11群和编码离散数学讲义海南大学共十一讲.docx
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11群和编码离散数学讲义海南大学共十一讲
11.群和编码Groupandcoding
§11.1二进编码和查错
codingofbinaryinformationanderrordetection
Alphabet字母集。
B={0,1}.
message从有限alphabet中选取有限多个符号组成的一个序列。
wordm个0和1组成的一个序列。
B=Z2,
+
0
1
0
0
1
1
1
0
Bm=B×B×……×B(m个)。
Bm的加法:
(x1,x2,…,xm)(y1,y2,…,ym)
=(x1+y1,x2+y2,…,xm+ym)
Bm中共有2m个元素,Bm的阶是2m。
=(0,0,……,0).
由于disterbance(noise)x≠xt。
用编码方法查错、纠错。
取n>m,一一对应e:
Bm→Bn,
称e是(m,n)编码函数。
b∈Bm,e(b)∈Bn叫做b的码词Codeword
e(b)比b多几位0,1用来查错和纠错。
将要发出的wordb编码得到x=e(b),发送后接收到xt,如果没有干扰,x=xt,b=e-1(xt).
如果有干扰,x和xt有≤k位出错,即有1位到k位错误。
x的权(weight):
x含有1的个数,记做|x|.
奇偶校验码paritycheckcode:
如果b=b1b2…bm,
令e(b)=b1b2…bmbm+1,
bm+1=0,if|b|是偶数,
bm+1=1,if|b|是奇数。
bm+1=0,当且仅当b含有偶数个1。
m=3
e(000)=0000
e(001)=0011
e(010)=0101
e(011)=0110
e(100)=1001
e(101)=1010
e(110)=1100
e(111)=1111
对任意b,e(b)的权总是偶数。
设b=111,x=e(b)=1111.
如果接收到有一位错xt=1101,
xt的权是奇数,发现有错。
xt的权是偶数,无法判断有错。
例3.(m,3m)编码函数:
e:
Bm→B3m,
b=b1b2…bm,
e(b)=b1b2…bmb1b2…bmb1b2…bm.
e(000)=000000000
e(001)=001001001
e(010)=010010010
e(011)=011011011
e(100)=100100100
e(101)=101101101
e(110)=110110110
e(111)=111111111
可以发现一位或两位错误。
海明距离δ(x,y):
Hammingdistance
设x,y∈Bm,δ(x,y)=|xy|
δ(x,y)等于x,y中对应不相等的位置的个数。
例4.求海明距离
x=110110,y=000101
x=001100,y=010110
解.(a)δ(x,y)=4.
(b)δ(x,y)=3.
定理1.设x,y,z∈Bm,则
δ(x,y)=δ(y,x).
δ(x,y)≥0.
δ(x,y)=0iffx=y.
δ(x,y)≤δ(x,z)+δ(z,y)
证明.
(d)|ab|≤|a|+|b|.
δ(x,y)=|x
y|=|xzzy|
≤|xz|+|zy|=δ(x,y)+δ(x,y)
一个编码函数e:
Bm→Bn的最小距离minimundistance:
min{δ(e(x),e(y))|x,y∈Bm}.
例5.e(00)=00000
e(01)=01110
e(10)=00111
e(11)=11111
min{δ(e(x),e(y))}=2.
定理2.一个(m,n)编码e:
Bm→Bn能查出至多k位错误当且仅当最小海明距离≥k+1。
证明.设最小海明距离≥k+1。
发出x=e(b),收到xt,x≠xt,
δ(x,xt)≤k,则xt不是一个编码,查出错误。
反之.设最小海明距离=r≤k。
δ(x,xt)=r,xt可能是另一个编码无法判断错误。
例6.
e(000)=000000000
e(001)=001001001
e(010)=010010010
e(011)=011011011
e(100)=100100100
e(101)=101101101
e(110)=110110110
e(111)=111111111
能查几位错?
群编码Groupcodes
一个编码函数e:
Bm→Bn叫做群编码,如果Ran(e)=e(Bm)={e(b)|b∈Bm}
是Bn的一个子群。
例7.
(1)e(000)=000000000
e(001)=001001001
e(010)=010010010
e(011)=011011011
e(100)=100100100
e(101)=101101101
e(110)=110110110
e(111)=111111111
是群编码。
(2)
e(000)=000000
e(001)=001100
e(010)=010011
e(011)=011111
e(100)=100101
e(101)=101001
e(110)=110110
e(111)=111010
也是群编码。
定理3.设e:
Bm→Bn是一个群编码,则e的最小海明距离等于非零元的最小权。
证明.设δ是e的最小海明距离,η是非零元的最小权。
δ=δ(x,y),η=|z|.δ(x,y)=|xy|≥η。
η=|z|=|z0|=δ(z,0)≥δ。
因此δ=η。
例8.例7
(1)δ=3.
(2)δ=2.
例9.布尔矩阵的加法和乘法:
定理4.布尔矩阵的乘法对加法满足分配律:
设D,E是m×p布尔矩阵,F是p×n布尔矩阵,则(DE)*F=(D*F)(E*F).
定理5.设非负整数m fH: Bn→Br,fH(x)=x*H.则fH是群Bn到Br内的同态映射。 证明.任意x,y∈Bn, fH(xy)=(xy)*H=(x*H)(y*H) =fH(x)fH(y). 推论1.N={x∈Bn|x*H= }是Bn的正规子群。 令m r=n-m行 令eH: Bm→Bn eH(b1b2…bm)=b1b2…bmx1x2…xr, x1=b1h11+b2h21+…+bmhm1, x2=b1h12+b2h22+…+bmhm2, xr=b1h1r+b2h2r+…+bmhmr, 定理6.令x=y1y2…ymx1…xr,则x*H= 当且仅当存在b∈Bm,x=eH(b). 证明.设x*H= y1h11+y2h21+…+ymhm1+x1=0 y1h12+y2h22+…+ymhm2+x2=0 y1h1r+y2h2r+…+ymhmr+xr=0 两边同加xi, y1h11+y2h21+…+ymhm1+x1+x1=0+x1 y1h11+y2h21+…+ymhm1=x1 y1h12+y2h22+…+ymhm2=x2 y1h1r+y2h2r+…+ymhmr=xr x=eH(y). 设存在b∈Bm,x=eH(b). x1=b1h11+b2h21+…+bmhm1, x2=b1h12+b2h22+…+bmhm2, xr=b1h1r+b2h2r+…+bmhmr, b1h11+b2h21+…+bmhm1+x1=0 b1h12+b2h22+…+bmhm2+x2=0, b1h1r+b2h2r+…+bmhmr+xr=0 即x*H= . 推论2.eH(Bm)={eH(b)|b∈Bm}是Bn的子群。 eH是群编码。 证明.eH(Bm)=ker(fH). 例11.m=2,n=5,给出群编码 eH: B2→B5, 解.eH(00)=00x1x2x3, x1=x2=x3=0,eH(00)=00000. eH(01)=01x1x2x3, x1=0,x2=1,x1=1, eH(01)=01011 eH(10)=10110, eH(11)=11101. δ=3.可查2位。 §11.2解码和纠错Decodinganderrorcorrection 例1 设奇偶编码e: Bm→Bm+1, 令d: Bm+1→Bm是解码函数, 任意y=y1y2…ymym+1, d(y)=y1y2…ym. d(e(b)=b. d◦e=1Bm. d可以解码,不能纠错。 设编码e: Bm→Bn, 令d: Bn→Bm是e的解码函数, 如果传送x=e(b),接收xt,至多k位错,d(xt)=b,就称d为e的k位纠错解码,也称(e,d)k位纠错。 例2 (m,3m)编码,定义解码函数d: B3m→Bm,对 y=y1y2…ymym+1…y2my2m+1…y3m, d(y)=z1z2…zm, zi=1if{zi,zi+m,zi+2m}含有至少2个1. zi=0if{zi,zi+m,zi+2m}含有少于2个1. d是1位纠错解码 最大似然解码函数maximumlikelihooddecodingfunction 设编码e: Bm→Bn, 令d: Bn→Bm是e的解码函数, 列出Bm中所有2m个元素: x (1),x (2),……, 如果接收的是xt,找出第一个x(s),使 δ(x(s),xt)=min1≤i≤2m{δ(x(i),xt)}. 取d(xt)=e-1(x(s))=b. 称d为e的最大似然解码函数。 d与列出Bm中2m个元素的次序有关。 定理1. 设e: Bm→Bn是编码,d: Bn→Bm是e的最大似然解码函数。 则(e,d)能纠至多k位错当且仅当e的最小距离至少2k+1。 证明. 设e的最小距离至少2k+1。 令b∈Bm,x=e(b)∈Bn,如果发送x,接收xt,至多k位错。 δ(x,xt)≤k. 设z是一个编码,z≠x, 2k+1≤δ(x,z)≤δ(x,xt)+δ(xt,z)≤k+δ(xt,z). δ(xt,z)≥k+1. 于是z不可能是xt的源码,x是唯一的与xt最接近的编码,d(xt)=b. 因此(e,d)k位纠错。 反之,假设最小海明距离r≤2k。 令x=e(b),x’=e(b’),δ(b,b’)=r. x=b1b2…bn, x’=b1’b’2…b’n, 不妨设b1≠b’1,b2≠b’2…,br≠b’r bi=b’i,i>r. 设r≤k,如果传送x,接收xt=x’,d(xt)=b’,无法纠正这r个错。 设k+1≤r≤2k, 令xt=b1’b’2…b’kbk+1…bn,, δ(xt,x’)≤r-k≤k, δ(xt,x)≥k,x’比x更接近x,无法纠错。 例3. e是如下(3,8)编码, d是最大似然解码函数。 e(000)=000000000 e(001)=001001001 e(010)=010010010 e(011)=011011011 e(100)=100100100 e(101)=101101101 e(110)=110110110 e(111)=111111111 问(e,d)能纠几位错? 解.e的最小海明距离=3。 3≥2k+1,k≤1。 能纠1位错。 群编码的最大似然解码 定理2. 设H是G的子群,a∈G,则f: H→aH,f(h)=ah是一一对应。 例§9.5命题3. 设e: Bm→Bn是群编码, 即N=e(Bm)={x (1),x (2),…, }, 组成Bn的子群。 设b∈Bm,x=e(b)∈Bn是b的编码,传送x,接收到xt, 令xtN={ε1,ε2,……, }是xt的N左陪集,εi=xtx(i), δ(xt,x(i))=|xtx(i)|=|εi| 设xtN中最小权是|εj|, 称εj为陪集头标。 x(j)=xtxtx(j)=xtεj, 求最大似然解码函数的步骤: 设e: Bm→Bn是群编码, step1给出N在Bn中所有左陪集。 step2找出每个陪集的头标。 step3接收xt后,找出xt所在陪集。 step4x=xtεj。 共有2n/2m=2r个陪集,列表如下: 先列出N,0作头标。 0=x (1),x (2),…, , 找出Bn中第一个未列出的元素y, 求出第二行yN: y0,yx (2),…,y , 求出最小权元ε (2),用ε (2)改写这一行 ε (2)0,ε (2)x (2),…,ε (2) , 重复直到列出Bn中所有元素,得到一张r行2m列的表,称为解码表。 0 x (2) x(3) … ε (2) ε (2)x (2) ε(3)x(3) … ε (2) x (2) x(3) … 收到信号xt后,找到xt所在一列,这一列第一个元素就是发出的编码x,令d(xt)=e-1(x)=b. d是e的最大似然解码函数。 例4.见P417 一行头标有不止一种选择,解码函数也不唯一。 设(m,n)群编码eH: Bm→Bn r=n-m行 fH: Bn→Br,fH(x)=x*H是Bn到Br的同态。 定理3.fH是满射onto。 证明.任取b∈Br,b=b1b2…br, 令x=00…0b1b2…br,fH(x)=x*H=b。 N=ker(fH)=eH(Bm),g: Bn/N→Br, g(xN)=fH(x)=x*H是同构映射。 称xH为x的并发位syndrome, 如果xH=yH,x,y有相同的并发位。 定理4.设x,y∈Bn,x,y属于N的同一个陪集当且仅当,fH(x)=fH(y),当且仅当x,y并发。 证明.设x,y∈Bn,x,y属于N的同一个陪集,xN=yN,即y∈xN, 当且仅当xy=-xy∈N, 当且仅当fH(xy)=0,fH(x)fH(y)=0, fH(x)=fH(y)当且仅当xH=yH。 例6.奇偶校验矩阵 (3,6)群编码eH: B3→B6。 eH(000)=000000 eH(001)=001011 eH(010)=010101 eH(011)=011110 eH(100)=100110 eH(101)=101101 eH(110)=110011 eH(111)=111000 N={000000,001011,010101,011110,100110,101101,110011,111000} 并发位 陪集头标 000 000000 001 000001 010 000010 011 001000 100 000100 101 010000 110 100000 111 001100 不必列出陪集,只要头标 接收xt=001110,其并发位 fH(xt)=101。 第六行头标ε=010000,x=xtε=011110 解码得到011。
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