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信号与系统习题答案
信号由两个均为带限的信号和卷积而成,即
其中
现对作冲激串采样,以得到
请给出保证能从中恢复出来的采样周期T的范围。
解:
根据傅立叶变换性质,可得
因此,有
当时,
即的最高频率为,所以的奈奎施特率为,因此最大采样周期,所以当时能保证从中恢复出来。
如图(a)一采样系统,是实信号,且其频谱函数为,如图(b)。
频率选为,低通滤波器的截至频率为。
1.画出输出的频谱;
2.确定最大采样周期,以使得可以从恢复;
图(a)
图(b)
解:
1、经复指数调制后的,其傅立叶变换为
如图(a)所示。
图(a)图(b)
经低通滤波器的输出的频谱如图(b)所示。
2、由图(b)可见,的带宽为,所以最大采样周期为
设是一实值信号,并有,,现进行幅度调制以产生信号,图4-1给出一种解调方法,其中是输入,是输出,理想低通滤波器截止频率为,通带增益为2,试确定。
图4-1
解:
对进行傅立叶变换
因为
很明显,,所以通过截止频率为的理想低通滤波器后的输出。
解:
系统可以看作是由的并联构成
求上式反变换,有
考虑一LTI系统,其系统函数的零极点图如图所示。
1.指出与该零极点图有关的所有可能的收敛域ROC。
2.对于1中所标定的每个ROC,给出有关的系统是否是稳定和/或因果的。
图
解:
1.可能的收敛域ROC为:
(1)
(2)
(3)
(4)
2.
(1),不稳定和反因果的。
(2),不稳定和非因果的。
(3),稳定和非因果的。
(4),不稳定和因果的。
有一连续时间LTI系统,其输入和输出由下列微分方程所关联:
设和分别是和的拉普拉斯变换,是系统单位冲激响应的拉普拉斯变换。
1.求,画出的零极点图。
2.对下列每一种情况求:
(1)系统是稳定的。
(2)系统是因果的。
(3)系统既不稳定又不是因果的。
解:
1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换,得
所以得
其零—极点图如图(a)所示。
图(a)
2、
(1)当系统是稳定时,其收敛域为,所以有
(2)当系统是稳定时,其收敛域为,所以有
(3)当系统是非因果的和不稳定的时,其收敛域为,所以有
解:
(a)
(此为直接型Ⅱ结构,详见第二章课件分析)
由得
求上式Z反变换,得
(b)
系统有一个二阶极点,由于系统是因果的,所以收敛域为
,包括单位圆,故系统是稳定的
已知序列
a.求该序列的变换。
b.画出零极点图。
c.利用考虑极点向量和零点向量沿单位圆横穿一周时的特性,近似画出傅里叶变换的模特性。
解:
a、的变换为
,
b、由可知,在处有一6阶极点,
其零点为
,
其零—极点图如图(a)所示
图(a)
c、傅氏变换的幅值近似图如图(b)所示。
图(b)
(P583)有一个因果LTI系统,其差分方程为
1.求该系统的系统函数,画出的零极点图,指出收敛域。
2.求系统的单位脉冲响应。
3.判断该系统是不是稳定的如果是不稳定的,试求一个满足该差分方程的稳定(非因果)单位脉冲响应。
解:
1、1、对所给的差分方程两边进行z变换,得
所以得
,
其中,,
系统函数的零点为,极点为和
系统的零极点图如图(a)所示
图(a)
2、因为
所以
3、系统是不稳定的,因为系统的收敛域为,不包括单位圆。
若要使系统稳定,则收敛域应包括单位圆,即收敛域为
此时有
一个数字滤波器的结构如图所示
图
a.求这个因果滤波器的,画出零极点图,并指出收敛域。
b.当为何值时,该系统是稳定的。
c.如果且对所有的,,确定。
解:
a.由图
(1)得
图
(1)
所以
而
得
其零极点图和收敛域示意图如图
(2)所示。
(a)(b)
图
(2)
b.只有时,收敛域才包含单位圆,系统才能是稳定的。
c.由于是LTI系统的特征函数,所以输出
时,代入得
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