高二数学寒假作业人教A版必修五立体几何中的向量方法word版含答案.docx
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高二数学寒假作业人教A版必修五立体几何中的向量方法word版含答案
高二数学寒假作业(人教A版必修五)
立体几何中的向量方法
1.平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=( )
A.2 B.-4 C.4 D.-2
解析:
∵α∥β,∴两平面法向量平行,
∴==,∴k=4.
答案:
C
2.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A.相关B.平行
C.在平面内D.平行或在平面内
解析:
∵=λ+μ,∴,,共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
答案:
D
3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)
4.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为( )
A.平行B.异面
C.垂直D.以上都不对
解析:
以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),
M(,2,0).
∴=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-),
=(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0),
∴·=(,1,-)·(-,2,0)=0,
即⊥,∴AM⊥PM.
答案:
C
5.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析:
=+=+,=+=+,∴∥,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥面DCC1D1,A1M∥面D1PQB1.①③④正确.
答案:
C
6.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:
以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,0,1),D1(0,0,2).
所以=(0,-1,1),=(0,-1,2).
所以cos〈,〉===.
答案:
C
7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为( )
A.aB.aC.aD.a
解析:
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),
∵点M在AC1上
且=,
(x-a,y,z)
=(-x,a-y,a-z)
∴x=a,y=,z=.
得M,
∴||=
=a.
答案:
A
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A.B.C.D.
解析:
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),
答案:
B
9.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.B.C.D.
解析:
如图所示:
S△ABC=×××sin60°=.
∴VABCA1B1C1=S△ABC·OP
=·OP=,∴OP=.
又OA=××=1,∴tan∠OAP==,
又0<∠OAP<,∴∠OAP=.
答案:
B
10.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为( )
A.B.aC.D.a
解析:
根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
∵PA=PB=PC,∴H为△ABC的外心.
又△ABC为等边三角形,
∴H为△ABC的重心,则H.
∴PH==a.
∴点P到平面ABC的距离为a.
答案:
B
11.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.
解析:
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设n=(x,y,z)为平面A1BC1的法向量.
则n·=0,n·=0,
即令z=2,则y=1,x=2,
于是n=(2,1,2),=(0,2,0)
设所求线面角为α,则sinα=|cos〈n,〉|=.
答案:
12.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是________.
解析:
以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,
则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),
则=(0,-1,1),=(2,0,2),
∴·=2,
∴cos〈,〉==,
∴EF和BC1所成的角为60°.
答案:
60°
13.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为________.
解析:
取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC=1,
则A,B(0,-,0),
D.
∴=,=,=.
设平面ABD的法向量为n=(x0,y0,z0),
则·n=0,且·n=0,
∴+z0=0且x0+=0,
解之得y0-z0,且y0=-x0,
取x0=1,得平面ABD的一个法向量n=(1,-,1),
由于=为平面BCD的一个法向量.
∴cos〈n,〉=,∴sin〈n,〉=.
答案:
14.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:
①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的序号是________.
15.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.
解析:
以C1为坐标原点建立如图所示的坐标系.
∵A1M=AN=,则M(a,,),N(,,a),
∴=.
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),
∴=(0,a,0),
∴·=0,∴⊥.
又是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,
∴MN∥平面BB1C1C.
答案:
MN∥平面BB1C1C
16.如图,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.
求证:
(1)PB∥平面EFH;
(2)PD⊥平面AHF.
证明:
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).
(1)∵=(2,0,-2),=(1,0,-1),
∴=2,∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,
∴PB∥平面EFH.
(2)=(0,2,-2),=(1,0,0),=(0,1,1),
∴·=0×0+2×1+(-2)×1=0,
·=0×1+2×0+(-2)×0=0,
∴PD⊥AF,PD⊥AH,
又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面AHF.
17.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
证明:
A1C⊥平面BB1D1D.
证明:
由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立空间直角坐标系,如图.
∵AB=AA1=,∴OA=OB=OA1=1,
∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).由=,易得B1(-1,1,1).
∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,1),
∴·=0,·=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,
∴A1C⊥平面BB1D1D.
18.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)证明:
AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
(1)证明:
易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所成直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).
从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).
因为AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0,
解得t=或t=-(舍去).
于是=(-,3,-3),=(,1,0).
因为·=-3+3+0=0,
∴⊥,则AC⊥B1D.
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