛物线D的方程为1.
解析:
y2=-10x+25[解析]由已知可得,椭圆C的左焦点为(-2,0)右准线方程为x=3,又因为两者是抛物线D的焦点和准线,故抛物线D的顶点为,则可设抛物线D的方程为(p>0),所以p=3-(-2)=5,即,整理得y2=-10x+25.
26.已知圆O:
x2+y2+4y=0,l是过(,-1)的直线,则直线l与圆O的位置关系是1.
解析:
相交或相切[解析]由已知可得,点(,-1)在圆O上,直线l过圆O上的一点,则直线l与圆O的位置关系是相交或相切.此题判断较为简单,但考生容易忽略“相交”这一关系,题干中只提到了一个交点,大家就很容易理解为只有一个交点,认为两者是相切的关系,而忽略了还有相交的可能.
27.已知圆O1:
(x-a)2+(y-b)2=3与圆O2:
(x-b)2+(y-a)2=4,两圆相切,有且只有一条公共切线,则|O1O2|=1.
解析:
[解析]由已知可得,两圆的位置关系为内切,则两圆心之间的距离为两半径之差,即
28.设F1,F2是双曲线C:
(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为1.
解析:
[解析]如图所示,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,又因为|F1F2|=2c,故可知∠PF1F2为△PF1F2的最小内角,根据余弦定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos30°,即4a2=16a2+4c2-16accos30°,解得.故C的离心率
29.定义:
曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:
y=x2+a到直线l:
y=x的距离等于C2:
x2+(y+4)2=2到直线l:
y=x的距离,则实数a=1.
解析:
[解析]由已知得,C2为圆,圆心坐标为(0,-4),半径r为,圆心到直线y=x的距离d1=故⊙C2到直线l的距离对于曲线C1,其与直线l距离最短的点的导数应与直线l的斜率相同,即y"=2x=1,解得.则点到直线l的距离,解得.又因为曲线C1到直线l的距离,故曲线C1与直线l无交点,而当时,由图象可知,两者间有交点,故舍去时则无交点,故.
30.则f"(0)=1.
解析:
0[解析]当x≠0时,
当x=0时,
31.已知函数y=x3-4x+1,其拐点为1.
解析:
(0,1)[解析]由已知可得,y"=3x2-4,y"=6x.令y"=6x=0,则x=0,当x<0时,y"<0,函数是凸的;当x>0时,y">0,函数是凹的.即在x=0两侧,y"的符号相反,又y|x=0=1,故函数y=x3-4x+1的拐点是(0,1).
32.设,则
解析:
[解析]
四、解答题(总题数:
3,分数:
36.00)
33.已知椭圆的一个焦点为F,直线y=n交椭圆于A、B两点,当△FAB的周长最大时,求:
(1)n的值,
(2)S△FAB.
(分数:
12.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
设椭圆的另一个焦点为E,如图所示.
根据椭圆的定义可知,
△FAB的周长=AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-(AE+BE)=8+AB-(AE+BE)
而由两边之和大于第三边可知,AB≤AE+BE,且当E在AB上时,“=”成立.
(1)故当E在AB上,即n=±c=±1,△FAB的周长最大,为8.
(2)将y=n=1代入椭圆方程中,得,故|AB|=3,
又因为△FAB中边AB上的高h=c+|n|=1+1=2,则
.
已知抛物线y2=4x的焦点为F.(分数:
12.00)
(1).求证:
存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足.(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
由已知得,F的坐标为(1,0).
设过点P(a,0)的直线l与抛物线的交点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
另设直线l的方程为x=my+a(a>0),则由得,y2-4my-4a=0,
因为直线l与已知抛物线有两个交点,
故Δ=16m2-4×(-4a)=16(m2+a)>0,且
又因为
则要证=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0,
而则上式化为
将代入得,a2-6a+1<4m2,
又因为4m2≥0,故a2-6a+1<4m2若想对于一切m均成立,则a2-6a+1<0,
由于Δ=(-6)2-4=32>0,
故存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足.
(2).求a的取值范围.(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
由上一小题可知,当满足条件时,a2-6a+1<0,
故可得a的取值范围为.
已知曲线C上的动点P到x轴的距离比到点F(0,2)的距离小2.(分数:
12.00)
(1).求曲线C的方程;(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
由已知可知,曲线C上的动点P到直线x=-2的距离等于到点F(0,2)的距离,
故曲线C为抛物线,设抛物线C的方程为x2=2py,则,即p=4,
所以曲线C即抛物线C的方程为x2=8y.
(2).A(x1,y1)与B(x2,y2)均是曲线C上的点,另取一点Q(4,2),当QA与QB的斜率存在且倾斜角互补时,求直线AB的斜率.(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
因QA与QB的斜率存在且倾斜角互补,故有kQA=-kQB,
则
又因为A(x1,y1)与B(x2,y2)均是曲线C上的点,
则
所以,整理得x1+x2+8=0,
则
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