热点04一次方程组与二元二次方程组解析版.docx
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热点04一次方程组与二元二次方程组解析版
热点04一次方程(组)与二元二次方程(组)
模块
考点
水平层级
一次方程(组)与二元二次方程(组)
一元一次方程的解法
Ⅲ
二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念
Ⅱ
二元一次方程组的解法、三元一次方程组的解法
Ⅲ
二元二次方程组的解法
Ⅲ
备注
理解性理解水平(记为Ⅱ)
探究性理解水平(记为Ⅲ)
【满分技巧】
一.方程与方程的解
1.用字母、、…等表示所要求的未知的数量,这些字母称为未知数,含有未知数的等式叫做方程.在方程中,所含的未知数又称为元.
2.为了求得未知数,在未知数和已知数之间建立一个等量关系式,就是列方程。
3.如果未知数所取的某个值能使方程的左右两边的值相等,那么这个未知数的值叫做方程的解.
二.一元一次方程
1.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.
2.等式性质1:
等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,所得结果仍是等式.
3.等式性质2:
等式的两边同时乘以同一个数或(除以一个不为0的数),所得结果仍是等式.
4.求方程解得过程叫做解方程.
5.解方程的一般步骤是:
1、去分母;2、去括号;3、移向;4、化成的形式;5、两边同时除以未知数的系数,得到方程的解.
三.一元一次方程的应用
1.列方程解应用题的一般步骤是:
1、设未知数(元);2、列方程;3、解方程;4、检验并作答.
四.二元一次方程
1.含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.
2.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程的解有无数个,二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集.
4.由几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组.
5.在二元一次方程组中,使每个方程都适合的解,叫做二元一次方程组的解.
6.通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程,这种解法叫做加减消元法.
7.如果方程组中含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次,这样的方程组叫做三元一次方程组.
五.整式方程和二元二次方程(组)
1.如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,那么这个方程叫做一元整式方程.
2.一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程就叫做一元次方程;其中次数大于2的方程统称一元高次方程,本章简称高次方程.
3.如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项,另一边是零,那么这样的方程就叫做二项方程.
4.对于二项方程,当为奇数时,方程有且只有一个实数根。
当为偶数时,如果,那么方程有两个实数根,且两个根互为相反数;如果,那么方程没有实数根.
5.整式方程和分式方程统称为有理方程.
6.有理方程和无理方程统称为初等代数方程,简称代数方程.
7.仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.
8.关于的二元二次方程的一般形式是:
(都是常数,且中至少有一个不是零;当为零时,与以及与分别不全为零).
9.方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.
10.列方程(组)解应用题的一般步骤是:
(1)审题;
(2)设元;(3)列方程(组);(4)解方程(组);(5)检验;(6)解释.
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30分钟)
一、单选题
1.(2020·上海大学附属学校九年级三模)在下列方程中,不是二元二次方程的有( )
A.;B.xy=3;C.;D..
【答案】D
【分析】根据二元二次方程的定义:
指含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2,这样的整式方程叫做二元二次方程,逐一判断即可.
【详解】A.是二元二次方程,故本选项不符合题意;
B.xy=3是二元二次方程,故本选项不符合题意;
C.是二元二次方程,故本选项不符合题意;
D.是分式方程,不是二元二次方程,故本选项符合题意.
故选D.
【点睛】此题考查的是二元二次方程的判断,掌握二元二次方程的定义是解决此题的关键.
2.(2019·上海宝山区·中考模拟)若关于x的一元一次方程x−m+2=0的解是负数,则m的取值范围是
A.m≥2B.m>2C.m<2D.m≤2
【答案】C
试题分析:
∵程x﹣m+2=0的解是负数,∴x=m﹣2<0,解得:
m<2,故选C.
考点:
解一元一次不等式;一元一次方程的解.
二、填空题
3.(2020·上海崇明区·九年级二模)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价,在某次电商购物节中,为促销该商品,按标价8折销售,售价为2240元,则这种商品的进价是______元.
【答案】2000,
【分析】设这种商品的进价是x元,根据提价之后打八折,售价为2240元,列方程解答即可.
【详解】设这种商品的进价是x元,
由题意得,(1+40%)x×0.8=2240,
解得:
x=2000,
故答案为2000.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题,弄清题意,熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.
4.(2020·上海静安区·九年级二模)运输两批救援物资:
第一批220吨,用4节火车皮和5辆货车正好装完;第二批158吨,用3节火车皮和2辆货车正好装完.如果每节火车皮的运载量相同,每辆货车的运载量相同,那么一节火车皮和一辆货车共装救援物资______吨.
【答案】54
【分析】设一节火车皮装救援物资x吨,一辆货车装救援物资y吨,由题意得等量关系:
4节火车皮运载量+5辆货车运载量=220吨,3节火车皮运载量+2辆货车运载量=158吨,根据等量关系列出方程组,再解即可.
【详解】解:
设一节火车皮装救援物资x吨,一辆货车装救援物资y吨,由题意得:
,解得:
,
则一节火车皮和一辆货车共装救援物资:
50+4=54(吨),
故答案为:
54.
【点睛】考查了二元一次方程组的应用,解题关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,设出未知数,列出方程组.
5.(2020·上海长宁区·九年级二模)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文是“今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?
大致意思是:
“现有几个人共同购买一个物品,每人出元,则多元;每人出元,则差元.问人数、物品的价格各是多少?
”如果设共有人,物品的价格为元,那么根据题意可列出方程组为_________.
【答案】
【分析】根据如果每人出8元,则多了3元;如果每人出元,则差4元,列出二元一次方程组即可.
【详解】解:
设共有x人,物品价格是y元,根据题意,
可得;故答案为:
.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,主要是找出对应量的关系列方程组.
6.(2020·上海松江区·九年级二模)如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍,我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”,那么该三角形的最小内角等于_____度.
【答案】22.5
【分析】按照题干给的定义设出一个最小角和另一个内角列方程求解即可.
【详解】设直角三角形的最小内角为x,另一个内角为y,
由题意得,,解得:
,
答:
该三角形的最小内角等于22.5°,
故答案为:
22.5.
【点睛】此题表面是考查对新定义的理解,其实是考查一元二次方程组的应用.
7.(2020·上海奉贤区·九年级二模)写出二元一次方程x+2y=3的正整数解___________.
【答案】
【分析】把y看做已知数求出x,即可确定出正整数解.
【详解】解:
方程x+2y=3,变形得:
x=-2y+3,
当y=1时,x=1,则方程的正整数解为,故答案为.
【点睛】此题考查了解二元一次方程,解题的关键是将y看做已知数求出x.
8.(2020·上海浦东新区·九年级三模)方程组的解是____.
【答案】,
【分析】首先把方程①变形为,然后利用代入法消去x,得到关于y的一元二次方程,解方程求出y,然后就可以求出x,从而求解.
【详解】解:
,
由①得③,
把③代入②式,整理得,
解得,.
把代入,得,
把代入,得.
故原方程组的解为,.
故答案为:
,.
【点睛】此题主要考查了二元二次方程组的解法,解答此类题目一般用代入法比较简单,先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程,把求得结果代入一个较简单的方程中即可.
9.(2020·上海普陀区·九年级二模)如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2=0化成两个一次方程,那么所得的两个一次方程分别是__.
【答案】x﹣2y=0或x+y=0
【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2=0进行因式分解可以变为(x﹣2y)(x+y)=0,即可解决问题.
【详解】∵x2﹣xy﹣2y2=0,
∴(x﹣2y)(x+y)=0,
∴x﹣2y=0或x+y=0.
故答案为:
x﹣2y=0或x+y=0.
【点睛】考查了二元二次方程降次的方法,正确进行因式分解是解题的关键.
10.(2020·上海松江区·九年级二模)方程组的解是_____.
【答案】或
【分析】原方程运用代入法求解即可.
【详解】方程组,
由①得,y=2﹣x③,
把③代入②得,x(2﹣x)=﹣3,
解得:
x1=3,x2=﹣1,
把x1=3,x2=﹣1分别代入③得,y1=﹣1,y2=3,
∴原方程组的解为:
或.
故答案为:
或.
【点睛】此题主要考查了解二元二次方程组,熟练掌握运算法则是解答此题的关键
三、解答题
11.(2020·上海大学附属学校九年级三模)解方程组:
【答案】
【分析】将第二个方程进行因式分解得到,然后令因式和因式分别为0即可求解.
【详解】解:
由题意可知:
对方程②进行因式分解得:
即或
∴原方程组化为或
解得或
故原方程组的解为:
或.
【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组,熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.
12.(2020·上海闵行区·九年级二模)解方程组:
【答案】
【详解】x2-2xy-3y2="0"
(x-y)2-4y2=0
又因:
x-y=2代入上式
4-4y2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则x=1、x=3
∴
13.(2020·上海宝山区·九年级二模)在抗击新冠状病毒战斗中,有152箱公共卫生防护用品要运到、两城镇,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批防护用品,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其中用大货车运往、两城镇的运费分别为每辆800元和900元,用小货车运往、两城镇的运费分别为每辆400元和600元.
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆?
(2)现安排其中10辆货车前往城镇,其余货车前往城镇,设前往城镇的大货车为辆,前往、两城镇总费用为元,试求出与的函数解析式.若运往城镇的防护用品不能少于100箱,请你写出符合要求的最少费用.
【答案】
(1)大货车用8辆,小货车用7辆;
(2)与的函数解析式为y=100x+9400;当运往城镇的防护用品不能少于100箱,最低费用为9900元.
【分析】
(1)设大货车用x辆,小货车用y辆,然后根据题意列出二元一次方程组并求解即可;
(2)设前往A城镇的大货车为x辆,则前往B城镇的大货车为(8-x)辆,前往A城镇的小货车为(10-x)辆,前往B城镇的小货车为[7-(10-x)]辆,然后根据题意即可确定y与x的函数关系式;再结合已知条件确定x的取值范围,求出总费用的最小值即可.
【详解】解:
(1)设大货车用x辆,小货车用y辆,根据题意得:
解得:
答:
大货车用8辆,小货车用7辆;
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