数值分析第五版课后习题答案.docx
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数值分析第五版课后习题答案
数值分析第五版课后习题答案
【篇一:
数值分析第五版答案(全)】
?
0,x的相对误差为?
,求lnx的误差。
e*x*?
x?
x*x*
1e*而lnx的误差为e?
lnx*?
?
lnx*?
lnx?
x**解:
近似值x*的相对误差为?
=er?
进而有?
(lnx*)?
?
2.设x的相对误差为2%,求xn的相对误差。
解:
设f(x)?
xn,则函数的条件数为cp?
|xf(x)|f(x)
又f(x)?
nxn?
1x?
nxn?
1
|?
n,?
cp?
|n
又?
r((x*)n)?
cp?
?
r(x*)
且er(x*)为2
?
?
r((x*)n)?
0.02n
3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指
*****出它们是几位有效数字:
x1?
7?
1.0.?
1.1021,x2?
0.031,x3?
385.6,x4?
56.430,x5
*解:
x1?
1.1021是五位有效数字;
*x2?
0.031是二位有效数字;
*x3?
385.6是四位有效数字;
*x4?
56.430是五位有效数字;
*x5?
7?
1.0.是二位有效数字。
********4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:
(1)x1,
(2)x1.?
x2?
x4x2x3,(3)x2/x4
****其中x1均为第3题所给的数。
x2,x3,x4
解:
1
2
1*?
(x2)?
?
10?
3
2
1*?
(x3)?
?
10?
12
1*?
(x4)?
?
10?
3
2
1*?
(x5)?
?
10?
1
2?
(x1*)?
?
10?
4
***
(1)?
(x1?
x2?
x4)
***?
?
(x1)?
?
(x2)?
?
(x4)
111?
4?
3?
3?
?
10?
?
10?
?
10222
?
1.05?
10?
3
***
(2)?
(x1x2x3)
*********?
x1x2?
(x3)?
x2x3?
(x1)?
x1x3?
(x2)
111?
?
0.031?
?
10?
1?
0.031?
385.6?
?
10?
4?
1.1021?
385.6?
?
10?
3
222
?
0.215
**(3)?
(x2/x4)
?
****x2?
(x4)?
x4?
(x2)
x*2
4
110.031?
?
10?
3?
56.430?
?
10?
3
?
56.430?
56.430
?
10?
5
4?
r335计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径r时允许的相对误差限是多少?
解:
球体体积为v?
则何种函数的条件数为rvr4?
r2cp?
?
?
3v?
r3
3
?
?
r(v*)?
cp?
r(r*)?
3?
r(r*)
又?
r(v*)?
1%1
故度量半径r时允许的相对误差限为
6.设y0?
28,按递推公式yn?
yn?
1?
?
?
?
?
?
?
?
=?
1%=311300(n=1,2,…)计算到y
10027.982(5位有效数字),试问计算y100将有多大误差?
解:
yn?
yn?
1
?
y100?
y99?
y99?
y98
y98?
y97?
……
y1?
y0
依次代入后,有y100?
y0?
100即y100?
y0
27.982,?
y100?
y0?
27.982
1*?
?
(y100)?
?
(y0)?
?
(27.982)?
?
10?
32
1?
y100的误差限为?
10?
3。
2
27.求方程x?
56x?
1?
0的两个根,使它至少具有4
?
27.982)。
2解:
x?
56x?
1?
0,
故方程的根应为x1,2?
28故
x1?
28?
28?
27.982?
55.982
?
x1具有5位有效数字
x2?
28?
?
?
11?
?
0.01786328?
27.98255.982
x2具有5位有效数字
8.当n充分大时,怎样求
解?
n?
1n1dx?
1?
x2?
n?
1
n1dx?
arctan(n?
1)?
arctann21?
x
设?
?
arctan(n?
1),?
?
arctann。
则tan?
?
n?
1,tan?
?
n.
1?
n1?
x2dx
?
?
?
?
n?
1
?
arctan(tan(?
?
?
))
tan?
?
tan?
?
arctan1?
tan?
tan?
n?
1?
n?
arctan1?
(n?
1)n
1?
arctan2n?
n?
1
9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?
解:
正方形的面积函数为a(x)?
x2
?
?
(a*)?
2a*?
(x*).
当x*?
100时,若?
(a*)?
1,则?
(x*)?
1?
10?
22
2故测量中边长误差限不超过0.005cm时,才能使其面积误差不超过1cm
10.设s?
12gt,假定g是准确的,而对t的测量有?
0.1秒的误差,证明当t增加时s的2
12gt,t?
02
2绝对误差增加,而相对误差却减少。
解:
s?
?
?
(s*)?
gt)?
(t*当t*增加时,s*的绝对误差增加
?
r(s*)?
?
(s*)
s*
gt2?
(t*)?
*2g(t)2
?
(t*)?
2*t
当t*增加时,?
(t*)保持不变,则s*的相对误差减少。
11.序列?
yn?
满足递推关系yn?
10yn?
1?
1(n=1,2,…),
若y0?
?
1.41(三位有效数字),计算到y10时误差有多大?
这个计算过程稳定吗?
解:
y0?
?
1.41
1?
10?
22?
?
(y0*)?
又yn?
10yn?
1?
1
?
y1?
10y0?
1
?
?
(y1*)?
10?
(y0*)
又y2?
10y1?
1
?
?
(y2*)?
10?
(y1*)
?
?
(y2*)?
102?
(y0*)
......
0?
?
(y10*)?
110?
y(0*)
?
10?
101?
1?
02
2
1?
?
108
2
计算到y10时误差为1?
108,这个计算过程不稳定。
2
12
.计算f?
1)6?
?
?
?
,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
3,
,
99?
(3?
【篇二:
数值分析第五版答案】
.设x的相对误差为2%,求x的相对误差。
解:
设f(x)?
xn,则函数的条件数为cp?
|
n
xf(x)
|f(x)
又
f(x)?
nx
n?
1
x?
nxn?
1
|?
n,?
cp?
|n
又
?
r((x*)n)?
cp?
?
r(x*)
且er(x*)为2%
?
?
r((x*)n)?
0.02n
5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径r时允许的相对误差限是多少?
解:
球体体积为v?
4
?
r33
则何种函数的条件数为
rvr4?
r2
cp?
?
?
3
v?
r33
?
?
r(v*)?
cp?
r(r*)?
3?
r(r*)
又
?
r(v*)?
1
1
?
1?
0.333
故度量半径r时允许的相对误差限为?
r(r*)?
2
7.求方程x?
56x?
1?
0的两个根,使它至少具有4?
27.982
)。
解:
x?
56x?
1?
0,
故方程的根应为x1,2?
28故x1?
28
?
28?
27.982?
55.982
2
?
x1具有5位有效数字
x2?
28?
?
?
11
?
?
0.017863
28?
27.98255.982
x2具有5位有效数字
9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm?
解:
正方形的面积函数为a(x)?
x2p7当x*?
100时,若?
(a*)?
1,则?
(x*)?
2
1
?
10?
22
2
故测量中边长误差限不超过0.005cm时,才能使其面积误差不超过1cm
第二章插值法p48
?
1,21.当x?
1
时,f(x)?
0,?
3,4,分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求f(x)
的二次插值多项式。
解:
x0?
1,x1?
?
1,x2?
2,
f(x0)?
0,f(x1)?
?
3,f(x2)?
4;l0(x)?
l1(x)?
l2(x)?
(x?
x1)(x?
x2)1
?
?
(x?
1)(x?
2)
(x0?
x1)(x0?
x2)2(x?
x0)(x?
x2)1
?
(x?
1)(x?
2)
(x1?
x0)(x1?
x2)6
(x?
x0)(x?
x1)1
?
(x?
1)(x?
1)
(x2?
x0)(x2?
x1)3
则二次拉格朗日插值多项式为
l2(x)?
?
yklk(x)
k?
0
2
?
?
3l0(x)?
4l2(x)
?
?
(x?
1)(x?
2)?
124
(x?
1)(x?
1)3
?
5237x?
x?
623
2.给出f(x)?
lnx的数值表
用线性插值及二次插值计算的近似值。
解:
由表格知,
x0?
0.4,x1?
0.5,x2?
0.6,x3?
0.7,x4?
0.8;f(x0)?
?
0.916291,f(x1)?
?
0.693147f(x
2)?
?
0.510826,f(x3)?
?
0.356675f(x4)?
?
0.223144
若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54),则0.5?
0.54?
0.6
l1(x)?
x?
x2
x?
?
10(x?
0.6)1?
x2
lx?
x1
2(x)?
x?
?
10(x?
0.5)
2?
x1
l1(x)?
f(x1)l1(x)?
f(x2)l2(x)
?
6.9314
x7?
(0.?
6)
5.x1?
0826(
?
l1(0.54)?
?
0.6202186?
?
0.620219
若采用二次插值法计算ln0.54时,
l(x?
x1)(x?
x2)
0(x)?
(xx?
50(x?
0.5)(x?
0.6)
0?
x1)(x0?
2)
l(x?
x0)(x?
x2)
1(x)?
(x?
?
100(x?
0.4)(x?
0.6)
1?
x0)(x1?
x2)l(x?
x0)(x?
x1)
2(x)?
(x?
xx?
50(x?
0.4)(x?
0.5)
20)(2?
x1)
l2(x)?
f(x0)l0(x)?
f(x1)l1(x)?
f(x2)l2(x)
?
?
50?
0.9162x91?
(x0.?
5)(?
0.6)x69.?
31x47?
(?
l2(0.54?
)?
0.61531?
9?
84
0.
6153204.设xj为互异节点,求证:
n
(1)
?
xk
l(xk
jj)?
x
(k?
0,1,n,)
j?
0n
(2)?
(x
j
?
x)klj(x)?
0(k?
0,1,n,)
j?
0
证明
(1)令f(x)?
xk
(k=n)
0.?
140)8(260.5?
60)x(0.?
0.54x)(?
0.5
若插值节点为xj,j?
0,1,
n,则函数f(x)的n次插值多项式为ln(x)?
?
xkjlj(x)。
n
插值余项为r(x)?
f(x)?
l(x)?
f(n?
1)(?
)
nn(n?
1)!
?
n?
1(x)
又
k?
n,
?
f(n?
1)(?
)?
0?
r
n(x)?
0
?
n
?
xkk
jlj(x)?
x(k?
0,1,n,)j?
0n
(2)?
(xj?
x)klj(x)
j?
0
nn
?
?
(?
cjikxj(?
x)k?
i)lj(x)
j?
0i?
0n
?
?
ci
k?
i
n
k
(?
x)(?
xijlj(x))
i?
0
j?
0
又0?
i?
n由上题结论可知
?
n
xkl(x)?
xi
jj
j?
0
n
?
原式?
?
ciik(?
x)k?
xi
i?
0
?
(x?
x)k
?
0
?
得证。
8.f(x)?
x7?
x4
?
3x?
1,求f?
?
20,21,
27?
?
及f?
?
20,21
28?
?
。
解:
f(x)?
x7?
x4?
3x?
1
若x2i
i?
i?
0,1,,8
则f?
x0,x,xf(n)(?
)
1,
n?
?
n!
?
f?
xf(7)(0,x1,
x?
)7!
7?
?
7!
?
7!
?
1
j?
0
p31
f?
x0,x1,
f(8)(?
),x8?
?
?
0
8!
14.求一个次数不高于3次的多项式p(x),使它满足…x-x2+x3
18.求f(x)?
x2在[a,b]上分段线性插值函数ih(x),并估计误差。
解:
在区间[a,b]上,x0?
a,xn?
b,hi?
xi?
1?
xi,i?
0,1,
n?
1,
h?
maxhi
0?
i?
n?
1
f(x)?
x
2
?
函数f(x)在小区间[xi,xi?
1]上分段线性插值函数为ih(x)?
?
x?
xi?
1x?
xi
f(xi)?
f(xi?
1)
xi?
xi?
1xi?
1?
xi
12
[xi(xi?
1?
x)?
xi?
12(x?
xi)]hi
误差为p29
1
maxf(x)?
ih(x)?
maxf?
?
(?
)hi2xi?
x?
xi?
18a?
?
?
b
f(x)?
x2
?
f?
(x)?
2x,f?
?
(x)?
2h2
?
maxf(x)?
ih(x)?
a?
x?
b4
第四章
数值积分与数值微分
p135
1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:
(1)?
f(x)dx?
a?
1f(?
h)?
a0f(0)?
a1f(h);
?
h
h
(2)?
2h
?
2h1
f(x)dx?
a?
1f(?
h)?
a0f(0)?
a1f(h);
(3)?
f(x)dx?
[f(?
1)?
2f(x1)?
3f(x2)]/3;
?
1h
(4)?
f(x)dx?
h[f(0)?
f(h)]/2?
ah2[f?
(0)?
f?
(h)];
解:
求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m的多
【篇三:
数值分析第五版习题答案】
x?
0,x的相对误差为?
,求lnx的误差。
[解]设x*?
0为x的近似值,则有相对误差为?
r*(x)?
?
,绝对误差为?
*(x)?
?
x*,从而lnx的误差为?
*(lnx)?
(lnx*)?
?
(x*)?
相对误差为?
(lnx)?
2、设x的相对误差为2%,求xn的相对误差。
[解]设x*为x的近似值,则有相对误差为?
r*(x)?
2%,绝对误差为?
*(x)?
2%x*,从而xn的误差为?
*(lnx)?
(xn)?
相对误差为?
(lnx)?
*
r1*?
x?
?
,x**r?
*(lnx)lnx*?
?
lnx*。
x?
x*?
(x)?
n(x)**n?
12%x?
2n%?
x**n,?
*(lnx)(x*)n?
2n%。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:
*****?
385.6,x4?
7?
1.0。
x1?
1.1021,x2?
0.031,x3?
56.430,x5
***?
385.6有4?
1.1021有5位有效数字;x2?
0.0031有2位有效数字;x3[解]x1
**?
7?
1.0有2位有效数字。
?
56.430有5位有效数字;x5位有效数字;x4
****,x2,x3,x44、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中x1均为第3题所给
的数。
***?
x2?
x4
(1)x1;
?
?
f?
*******?
e*(x1?
x2?
x4)?
?
?
?
(x)?
?
(x)?
?
(x)?
?
(x)k124?
?
x?
k?
1?
k?
[解];
111?
?
10?
4?
?
10?
3?
?
10?
3?
1.05?
10?
3
222n
***x2x3;
(2)x1*
*?
?
f***e*(x1x2x3)?
?
?
?
k?
1?
?
xkn?
**********?
(x)?
(xx)?
(x)?
(xx)?
(x)?
(xx)?
(x)k231132123?
?
[解]?
(0.031?
385.6)1?
10?
4?
(1.1021?
385.6)1?
10?
3?
(1.1021?
0.031)1?
10?
3;
222
?
0.59768?
10?
3?
212.48488?
10?
3?
0.01708255?
10?
3
?
213.09964255?
10?
3?
0.21309964255
**(3)x2。
/x4
?
?
f**e*(x2/x4)?
?
?
?
k?
1?
?
xkn*?
x21***?
?
(x)?
?
(x)?
?
(x)k24**2?
x4(x4)?
*
[解]?
110.031156.4611?
3?
3。
?
?
10?
3?
?
?
10?
?
?
102256.430222(56.430)(56.430)
56.4611?
3?
5?
?
?
10?
0.88654?
10(56.430)22
5、计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径r允许的相对误差是多少?
4?
*(?
(r*)3)4[解]由1%?
?
r*(?
(r*)3)?
可知,43?
(r*)3
3
?
444?
?
?
*(?
(r*)3)?
1%?
?
(r*)3?
?
?
(r*)3?
?
*(r*)?
4?
(r*)2?
?
*(r*),33?
3?
?
*(r*)111***?
1%?
?
从而?
(r)?
1%?
r,故?
r(r)?
。
*33003r**
6、设y0?
28,按递推公式yn?
yn?
1?
1783(n?
1,2,?
)计算到y100,若取100
783?
27.982(五位有效数字,)试问计算y100将有多大误差?
[解]令n表示yn的近似值,e*(yn)?
n?
yn,则e*(y0)?
0,并且由
n?
n?
1?
11?
783可知,?
27.982,yn?
yn?
1?
100100
1n?
yn?
n?
1?
yn?
1?
?
(27.982?
),即100
12从e*(yn)?
e*(yn?
1)?
?
(27.982?
783)?
e*(yn?
2)?
?
(27.982?
783)?
?
,100100
而e*(y100)?
e*(y0)?
(27.982?
783)?
783?
27.982,
而783?
27.982?
11?
10?
3,所以?
*(y100)?
?
10?
3。
22
7、求方程x2?
56x?
1?
0的两个根,使它至少具有四位有效数字(?
27.982)
[解]由x?
28?
783与783?
27.982(五位有效数字)可知,x1?
28?
783?
28?
27.982?
55.982(五位有效数字)。
而x2?
28?
783?
28?
27.982?
0.018,只有两位有效数字,不符合题意。
但是x2?
28?
?
1
28?
783
n?
1
n?
1?
1.7863?
10?
2。
55.9828、当n充分大时,怎样求?
[解]因为?
n?
1
n1dx?
1?
x21dx?
arctan(n?
1)?
arctann,当n充分大时为两个相近数相21?
x
减,设?
?
arctan(n?
1),?
?
arctann,则n?
1?
tan?
,n?
tan?
,从而tan(?
?
?
)?
tan?
?
tan?
(n?
1)?
n1,?
?
21?
tan?
tan?
1?
n(n?
1)n?
n?
1
因此?
n?
1n11。
dx?
?
?
?
?
arctan221?
xn?
n?
1
9、正方形的边长大约为100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?
[解]由?
*((l*)2)?
[(l*)2]?
?
*(l*)?
2l*?
*(l*)可知,若要求?
*((l*)2)?
1,则?
(l)?
**?
*((l*)2)
2l*?
111?
,即边长应满足l?
100?
。
2?
100200200
12gt,假定g是准确的,而对t的测量有?
0.1秒的误差,证明当t2
增加时s的绝对误差增加,而相对误差却减少。
10、设s?
[证明]因为?
*(s)?
(ds**)?
(t)?
gt*?
*(t)?
0.1gt*,dt
?
(s)?
*
r?
*(s)s*gt*?
*(t)2?
*(t)1?
?
?
,所以得证。
**1t5tg(t*)2
2
11、序列?
yn?
满足递推关系yn?
10yn?
1?
1(n?
1,2,?
),若y0?
2?
1.41(三位有效数字),计算到y10时误差有多大?
这个计算过程稳定吗?
?
?
y?
2[解]设n为yn的近似值,?
(yn)?
n?
yn,则由?
0与?
?
yn?
10yn?
1?
1*
?
0?
1.411可知,?
*(y0)?
?
10?
2,n?
yn?
10(n?
1?
yn?
1),即?
2?
n?
10n?
1?
1
?
*(yn)?
10?
*(yn?
1)?
10n?
*(y0),11从而?
*(y10)?
1010?
*(y0)?
1010?
?
10?
2?
?
108,因此计算过程不稳定。
22
12、计算f?
(2?
1)6,取2?
1.4,利用下列公式计算,哪一个得到的结果最好?
1
(2?
1)6,(3?
22)3,1(3?
22)3,99?
702。
[解]因为?
*(f)?
11,?
10?
1,所以对于1?
62(2?
1)
?
e*
(1)?
1e*(1.4)?
611?
1?
4?
?
10?
6.54?
10?
?
10?
2,有一位有效数字;722(1.4?
1)
对于2?
(3?
22)3,
11?
e*
(2)?
2e*(1.4)?
6(3?
2?
1.4)2?
?
10?
1?
0.12?
10?
1?
?
10?
1,没有有效数22
字;对于f3?
1
(3?
22)3,
611?
1?
3?
2?
?
10?
2.65?
10?
?
10,有一位有效数422(3?
2?
1.4)?
e*(3)?
3e*(1.4)?
字;11?
对于4?
99?
702,e*(4)?
4e*(1.4)?
70?
?
10?
1?
35?
10?
1?
?
101,没有22
有效数字。
13、f(x)?
ln(x?
x2?
1),求f(30)的值。
若开平方用六位函数表,问求对数时
误差有多大?
若改用另一等价公式ln(x?
x2?
1)?
?
ln(x?
x2?
1)计算,求对数时误差有多大?
[解]因为302?
1?
?
29.9833(六位有效数字),?
*(x)?
1?
10?
4,所以2e*
(1)?
(f1?
)*e*(x)?
?
?
1?
?
10?
4(30?
302?
1)2,111?
?
10?
4?
0.2994?
10?
2
30?
29.98332
1?
?
10?
4
x?
x2?
12。
1e*
(2)?
(f2?
)*e*(x)?
?
?
11?
?
10?
4?
0.8336?
10?
6
30?
29.98332
?
x1?
1010x2?
1010
14、试用消元法解方程组?
,假定只有三位数计算,问结果是否x?
x?
22?
1
可靠?
10101010?
2[解]精确解为x1?
10。
当使用三位数运算时,得到,x2?
1010?
110?
1
x1?
1,x2?
1,结果可靠。
15、已知三角形面积s?
1?
absinc,其中c为弧度,0?
c?
,且测量a,b,c22
?
s?
a?
b?
c?
?
?
。
sabc的误差分别为?
a,?
b,?
c,证明面积的误差?
s满足
n
[解]因为?
(s)?
?
k?
1?
f111?
(xk)?
bsinc?
a?
asinc?
b?
abcosc?
c,?
xk222
111bsinc?
a?
asinc?
b?
abcosc?
c?
s222?
1sabsinc所以。
2
?
?
c?
b?
c?
c?
b?
c?
?
?
?
?
cbtanccbc
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