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DVD租赁优化方案
DVD租赁优化方案
西北工业大学王颖高德宏施恒
摘要
在线租赁是信息时代发展的必然趋势。
在租赁过程中,网络经营者主要关注的预测、购买和分配。
本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。
针对问题一,利用需求预测得到观看DVD的人数服从二项分布,并计算出多种可靠度下购买DVD的数量(见文中表2、表3).以会员的最大满意度为目标函数,建立一个整数规划模型,得到问题二的分配方案,并计算出前30位
会员的分配结果(见文中表4).在问题三中,我们考虑到60\%的会员由于两次租赁而导致可重复利用,因而,采用了两阶段购买的策略,在每个购买阶段都建立了双目标整数规划,从而得到的购买量比原来
网站拥有量小,并且会员的满意度达到99.38%(见文中表6、表7).文章最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
一、问题的重述
这是一个在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次,每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后,只需要将DVD寄回(邮费由网站承担),就可以继续下次租赁。
考虑以下问题:
1)网站正准备购买一些新的DVD,通过问卷调查1000个会员,得到了愿意观看这些DVD的人数(表1给出了其中5种DVD的数据)。
此外,历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD两次,而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员,对表1中的每种DVD来说,应该至少准备多少张,才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢?
2)题中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单,如何对这些DVD进行分配,才能使会员获得最大的满意度?
请具体列出前30位会员(即C0001~C0030)分别获得哪些DVD。
3)假设题中表2DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员,你如何决定每种DVD的购买量,以及如何对这些DVD进行分配,才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD,并且满意度最大?
4)作为网站的经营管理人员,在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究?
请明确提出问题,并尝试建立相应的数学模型进行解答。
二、模型假设及符号说明
1、基本假设
(1)以一个月为一个周期,考虑在一个周期内DVD的租赁情况;
(2)—个周期结束,所租赁出的DVD全部归还网站;
⑶会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度;
(4)会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回之后,才能进行第二次租赁;
(5)每个会员对同一种DVD只租赁一次;
(6)DVD在租赁过程中无损坏。
2、符号及说明
nj网站第j种DVD的购买量
Pj会员租赁第j种DVD的概率
j第i个会员是否租赁第j种DVD
Xj第i个会员是否租赁到第j种DVD
aj第i会员对第j种DVD的偏爱程度
bj第i个会员租赁到第j种DVD的满意度
yj网站是否为第i个会员购买第j种DVD
N网站会员数:
100000
三、问题的分析
问题一,要求网站提供的DVD能够满足他的会员至少有50嗨亡够在一个月内看到该DVD作为网站的经营者,希望购买到尽可能少的DVD。
根据历史数据,60%勺会员每月租赁两次,即一部分DVD有一定的流通周期,我们在考虑模型的时候先不考虑时间问题,将DVD全都看作是一月被租赁一次,然后根据流通周期以及它被租赁的概率,将所计算的结果按一定的比例减小。
问题二,这是一个优化分配问题。
根据各个会员对不同种DVD的偏爱程度,以及网站是否满足了他的要求,建立以满意度为目标函数,在DVD数量有限的情况下,对其进行合理的分配,使目标函数达到最大值。
我们综合考虑问题一和问题二,在此基础上分析问题三。
经营者要尽可能的减小成本,即每种DVD购买量尽可能的少的,同时,DVD的购买量要满足95%勺会员在一个月内能够看到自己想看的DVD要求会员的总体满意程度最大,也就是对确定数量的DVD进行优化分配。
此问题为一个双目标规划,即要求各种DVD数目最小的情况下,尽可能的使总体满意度最大。
四、模型的建立及求解:
1、问题一模型的建立及求解设随机变量
其中i=1,2,川,N.
匕表示第i个会员租赁第涨DVD
刁一〔0表示第i个会员不租赁第j张DVD
则随机变量j服从两点分布,即
(1)
P{ij=1}=Pj,P{j=0}二1-Pj
其中Pj的取值见表1.
表1会员租赁5种DVD的概率
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
第i张DVD
被租赁的概率
P1=0.2
P2=0.1
p3=0.05
p4=0.025
P5=0.01
N
设随机变量j二^ij,j=1,2^1,5,则j表示N个会员中租赁第j张DVD
i=1
的会员数,由于j(i=1,2jn,N)之间相互独立,因而j服从二项分布,即
同时可以得到:
E(j)二NPj,j=1,2,|||,5(3)
D(j)二NPj(1-Pj),j"2山,5(4)
由于租赁的人数是随机的,因而为了满足至少50%勺租赁会员看到DVD网
站应该准备的DVD的数量也是随机的,为此我们以它的数学期望为应该准备的DVD的数量,即:
1
E(50%j^-E(j^50,000Pj,j=1,2,川,5(5)
如果以E(50%j)为该种DVD的准备量,则我们可以得到满足至少50%勺人
看到该DVD的概率为:
P50%}-E(j)
Ij2jJ
1
p」50%3-E(50%・)三尹⑺)-E(50%qj)
-JD(50%3)一JD(50%S)'
1
|50%^-EPj)
=P*i~-0
Jd(50%*)
其中约等式是由DeMoivre-Laplace中心极限定理得到
为了提高满足至少50%勺人看到该片的可靠度,我们需要改变提供的数量
设可以保证至少
到t=2.33,即卩:
50%勺人看到该片的可靠度为99%即①(t)=99%,由此可以得
50%j-E(50%j)
Pju2.33=99%(7)
[JD(50%\)J
50%j 1l =50,000pj2.332,Npj(1-Pj)(8) 同时,由于60%勺会员每个月会租赁DVD两次,40%勺会员每个月会租赁DVD一次,所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还,这样就可以满足 其他会员的租赁要求,但是因为该张DVD是被会员在一个月内第一次租赁,还是被会员在第二次租赁的情况是随机的,所以我们假设上述这两种情况是等可能的,所以该张DVD可以被再次利用的期望值为: 11 60%0=30%(9 22 由此我们可以得出: 只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。 综上所述,我们以99%的可靠度满足至少50%的租赁会员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为: 70%汇〔50,000Pj+2.33X*N~Pj・(1-Pj)(10) 代入相关数据,我们可以得到为了保证至少50%的人一个月内看到该DVD 网站需要准备该DVD的张数(见表2)。 表2网站为了保证至少50%勺人一个月内看到该DVD需要准备的张数 0名称 可靠卜\张薮〜 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 50%" 7,000 3,500 1,750 875 350 70% 7,024 3,518 1,763 885 356 80% 7,038 3,529 1,771 890 360 99% 7,104 3,578 1,807 916 375 为了保证在三个月内使得95%勺会员看到其所想要租赁的DVD,只需要提供1 一个月内使得95%勺会员看到其想要租赁的DVD总量的丄,这是因为三个月内 3 DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。 因而以99%的可靠度使得三个月内95%的人看到该DVD,网站应准备的张数为: 1x70%x1。 0,000><95%p+2.33乂0.95J100,000pfl—Pj)1(11) 3■——■ 代入相关数据,我们可以得到为了保证至少95%勺人三个月内看到该DVD 网站需要准备该DVD的张数(见表3)。 表3网站为了保证至少95%勺人三个月内看到该DVD需要准备的张数 名称可靠度张数「 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 50% 4,434 2,217 1,109 555 222 70% 4,449 2,228 1,117 560 226 80% 4,458 2,235 1,122 564 228 99% 4,499 2,266 1,144 580 238 2、问题二模型的建立及求解: 其中Xi为一维行向量,表示对第i个会员的DVD分配情况。 其中aj表示第i个会员对第j张DVD勺偏爱程度。 Ai表示第i个会员对各类DVD 的偏爱程度。 由于aij的数字越大,表示偏爱程度越小,同时会员得到该DVD的满意度越 小,因而我们定义第i个会员对分配到第j张DVD的满意度为bj,即 1 aij—0 (14) I—aij 0, 则会员的满意度矩阵为 案X的满意度为: 100 XiBi='Xijbij jm 当第i个会员得到其偏爱程度为1、2和3的3张DVD时,他是最满意的,其 、1111满意度为1•-■-二一,由此可以得到第i个会员的标准化满意度为: 236 为了使会员总体满意度达到最大,得到目标函数: 在分配的过程中,每种DVD分配给会员的总数不超过网站准备的总数,即: (19) 1000 'Xj iA 在一次分配中,每个会员获得3张DVD如果不够3张就视为分给该会员0 张DVD即: 100 0兰送X兰3,i=1,2,川,1000(20) jm 综上得到该问题的数学模型为: 1000 stZXjSj,j=1,2,川,100 iA 100 0「Xj乞3,i=1,2,川,1000 jm (21) Xj取0或1,i=1,2,)|(,1000,j=1,2,川,100 根据上述模型,使用Lingo软件进行求解,结果如下: 目标函数的最大值为89.13%; 没有得到DVD人数为0; 得到1张DVD人数为6; 得到2张DVD人数为54; 得到3张DVD人数为940; 比率分别为0%,0.6%,5.4%,94%。 表4前30位会员获得DVD的情况 ■名称客户、、分配 用户获得的 第1张DVD (该张偏爱度) 用户获得的 第2张DVD (该张偏爱度) 用户获得的 第3张DVD (该张偏爱度) C0001 D008 (1) D041(7) D098(3) C0002 D006 (1) D044 (2) D062(4) C0003 D032(4) D050 (2) D080 (1) C0004 D007 (1) D018 (2) D041(3) C0005 D011(3) D066 (1) D068 (2) C0006 D019 (1) D053 (2) D066(4) C0007 D008 (2) D026(3) D081 (1) C0008 D031(4) D035(5) C0009 D053 (1) D078(3) D100 (2) C0010 D055 (2) D060 (1) D085(3) C0011 D059 (1) D063 (2) D066(4) C0012 D002 (2) D031 (1) D041(7) C0013 D021(3) D078 (2) D096 (1) C0014 D023 (2) D052 (1) D029(6) C0015 D013 (1) D066(9) D085(3) C0016 D055(9) D084 (1) D097 (2) C0017 D047 (2) D051(3) D067 (1) C0018 D044 (1) D060 (2) D078(3) C0019 D066(4) D084 (1) D086 (2) C0020 D045 (1) D061(3) D089 (2) C0021 D045 (2) D050(5) D053 (1) C0022 D038(3) D055 (2) D057 (1) C0023 D029 (2) D081(3) D095 (1) C0024 D037(4) D041 (2) D076 (1) C0025 D009 (1) D069 (2) D081(4) C0026 D022 (1) D068 (2) D095(3) C0027 D050(4) D058 (1) D078(7) C0028 D008 (1) D034 (2) C0029 D026(4) D030 (2) D055 (1) C0030 D037 (2) D062 (1) D098(5) 经计算,前30位会员的标准满意度为92.0%,获得3张DVD的比率为93.3%,也就是93.3%的会员能够得到他想看的DVD。 3、问题三模型的建立以及求解: 为了利用题目中表2给出的数据,给出一种合理的购买方案,我们分两次完成购买方案。 第一阶段购买方案: 人[1,表示针对第i个会员购买第j张DVD 令V・.=< J0,表示不为第i个会员购买第j张DVD 记Y=(yi,i,Yi,i^ly,ioo),它表示针对第i个会员的需求所选取的购买方案,得到购买方案矩阵 - 'y1,1 y1,2 III y1,100 「Y1 Y= y2,1 y2,2 III y2,100 % ■r ■r + V * ■ a i ■ = ■r * Y1000,1 Y1000,2 III y1000,100 [ Y1000 因为有60%勺会员每月会租赁DVD两次,而另外40%勺会员每月只租赁一次,因此我们假设一个月会有两次订单,其中题目所给出的表2作为第一次订单,首先利用表2的数据给出第一阶段购买方案。 在购买中,保证95%勺会员得到他想看的DVD,即95%勺会员得到他订单中的3张,同时要使他们的满意度最大网站希望购买的DVD张数越少越好,基于上述要求,给出如下模型: 1000100 min二二yij j4 1000100 二二yjbj i4j4 •100 0辽yij兰3,i=1,2,川,1000 jA 100 Zy芒1,i=1,2,111,1000 j4 100 st握yH2,i=1,2,川,1000(23) j二 1000100 送送yij兰1000汇95%汉3 i吕j=1 yij取0或1,i=1,2,川,1000,j=1,2,川,100 i 由上述目标函数及约束条件可以看到,这个整数规划有多个解,这些解是从1000个人中任取950人,对于950人中的每一个人选取其偏爱程度分别为1,2,3的三张DVD。 最后统计一下每张DVD被950人选为偏爱程度为1,2,3的总数,则可得到该张DVD购买的数目。 第二阶段购买方案: 网站为了满足95%勺人的需求,根据60%勺人本月内的第二次租赁订单,进行第二次购买。 题中没有给出60%勺人第二次租赁的订单,我们将利用题目中的表2,随机选取600(100060%)位会员的在线订单,作为第二次租赁订单。 为了便于数学符号上的处理,不失一般性,我们不妨选择1000会员中的前600 个会员的订单作为第二次订单。 因为这600个会员在第一阶段购买方案中已经满足了他们偏爱程度编号为1,2,3的DVD的需求,所以在第二次订单中他们偏爱程度编号为1,2,3的DVD的需求应记为0(否则,因为目标函数是满意度最大,所以最后得出的还是偏爱程度编号为1,2,3的DVD的需求),则第二 次订单中各会员相应的满意度为dj, dj Ibij,yij-0 0,yij1 其中i=1,2,H|,600,j=1,2,川,100,也就是说,如果第i个会员在第一次分配到第j张DVD寸,则在第二次分配中,第i个会员对第j张DVD的满意度为0 设乙=(Zi,1,Zi,2,IH,Zj,100)表示根据第二次租赁订单第i个人的需求网站采购 DVD碟片的方案。 则第二次购买DVD碟片方案矩阵为: 在第二次分配中,当第i个会员得到其偏爱程度为4、5和6的3张DVD寸, 、11137 他是最满意的,其满意度为—,由此可以得到第i个会员的标准45660 化满意度为: 60100 ■6^xZjjdij,i=1,2」11,600 37j吕 为了使所有的会员获得比较大的满意度,只要使他们的满意度和达到最大,由此可以得到目标函数为: 网站在第二次确定购买方案时,一方面需要考虑第一步采购时所有的相关问题,同时还需要考虑第一次租赁后还回来的DVD的再次利用,因而可以得到如 下模型: 600100 min二二zij i=1j珀 1600100maxzijdij 370匚…jj 100 s.t0兰送可兰3i,=1,12,,600 jm 100 '、zj-1,^1,2^1,600 jw 100 、Zij=2,i=12111,600 j」 600100 送送ZjK600汉95%汉3 i4j Zj=0或1,i=12^,600,j“2,11,100(28) 此模型的解法类似于第一阶段购买方案模型的解法。 综上所述两步,则可以得到网站购买DVD数量的方案为: "1000/600600\600600 Zy+QZij—送yijinZij兰瓦yij 7lidiA丿77 (29) w: -一--- j1000600600 ''yij,、Zij: : : '•yij iJimi吕 其中j=1,2川|,100,wj表示网站购买第j张DVD的数量 在前面按照百分比(95%及60%)选取会员时,为了便于数学上的处理,我们选取了1000人中的前950人以及前600人这种处理方法过于简单,但由于这种选取方法的多样性,在数学记号以及计算上都会产生较大的复杂性。 因而为了避免这种复杂性以及前面处理方法的简单性,以下我们将用数学期望的办法解决购买方案问题。 设aj为1000名会员中第j张DVD偏爱程度为1,2和3的总人数,其中 a j=1,2,Hl,100,则一L为会员租赁第j张DVD偏爱度为1,2和3的频率(概 1000 率的近似值)。 因而950人租赁第j张DVD偏爱度为1,2和3人数的均值为: aj 950jaj95%,j-1,2jl|100(30) 1000 用类似的方法,我们也可以得到600人中选取第j张DVD偏爱程度为4,5或6人数的均值。 同时计算这600人中选取第j张DVD偏爱程度为1,2或3人数的均值,这个均值表示第j张DVD可以被重复利用,因而在购买时可以从第j张 DVD偏爱程度为4,5或6人数的均值中减去这些可以再次利用的数量。 这样按 照均值的方法,购买DVD的方案见表5(在均值情况下的购买总量为2996张)。 表5均值方法得到的购买方案 DVD DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 DVD6 DVD7 DVD8 DVD9 DVD10 购买量 26 34 30 36 26 31 29 31 33 29 DVD DVD11 DVD12 DVD13 DVD14 DVD15 DVD16 DVD17 DVD18 DVD19 DVD20 购买量 29 29 27 29 26 35 33 29 30 35 DVD DVD21 DVD22 DVD23 DVD24 DVD25 DVD26 DVD27 DVD28 DVD29 DVD30 购买量 32 29 33 27 27 29 28 24 25 38 DVD DVD31 DVD32 DVD33 DVD34 DVD35 DVD36 DVD37 DVD38 DVD39 DVD40 购买量 33 33 29 29 34 32 26 30 28 27 DVD DVD41 DVD42 DVD43 DVD44 DVD45 DVD46 DVD47 DVD48 DVD49 DVD50 购买量 48 35 30 33 38 27 29 27 29 32 DVD DVD51 DVD52 DVD53 DVD54 DVD55 DVD56 DVD57 DVD58 DVD59 DVD60 购买量 38 26 29 26 29 33 28 27 31 32 DVD DVD61 DVD62 DVD63 DVD64 DVD65 DVD66 DVD67 DVD68 DVD69 DVD70 购买量 27 32 30 35 31 36 31 33 32 31 DVD DVD71 DVD72 DVD73 DVD74 DVD75 DVD76 DVD77 DVD78 DVD79 DVD80 购买量 34 32 23 29 27 24 26 30 29 29 DVD DVD81 DVD82 DVD83 DVD84 DVD85 DVD86 DVD87 DVD88 DVD8
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