浙教版八年级数学上册同步练习期末复习一三角形的初步知识.docx
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浙教版八年级数学上册同步练习期末复习一三角形的初步知识
期末复习一三角形的初步知识
复习目标
要求
知识与方法
了解
三角形分类;定义、命题、基本事实、定理的意义;反例的作用.
理解
三角形中线、高线、角平分线的概念及画法;尺规作图;线段垂直平分线的性质;角平分线的性质.
运用
三角形边与边之间、内外角之间的关系;全等三角形的性质与判定.
必备知识与防范点
一、必备知识
1.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于____________.
2.三角形的内角和为____________,外角和为____________;三角形的外角等于____________的两个内角之和.
3.角平分线上的点到____________的距离相等;线段垂直平分线上的点到____________的距离相等.
4.两三角形全等的判定:
SSS,SAS,ASA,____________直角三角形特有的判定:
____________.
二、防范点
1.三角形外角注意“不相邻”;
2.全等注意“SAS”中,A为夹角;
3.尺规作图时注意三角形的角平分线、中线、高线均为线段;钝角三角形高线不要画错.
例题精析
知识点一三角形边、角之间的关系
例1
(1)下列各线段中,能组成三角形的是()
A.a=6.3,b=6.3,c=12.6
B.a=1,b=2,c=3
C.a=2.3,b=3,c=5
D.a=6,b=8,c=16
(2)在△ABC中,AB=3,BC=7,则AC的长x的取值范围是____________.
(3)三角形两边长为3cm,7cm,且第三边为奇数,则三角形的最大周长是____________.
(4)三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x的取值范围是____________.
(5)已知a,b,c是三角形的三边长,化简:
|a-b+c|-|a-b-c|=____________.
【反思】解题的关键是能正确运用三角形两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.
例2
(1)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为____________.
(2)将一副三角尺按如图所示的方式叠放(两条直角边重合),则∠α的度数是____________.
(3)如左下图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠A=37°,∠B的度数是____________.
(4)如右上图,D、E、F分别是△ABC三边延长线上的点,则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=____________度.
【反思】掌握三角形内角和等于180°,一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
知识点二三角形的角平分线、中线、高线的综合应用
例3
(1)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CH、CM分别是斜边AB上的高和中线,则下列结论正确的是()
A.CM=BCB.CB=
AB
C.∠ACM=30°D.CH·AB=AC·BC
(2)AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,若∠BAC=130°,∠C=30°,则∠DAE的度数是____________.
(3)已知AD是△ABC的中线,且△ABD比△ACD的周长大3cm,则AB与AC的差为____________.
(4)如图,△ABC中,点D在BC上且BD=2DC,点E是AC中点,已知△CDE面积为1,那么△ABC的面积为____________.
【反思】角平分线、中线、高线是三角形中重要的线段,计算过程中往往要用到它们的性质.角平分线可知两个角相等,角平分线上的点到角两边的距离相等;中线平分对边,也平分三角形的面积;高线往往可得角度为90°,并有时可用面积法解决问题.
知识点三定义与命题相关概念
例4
(1)下列语句不是命题的是()
A.对顶角相等B.连结AB,并延长至点C
C.内错角相等D.同角的余角相等
(2)将下列命题写成“如果……那么……”的形式.
①一个锐角的补角大于这个角的余角;
②异号两数相加得零.
(3)判断下列命题是真命题还是假命题.
①如果ab=0,那么a=0;②若a是有理数,则a2+1>0;③1是质数;④两条直线相交,只有一个交点;⑤同位角相等.
【反思】命题是由条件和结论两部分组成,判断是否是命题不是看语句是否正确,而是看语句是否有判断.说明一个命题是真命题要用证明的方法,而说明一个命题是假命题只要举一个反例即可.
知识点四三角形全等及全等的综合运用
例5在数学课上,林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B,F,C,E在同一直线上),并写出四个条件:
①AB=DE,②BF=EC,③∠B=∠E,④∠1=∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为已知条件,另一个作为结论,组成一个真命题,并给予证明.
已知条件:
____________.
结论:
____________(均填写序号).
证明:
【反思】证明三角形全等要用到SSS,SAS,ASA,AAS,HL这些方法,在运用这些方法证明的过程中要注意条件的合理性,不要乱用条件.
例6(重庆中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将
(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:
BE+CF=
AB;
(3)如图3,将
(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:
BE+CF=
(BE-CF).
【反思】从特殊到一般,第
(2)小题以第
(1)小题为启发,构造两三角形全等.旋转类题不变的是三角形全等.
例7如图,一次函数y=-
x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.
(1)求C点坐标;
(2)求过B、C两点直线的解析式;
(3)在坐标平面内求一点D,使△ABD与△ABC全等.直接写出所有点D的坐标;
(4)在y轴上求一点P,使△APB的面积与△ABC的面积相等.直接写出所有点P的坐标.
【反思】第(4)小题可以BP为底,OA为高,也可过C作CP∥AB,求出CP的解析式y=-
x+
,从而得P(0,
),再寻求另一点P(0,-
).
校对练习
1.若三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5,则这个三角形一定是____________三角形.
2.如图,直线l1∥l2,且分别与△ABC的两边AB、AC相交,若∠A=40°,∠1=45°,则∠2的度数为____________.
3.
(1)如图,∠MAB=30°,AB=2cm.点C在射线AM上,利用下图,画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题.你画图时,选取的BC的长约为____________cm(精确到0.1cm);
(2)∠MAB为锐角,AB=a,点C在射线AM上,点B到射线AM的距离为d,BC=x,若△ABC的形状、大小是唯一确定的,则x的取值范围是____________.
4.已知:
如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连结BD.
(1)求证:
△BAD≌△CAE;
(2)请判断BD、CE有何大小、位置关系,并证明.
5.在梯形ABCD中,AD∥BC,连结AC,且AC=BC,在对角线AC上取点E,使CE=AD,连结BE.
(1)求证:
△DAC≌△ECB;
(2)若CA平分∠BCD,且AD=3,求BE的长.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
7.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,在四边形ABCD中,E是BC的中点,AE是∠BAD的平分线,AB∥DC,求证:
AD=AB+DC.
小明发现以下两种方法:
方法1:
如图2,延长AE、DC交于点F;
方法2:
如图3,在AD上取一点G使AG=AB,连结EG、CG.
(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明:
AD=AB+DC;
用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:
(2)如图4,在四边形ABCD中,AE是∠BAD的平分线,E是BC的中点,∠BAD=60°,∠ABC=180°-
∠BCD,求证:
CD=CE.
参考答案
【必备知识与防范点】
1.第三边
2.180°360°与它不相邻
3.角两边线段两端
4.AASHL
【例题精析】
例1
(1)C
(2)4<x<10(3)19cm(4)1<x<6
(5)2a-2b
例2
(1)40°
(2)75°(3)23°(4)180
例3
(1)D
(2)5°(3)3cm(4)6
例4
(1)B
(2)①如果一个角是锐角,那么这个角的补角大于这个角的余角.
②如果两个数异号,那么这两个数相加得零.
(3)②④为真命题,①③⑤为假命题.
例5答案不唯一,如:
已知条件:
①,②,③
结论:
④
证明:
∵BF=CE,∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠1=∠2.
例6
(1)1;
(2)
(2)过D作DG⊥AB于G,DN⊥AC于N,易证:
∴△DEG≌△DFN,故EG=FN,∴BE+CF=BG+GE+CN-NF=2BG=BD=
AB;(3)过D作DG⊥AB于G,易证:
∴△DEG≌△DFN,故EG=FN,∴BE+CF=BG+GE+NF-CN=2EG,BE-CF=BG+GE-NF+CN=2BG,又∵DN=FN,∴EG=DG=
BG,即BE+CF=
(BE-CF).
例7
(1)C(5,3);
(2)y=
x+2;
(3)D(2,5)或D(-2,-1)或
D(1,-3);
(4)P(0,
)或(0,-
).
【校内练习】
1.直角
2.95°
3.
(1)1.2(答案不唯一)
(2)x=d或x≥a
4.
(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,∴∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下:
由
(1)知,△BAD≌△CAE,∴BD=CE;∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE,∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,则BD⊥CE.
5.
(1)∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ECB,在
△DAC和△ECB中,
∴△DAC≌△ECB(SAS);
(2)∵CA平分∠BCD,∴∠ECB=∠DCA,且由
(1)可知∠DAC=∠ECB,∴∠DAC=∠DCA,∴CD=DA=3,又∵由
(1)可得△DAC≌△ECB,∴BE=CD=3.
6.
(1)证△AED≌△FEC(AAS),∴FC=AD;
(2)证△ABE≌△FBE(SAS)得AB=BF=BC+CF=BC+AD.
7.
(1)方法1:
如图2,∵AB∥DF,∴∠B=∠ECF,∵BE
=EC,∠BEA=∠CEF,∴△ABE≌△FCE(ASA),∴AB=CF,∵EA平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF=∠F,∴AD=DF,∴AD=CD+AB.
方法2:
如图3,在AD上取一点G使AG=AB,连结EG、CG.∵AB=AG,∠BAE=∠GAE,AE=AE,∴△BAE≌△GAE(SAS),∴BE=EG=EC,∠AEB=∠AEG,∴∠EGC=∠ECG,∵∠BEG=∠EGC+∠ECG,∴∠BEA=∠ECG,∴AE∥CG,∴∠EAG=∠CGD,∵AB∥CD,AE∥CG,∴∠BAE=∠DCG,∴∠DCG=∠DGC,∴CD=DG,∴AD=AB+CD.
(2)证明:
如图4中,作CM∥AB交AE的延长线于M,CM交AD于N,连结EN.由
(1)可知:
AN=NM,AE=EM,∴EN平分∠ANM,∵∠BAD=60°,MN∥AB,∴∠MND=∠BAD=60°,∴∠ENM=∠ENA=60°,∴∠CND=∠CNE,∵∠B+∠ECN=180°,∠ABC=180°-
∠BCD,∴∠NCE=∠NCD,∵CN=CN,∴△CNE≌△CND(ASA),∴CE=CD.
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