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最大化利润模型
广告效应及利润最大化模型
摘要
如何使商品利润最大化关系着一个企业生死存亡。
而在此过程中,广告宣传和销售价格测定也是非常重要环节。
科学分析和预测广告费和售价至关重要。
广告费本文依次建立了售价及预期销售量一元线性回归模型、广告费及销售增长因子二阶回归模型和利润最大化模型。
首先,本文建立了售价及预期销售量一元线性回归模型。
对售价和预期销售量数据分析,发现两个具有一定线性相关关系。
运用MATLAB软件画图工具画出两者之间散点图,发现两者相关性极其强烈。
再运用MATLAB软件对两者数据进行一元线性回归分析,结果显示模型中两个重要参数估计值比较理想,模型拟合效果良好。
最后利用MATLAB软件中曲线拟合工具建立了售价及预期销售量一元线性回归模型。
但是本模型涉及到参数只有售价和预期销售量,并不能满足题目要求,准确预期到利润最大结果。
因此模型也不做预测。
其次,本文建立了广告费和销售增长因子二阶回归模型。
模型以广告费和销售增长因子作为参数。
在拥有数据基础上建立了两者间散点图,并模型就行预测为二阶回归模型。
对模型进行多项式拟合分析建立了二阶回归模型,但是为了验证该模型正确性,本文还建立了三阶回归模型。
经过比较发现二阶回归模型最优。
然而,本模型及第一模型存在同样问题。
模型涉及参数只有广告费和销售增长因子,并不能准确估计出最大利润。
再次,本文还建立了利润最大化模型。
在综合了模型一和模型二基础上,提出两个模型中重要因素,最后以售价和广告费为参数建立模型w=(%-2)*(-0.0004*ZA2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)一乙。
本模型利用MATLAB中最优化工具进行分析。
但是为了得到最优化问题最优初始解,本文对模型进行了二维差值运算。
接着,运用MATLAB中三维画图工具进行分析。
最后得出结论:
当售价在5.9113元和广告费在35.2075千元时,商家可以得到最大利润118.9437千元。
该模型模型优点是将比较实用,缺点是模型忽略了很多市场上复杂因素,比如销售地点,销售时间。
接着,本文对模型提出了改进成本优化问题和抵御风险优化问题。
其中将一系列可能影响到利润最大化因素和各种因素产生影响考虑进去。
使本模型预测更加准确。
最后,本文就得到结论对商家提出建议。
商家在增加售价时候要适当增加广告费,但要注意增加幅度。
因为广告费增加到一定程度后继续增加会使利润降低。
此外价格较低商品不宜设立广告。
关键词:
一元线性回归曲线拟合二阶回归模型利润最大化模型MATLAB软件
一、问题重述
广告宣传和销售价格测定是商家在市场竞争中非常重要环节,关系到企业生存问题。
因此科学分析和预测广告费和售价至关重要。
在此过程中本文以下面所诉问题进行分析,最终到一般结论:
某公司有一批以每桶2元购进彩漆,为了获得较高利润,希望以较高价格卖出,但价格越高,售出量就越少,二者之间关系由表一给出。
于是打算增加广告投入来促销。
而广告费及销售量关系可由销售增长因子来描述。
例如,投入3万元广告费,销售因子为1.85,意味着做广告后销售量将是未做广告销售量1.85倍。
根据经验,广告费及销售因子关系如表2,现请你作出决策:
投入多少广告费和售价为多少时所获得利润最大?
表1
售价
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
预期销售量
(千
桶)
41
38
34
32
29
28
25
22
20
表2
广告费(「
元)
0
10
20
30
40
50
60
70
销售增长因
子
1.00
1.40
1.70
1.85
1.95
2.00
1.95
1.80
二、模型假设
1.售价以元为单位、销售量以千桶为单位和广告费以千元为单位;
2.成本问题只考虑及进货价一参数相关;
3.市场对彩漆需求量是无限且连续,大于彩漆供给量;
4.消费者对彩漆需求只受到价格影响;
5.彩漆在短期内不会被代替;
6.忽视在生产销售过程中自然灾害和遇到后造成损失;改变
7.市场需求量相对稳定,产品质量突然不会突然出现问题。
三、参数和符号说明
为模型中系数
X为售价
y
为预期销售量
g
为销售增长因子
z
为广告费
w
为利润
[x,z]
为X及z分别取值
y(x)
为售价及预期销售量函数关系
g(z)
为广告费和销售增长因子函数关系
w(x,z)
为利润及售价和广告费函数关系
Q(a)
为抵御风险函数关系
C(s)
为改进成本函数关系
四、模型分析、建立及求解
(-)模型一(售价及预期销售量一次线性回归模型)分析、建立
1•模型一分析
该模型以售价和预期销售量为参数。
对拥有售价和预期销售量数据分
析,发现两个具有一定线性相关关系。
运用MATLAB软件画图工具画出两者之间散点图,发现两考相关性极其强烈。
然后可以考虑运用一元线性回归方法进行线性拟合,从而得出拟合方程。
2.模型一建立
售价及预期销售量数据如下表:
表1售价及预期销售量数据
售价
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4・50
5.00
5.50
6.00
预期销售量
(千
桶)
41
38
34
32
29
28
25
22
20
接着,MATLAB软件对数据进行分析,散点图如下:
图1价格及预期销售量散点图
价榕(M)
量(V)的散垃
45
40
35
30
25
3.5
4.5
5.56
2°22.5
从图中可以看出,随着售价增加预期销售量也会不断减少。
两者显然,
存在相关关系。
故建立一次线性模型y=a(0)*x+a(l)。
为了确定一次线性模型中参数a(0)和a(l),对数据进行曲线拟合。
最终得到模型中两个参数值4(0)=-5.1333,"⑴二50.4222□即价格及销售量一次线性模型为y=-5A333*a+50.4222
函数图像为:
图2模型一图像
图像显示,两者数据具有很强回归性。
故此省略,残差分析。
(二)模型二(广告费及销售增长因子一元二次回归模型)
广告费和销售增长因子数据如下表:
表2广告费及增长因子数据
广告费(千
元)
0
10
20
30
40
50
60
70
销售增长因
子
1.00
1.40
1.70
1.85
1.95
2.00
1.95
1.80
对数据进行分析,得到散点图如下图:
图3广告费及增长因子间散点图
严由费<X>与悄售增梧PF"〉冋尊散*田〉:
+
4-
1.9
十
-
1.8
1.7
4-
1.6
1a
1.4
1.3
1.2
1.1
C
10
333040
5060
70
Z
A-由散点图猜测模型为g=b(0)*"2+〃(l)*x+b⑵。
为了确定多项式中一元二次函数模型中b(0)、b(l)和b
(2)值,对模型函数进行多项式拟合分析。
利用MATLAB中polyfit()函数工具,得到结果b(0)=-0.0004、Z?
(l)=0.0409和b⑵=1.0188。
故,该猜测模型为
g=-0.0004*zA2+0.0409*z+1.0188o且该模型函数图像通过MATLAB工具显示如下:
模型曲线及数据建立起散点图拟合程度图形如下:
图5模型曲线及数据建立散点图拟合程度
B.为确定二阶模型是比较适合,特建立三阶回归模型进行比较g=c(0)*"3+c(l)*"2+c
(2)x+c(3)。
结果多项曲线拟合得到结果如下:
c(0)=0.0000、c(l)=-0.0004、c
(2)=0.0409和c(3)=1.0188o即模型为g=0*xA3-0.0004*xA2+0.0409.V+1.0188□发现模型及上模型一致。
证明了二阶回归模型优越性。
(三)模型三(利润最大化模型)
综合模型一和模型二中重要因素,得到利润最大化模型:
w=(x-2)*(-0.0004*存2+0.0409*z+1.0188)*(—5.1333*x+50.4222)一乙
该模型以x(售价)和z(广告费)为参数。
运用MATLAB软件最优化工具对模型进行分析求解。
但在求最优化解之前需要求出最优初始解。
于是该模型数据进行了二维差值分析。
(二维差值运算过程中相关数据间附录四)
(1)二维差值运算
A.当售价取一个范围x[2,6]范围时,用不同z(广告费)值代入二维差值运算过程中,得到数据和图像如下:
表3
(售价/元)
23.16013.51733.65553.73623.7823
Z(广告费/千
元)0102535506065
w(利润)019.078949.970872.280798.1579109.7661113.2749
图6利润在售价范围固定时不同广告费函数图形
结论:
售价范围固定下来后,以广告费为变量进行测试。
随着广告费取不同值而引起图像变化可以看出,无论广告费取何值,当利润最大时候,售价总是趋近于一个值(这里约取为3.7)o即售价在3.7元时候是比较合理,所以在利润最大化时候约定x(售价)初始值为3.7。
B.当取广告费z[0,70]范围时,不同x售价值代入二维差值运算过程中,得到结果,如下数据和图像:
表4
X(售价/元)
2
2.5
3.5
4
4.5
5
Z(广告费/千
元)
69.5968
70.0806
69.7581
69.9194
69.9194
69.2742
W(利润)
78.9474
78.7719
78.1287
116.4912
116.5789
97.1057
图7
结论:
广告费范围固定下来后,以售价为变量进行测试。
随着售价取不同值而引起图像变化可以看出,无论售价取何值,当利润最大时候,广告费总是趋近于一个值(这里约取为70)o即广告费在70千元时候是比较合理,所以在利润最大化时候约定z(广告费)初始值为70。
(2)模型三求解
运用MATLAB软件中最优化工具进行求解。
首先,自变量进行替。
在求解最优化过程中需要变量X。
故,如令x(l)=x,x
(2)=z.即如下式:
f(x)=(x(l)-2)
*(-0.0004*x
(2)「2+0.0409*x
(2)+1.0188)*(-5.1333*x
(1)+50.4222)-x(
2)
□其次,最优化过程初始值点设为[x,z]=[3.7,70L即[x(l),x
(2)l=[3.7,70]o最后,将求解变量中Display属性设置为'iter'。
最优化处理后得到最优值为[x,z]二[5.9113,35.2075]。
即是当售价在5.9113元和广告费在35.2075千元时,商家可以得到最大利润118.9437T•元。
该模型三维图形(过程如附录五)如下:
结论:
综合上述分析,可知:
当利润最大时,售价应该为5.9113元。
此时预期销售量为20078桶,由广告效应,实际销售量达到了约38000桶。
由模型二可知,销售增长因子随广告费先增加后减少。
而模型三可知,当利润最大时,广告费为35207.5元,此时销售因增长因子为1.9630o最终可以看到,当售价较少时候,利润随着广告费增加而减少;但是当售价较大时候,利润则会随着广告费增加而先增加后减少。
利润最大值为118.9437千元。
所以商家在增加售价时候要适当增加广告费,但要注意程度;此外价格较低时候可不要设立广告。
五、模型评价
(-)模型一评价
模型一是建立在售价和预期销售量两个参数基础上。
模型在一次回归后很好拟合了原有数据。
优点是比较实用,但是本模型涉及到参数只有售价和预期销售量,并不能满足题目要求,准确预期到利润最大结果。
因此,本模型是在为模型三做铺垫。
(二)模型二评价
模型二将广告费和销售增长因子作为参数。
经过分析后曲线拟合发现该模型最优形式。
即g=-0.0004*2A2+0.0409*z+1.0188o模型可以比较准确地分析广告费和销售增长因子关系。
并可以预测到广告费变动后,增长销售因子取值。
但是本模型及模型一样,参数只有广告费和销售增长因子,不能满足题目要求,不可以预测到彩漆最大利润取值时广告费和售价取值。
因此,该模型同样是在为模型三做铺垫。
(三)模型三评价
该模型综合了模型一和模型二中重要因素。
在根据题目要求、分析变量之间关系和建立了售价和广告费两者函数关系基础上,确定了模型:
w=(x-2)*(-0.0004*ZA2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x4-50.4222)一乙。
模型符合题目要求。
但是模型假设条件比较多,不适合在现实中做长期预算,这是本模型确定。
六、模型改进及推广
(1)优化成本问题
模型三中成本问题之考虑到了进价。
但是实际上成本远不止在进价上,故本文阐述产本优化成本问题。
在原來模型上添加函数C(s),即原来模型变成:
w=(%-2)*(-0.0004*Z八2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x4-50.4222)一乙一C(s)□其中,C(sl,s2……)函数中包含变量销售地点、销售时间、运费和人工费等。
由时间关系,这里不做详细说明
(2)抵御风险问题
模型三中并没有考虑到风险问题。
商品市场销售盈利及风险预测有很大相关。
在原来模型上增加函数Q(al,al……)。
其中函数变量包括,遇到白然灾害概率和遇到后造成损失、市场需求量突然改变和产品质量突然出
问题等。
在考虑一系列可能影响到利润因素和各种因素产生影响后将模型改进为
w=(X-2)*(-0.0004*ZA2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)—z_Q(a)□由时间原因这里不做详细说明。
七、参考文献
[1]苏金明、阮沈勇,MATLAB6.1实用指南(下册),北京:
电子工业出版社,2002年。
[2]姜启源、谢金星、叶俊,数学模型(第三版),北京:
高等教育出版社,2003年。
[3]马成文,市场调查及预测,北京:
中国物价出版社,2001年。
[4]薛定宇、陈阳泉,高等应用数学问题MATLAB求解北京:
清华大学出版社,2004年。
[5]张志勇、杨祖樱,MATLAB教程(R2006a—R2007a),北京:
北京航空航天大学出版社,2006年。
附录
附录一
价格及销售量散点图代码:
x二[2.02.53.03.54.04.55.05.56.0]
y二[413834322928252220];
z二[010203040506070];
g二[11.41.71.851.952.01.951.8]plot(x,y,'+')
附录二广告费及销售增长因子散点图MATLAB代码:
a二[010203040506070]
b二[1・01.471.851.952.01.951・8]
plot(a,bJ+')
多项式拟合代码:
p二polyfit(a,b,2)
xi=linspace(0,70,1000);
z=polyval(p,xi);
plot(xi,z)
附录三
二维差值数据:
X二[2・02.53.03.54.04.55.05.5]
Z二[010
203040
506070]
0
-10.0000
-20.0000
-30.0000
-40.0000
-50.0000
-60.0000
-70.0000
19.1478
16.0830
11.5146
5.4426
-2.1329
-11.2120
-21.7946
-33.8808
35.6807
38.6039
38.7254
36.0451
30.5629
22.2790
11.1933
-2.6941
49.5987
57.5629
61.6325
61.8073
58.0875
50.4730
38.9638
23.5599
60.9018
72.9599
80.2358
82.7294
80.4407
73.3698
61.5167
44.8814
69.5900
84.7949
94.5353
98.8112
[97.6227
90.9697
78.8522
61.2702
75.6633
93.0679
104.5311
110.0529
109.6334
103.2724
90.9702
72.7265
79.1217
97.7789
110.2231
116.4544
116.4727
110.2782
97.8707
79.2502
代码:
X二2
wl二(x-2)*(-0・0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=2・5w2=(x-2)*(-0.0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=3.0;w3=(x-2)*(-0.0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.422
2)~z
x=3.5;w4=(x-2)*(-0.0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.422
2)~z
x=4.0;w5=(x-2)*(-0.0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.422
2)-z
x二4.5;w6=(x-2)*(-0.0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.422
2)~z
x=5.0;w7=(x-2)*(-0.0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.422
2)~z
x=5.5;w8=(x-2)*(-0.0004*z."2+0.0409*z+l.0188)*(-5.1333*x+50.422
2)-z
a二[0-10-20-30
-40
-50-60
-70;
19.1478
16.0830
11.5146
5.4426
-2.1329
-11.2120
-21.7946
-33.8808;
35.6807
38.6039
38.7254
36.0451
30.5629
22.2790
11.1933
-2.6941;
49.5987
57.5629
61.6325
61.8073
58.0875
50.4730
38.9638
23.5599;
60.9018
72.9599
80.2358
82.7294
80.4407
73.3698
61.516744.8814;
69.5900
84.7949
94.5353
98.8112
97.6227
90.9697
78.8522
61.2702;
75.6633
93.0679
104.5311
110.0529
109.6334
103.2724
90.9702
72.7265;
79.1217
97.7789
110.2231
116.4544
116.4727
110.2782
97.870779.2502;]
附录四
过程代码:
f=inlineC-((x(l)-2)*(-0.0004*x
(2)."2+0.0409*x
(2)+l.0188)*(-5.1
333*x(l)+50.4222)-x
(2))','x')
x0=[3.7,70];ff二optimset;ff・Display二'iter';
x=fminsearch(f,xO,ff)
结果:
Iteration
Func-count
minf(x)
0
1
-32.6804
1
3
-40.4142
2
5
-56.1365
3
7
-76.3351
4
9
-103.395
5
11
-117.597
6
13
-117.597
Procedure
initialsimplex
expand
expand
expand
expand
contractoutside
7
15
-117.597
contract
inside
8
17
-117.597
contract
inside
9
19
-117.946
reflect
10
21
-118.783
reflect
11
23
-118.783
contract
outside
12
25
-118.888
reflect
13
27
-118.888
contract
inside
14
28
-118.888
reflect
15
30
-118.93
contract
inside
16
32
-118.93
contract
inside
17
34
-118.936
contract
inside
18
35
-118.936
reflect
19
37
-118.942
contract
inside
20
39
-118.942
contract
inside
21
41
-118.943
contract
inside
22
43
-118.943
re
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