《工程电磁场导论》习题详解已整理.docx
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第一章静电场
习题(1F1)
111直空中有一密度为2芯nC/m的无限长电荷沿v轴放置,另有密度分别为0,lnC/詩和一O.lnC/m2的无限大带电平面分别位于黙=3m和懇=-4m处°试求F点(1,7.2)的电场强度瓦'
解*=3m和了=—4m的带电平面产生的电场为
口孔(-4 "0(弁4或金>3) 沿3,轴放置的线电荷产生的电场为 E=_2^L厶TTE°、/丄.2+ 一7~~~+nV/m £o(j-2+5? )'" 所以,P点(1,7,2)的电场强度为 E=E{lE2 =-+——((-+9^1 h22.59%+33.88%V/m 应用叠加原理计算电场强度时,爰注意是矢最的査加。 11-3已知电位函数试求E,并计算在(0,0,2)及(5, 3,2)点处的E值n 解E二一*= 10 (凱旅 伝+尸+丹(4+2方/3事&)代入数据,得“° £(0,0,2)=(0.156^+1.875^)V/m E(5,3,2)=(0.021。 +0.124%+0.248勺)V/m -gFJ- 1-2-2求下列情况下,真空中带电面之间的龟压; (1)相顧.为】的两无限大平行板,电荷面密度分别为+b和- (2)无限长同轴圆柱面,半径分别为a和b{b>a\每单位长度上电荷: 内柱为r而外柱为-r; (3)半径分别为&和玲的两同心球面(jR2>^i)t带有均匀分布的面积电荷,内外球面电荷总量分别为g和f 解 (1)因两无限大平行板间电场强度为 所以,电压 U=Ea=§u eq (2)因两圆柱面间的电场强度为 E=EP-9r 2共op 所以,电压 U=—dp=纟 JaEnsop丨Zk£()a (3)因两球面间的电场强度为 E=E「" 所以,电压 17= •叫〈住“四厂4jreo(/iirJ 1-2-3高压同轴线的最佳尺寸设计一一高压同轴圆柱电缆,外导体的内半径为2cm,内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cmo内导体的半径为°,其值可以自由选定,但有一最佳值,因为若a太大,内外导体的间隙就变得很小,以致在给定的电压下,最大的E会超过电介质的击穿场强。 另一方面,由于E的最大值Em总是在内导体表面上,当4很小时,其表面的E必定很大。 试问。 为何值时,该电缆能承受最大电压? 并求此最大电压值。 解设内外导体的半径分别为&和丄显然,最大场强出现在p^a处。 由高斯定律,求得介质中的电场为 E-土■=——乙=E— “2兀辆pmp 内外导体间的电压为 jEe斜0二gjn7 aru 可见u随&而变化,但不是一单调函数,必存在一扱值。 为求此极值,必有 由此,得 In—-1-0 =& 因此,取时,该电缆能承受最大电压 代人数据Dqcm’EmPO000kv/m,得 「二—=0.736cm e 9xin" x20000-147kV …_.e L-7-2河面上方如处,有一辎电线经过《导換半径RVV内),其电荷线 密度为小河水的介电常数为8(kg求镜像电荷的值。 解应用两介质分界平面的镜像公式,有 —0.96t ,=7-契=ep~BOeo£1+e2TEo+8Qe°「 •2e2-2X80釦E r=—-—r-—r=L97r 負+段€h4-8Oeo 1-7-3在无限大接地导体平面两侧各有一点电荷Qi和q? 与导体 平面的距离均为丄求空间的电位分 1-7-5两根平行圆柱导体,半径均为2cm,相距12cm,没加以1000V竜压.求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度Q 解用电轴法求解,首先确定电轴的位置 如题1-7-5图所示,此时空间任意点的电 位为 __1C2 甲2理nrx 圆柱的 式中々为-T至所求点的距离,尸1为+r至所求点的距离,设十电位为如,带-r圆柱的龟位为甲m则 _r.b+(ha)rib_(h_q) VL""溢qIil"(")一漏血5+(方_o) 所以,圆柱单位长度上的电荷「与两柱间的电压关系为 VvYz==283.65 Vo1000 点A处,场强和电荷面密度最大 bfn&x_E()Emax_E。 +.——) 27T£qb—(h—ci)A+(/i-la)=0-1775X10"6C/ni2 点B处,场强和电荷面密度最小 b顽=£。 Eg=£0潇(蔚-^T(trT)) =0.0887Xl()Yc/m2 1-8-1两个小球半径均为1cm,相距为20cm,位于空气中。 (1)若已知甲1、乎上,求QiT? ; (2)若已知求qi,p2? (3)欲使小球1带电荷qi=10"C,小球2不带胞荷,问该用什么方法? 解两小球和大地构成了3导体系统,假设大地离两小球很远且取它为。 号导体,则有各小球的电位啊,物和电荷qi,qz之间的下列关系式: (0 J啊=715+厦12亜 1处=°21<1\+。 22队 其中 也/。 且对于现在的问题,有 ^22—all和女2丄==12 容易确定出 =9x10" 一1 *L4HoR—4itX8.85X10"xlxi0-2 ai2=荘爲』=4^x8.85^1012x20x10^=4.5x10jn方程组 (1)也可表示成另一种形式 }也=曲平1十卩12甲2 〔也=凡1甲]十位Z啊 其中 Al==1.11385X10'12 allQ22-"电1 奥2=間[=1・11385X1Q-12 液体所受的电场力为 地=也当 『2dK 这个力应与水平而上的液体的重量相平衡,即 由=pgsh 所以,為液体上升的高度为 2缶必 思考题 1-1试回答下列各问题: (1)等位面上的电位处处一样,因此面上各处的电场强度的数值也一样Q这句话对吗? 试举例说明々 (2)某处电位屮=0,因此那里的电场E--V0=0o对吗? (3)甲处电位是10000V,乙处电位是10V故甲处的电场强度大于乙处的电场强度。 对吗? 答此三问的内容基本一致,均是不正确的。 静电场中电场强度是电位函数的梯度,即电场强度E是电位函数甲沿最大减小率方向的空间变化率。 甲的数值大小与E的大小无关,因此甲处电位虽是10000V,大于乙处的电位,但并不等于甲处的电场强度大于乙处的电场强度“在等位面上的电位均相等,只能说明沿等位面切线方向,电位的变化率等于零,因此等位面上任一点的电场强度沿该面切线方向的分量等于零,即Et=0o而电位函数沿等位面法线方向的变化率并不一定等于零,即不一定为零,且数值也不一定相等口即使等位面上W=0,该面上任一点沿等位面法线方向电位函数的变化率也不一定等于零。 例如: 静电场中导体表面为等位面,但导体表面上电场强度E垂直于导体表面,大小与导体表面各点的曲率半径有关,曲率半径越小的地方电荷面密度越大,电场强度的数值也越大, 1-2电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹(设此点电荷除电场力外不受其它力的作用)? 答电力线仅表示该线上任…点的切线方向与该点电场强度方向一致,即表示出点电荷在此处的受力方向,但并不能表示出点电荷在该点的运动方向,故电力线不是点电荷在电场中的运动轨迹口 1-4下例说法是否正确? 如不正确,请举一反例加以论述匂 (1)场强相等的区域,电位亦处处相等口 (2)电位相等处,场强也相等矽 (3)场强大处,电位一定高° (4)电场为零处,电位一定为零。 (5)电位为零处,场强一定等于零。 答根据电场强度和电位的关系E=-%可知: (1)不正确°因E相等的区域,甲必为空间坐标的函数。 如充电的平行板电容器内场强相等,但其内部电位却是变化的。 (2)不正确口因斧相等处,不等于▽甲相等。 如不规则带电导体表面上各点电位均相等,但表面上各点处的场强并不相等。 (3)不正确'因E大的地方,只表明甲的梯度大,而不是中值高。 如上例中导体尖端处场强大,但表面上各处电位相等并不一定高,电位值与参考点所选位置有关口 (4)不正确。 因E-0,说明▽甲=0,即营=〔丄如高电压带电导体球,其内部电场等于零,但该球内任一点的电位却不为零,而为某一常数匚 (5)不正确口因归=0处,不一定"=0所以E不-•定为零凸如充电平行板电容器中,一个极板接地电位为零,但该极板相对另一极扳的表面上电场强度不为零Q 2-1-1直径为2mm的导线,如果流过它的电流是20电流密度均 匀,导体的电导率为丄xiO"S/m口求导线內部的电场强度。 JT 解因为电流密度是均匀分布,故 J二普二x106(A/m) )Sitx(0.001)2k £i=,=0-2V/h) 2-1-2已知J=10y2况上-2x2yey+2狞的hA/m0求穿过jc—3m处*2m<><3m,3.8mWZ<5+2m面积上企%方向的总电流L ♦ 鯉因为1=J-dS Js r「3「3.2 所以I=J*e^dydz=lOy'wdydz=39.9A 」SJ2」3-8 21-3平行板电容器板间距离为d,其中媒质的电导率为匕两板接有电流为1的电流源,测得媒质的功率损耗为Po如将板间距离扩为2d,其间仍充满电导率为y的媒质,则此电容器的功率损耗是多少? 解电容器内电流密度分布均匀,则 其中s为平行板的面积。 由于使用同一电流源,故两种情况下,电流密度满足 J1=J2=J=* 平板电容器内媒质中的电场强度 又因为导电媒质内的功率密度P=J,E 所以Pi- 则电容器的功率损耗分别为 P、=&=PP2=Pz52d-2p[Sd~2P 2-41金属球形电极A和平板电极B的周围电介质为空气时,已知其电容为Co当将该系统周围的空气全部换为电早率为/的均勾导电媒质,且在两极间加直流电压UQ时,求电极间导电媒质损耗的功率是多少? 解由于恒定电场与静电场在一定条件下可以比拟,分析題意可知两系统的几何形状、边界条件情况相同,则 C=e_ G~y 。 =此 £ 尸=仁宓=夕。 3 2・4-2半径为a的K直圆柱导体放在无限大导体平板上方,圆柱轴线距平板的距离为五,空间充满电导率为y的不良导电媒质°若学体的电导率远远大于求圆柱和平板间单位柘旧的出頓/显小堡土i_u由先求该系统的电 容)口 解若导体之间充满介电常数为E的电介质,先求此系统的电容.设圆柱对导体平面的电压为Uo利用镜 像法,在平板导体另一侧作岀它的镜像,如题 2-4-2图所示。 再利用电轴法,其电轴位置 b—4h2—az 由此可得圆柱电压 rr_r1h~a 单位长度的电容 题2-4-2图 广一M_2华 5—U一b+h-a 由于导体之间充满电导率为1的导电媒 质,利用恒定电场与静电场的静电比拟,可得 =,.厂=2兀,_ Go-談0-b+h-a Ih+h_aD_1_n6—A+a圧0=瓦=一茹― 2-5-2一半径为0.5m的导体球当作接地电极深埋地下,土壤的电导率/=10_2S/m,求此接地体的接地电阻口 解由于深埋地下,可以忽略地面的影响”设接地器通有电流I,则 tJ= 分别求岫篇揺"点 所产生的磁感应强度口 解 (1)由题3-1「1图(a),根据直空中载电流I的长为 21的长直细导线,在其中垂面上任一点产生的磁感应强度为 B=adr_2L^i! 4叫0Lp2+户]' 可将边长分别为a.b的矩形边视为长为2,的直导线,利用叠加定理求出矩形中心点P处的確感应强度。 利用右手螺旋法则,可判断岀各边在P点产生的磁感应题3-1「1图G) 强度的方向是垂直纸面向里,设此方向为尊方向,则P点的厳感应强度为 解(4)如题3-1-1图(d)所示。 5匕题和同,两|hI个半无限长导线住尸点产生的磁感应强度为零己由形丁二; 线柩产生的磁感应强度可视为三条边在P点产生的磁1: VI感应强度之和e其中两条边长为a的边产生的磁感应• 强度可视为边长为2,的半直统在F点产生的磁感应强E) 度,方向均沿垂宜派面向里的方向,设此方向为8二的方題3TT图(d) 向】则此矩形线框在P点产生的磁感应强度为 (5)如題3-1-1图(。 所示,可视为两个半尤 应强度的叠加匸廠感应强度的方向按右螺旋法姻是垂直紙面向里的方向,设此方向为七方向,则P点处的磁感应强度为 +倒"=団(丄十丄, I24&4R~2R\tc2丿心 3-1-3两平行放置无限长直导线分别逋有电流h和上,它们之闻的距离为分别求两导线单位长度上所受的磁场力口 解由毕奥-沙伐定律可知,无限长直导线周围的磁感应强度为 由此可知线电流所在的位置处,L线电流所产生的题3-「3图 恒定磁场磁感应强度为 »-地[q B_2頌% 在&线电流上选电流元它受到i{线电流在该处的磁场作用力为dF2=玲d也号夺叩 根据右手螺旋法则,日巴的方向如题3-1-3图所示,是吸引力,其大小为 ^也二饮会出為故线电流血上单位长度所受到的磁场力 同理,线电流h上单位长度受到电流[2的磁场作用力为 3-2-1-半径为々的长直圆柱形导体,被,同样长度的同轴圆筒导体所 包围,圆筒半径为如圆柱导体与圆筒载有相反方向的电流K求圆筒内外的磁感应强度(导体和圆筒内外导磁媒质的磁导率均为产oM 解由对称性分析,电流所产生的磁场是轴对称的磁场。 选择以圆柱导体轴线为中心的圆形回路作为安培环路,则 "b.dl=卩0矿0 其中厂二孔叫2二弓儿代入匕式可得 2jzpR=內? I a~ R- 方向沿圆形环路的切线方向。 当gWb时 'p・dl=回1 B=並釦 当bWp时, 土8.di=0 8=0 3-2-2有一半径为&的长直圆柱形导体,通有电流密度J=儿产上的怛定电流,其中/轴就是圆柱导体的轴线。 试求导体内外的磁场强度Ho 解由对称性分析,电流产生的厳场为对称的平行平面场,可用安培环路定理求解」选择以宅轴为中心的圆形安培环路,则当0VpMu时 'H・出=「J•HS=[儿貫dp=羿p3 JiJsJoar3ar 2“』=近M 方向沿損I环回路的切幾方向,即4方向。 故 „Jpp2q 日二3/ 服J。 2、2可。 唄' 負一心=-^― rrJg2 “二3q% 3-3-1下列矢量中哪些可能是磁感应强度B? 如果是,清求相应的电流密度L (2)(xTj- (4)F'Kre* (1)F=K(jcey—x土) (3)F=K曽, 解由恒定感场的基本方程,磁感应强度B一定要满足 V•J? =0 因此,此方程可作为判断一个矢量是否磁感应强度H的条件Q (1)F=K(xey—yeT)时 F=井+鬃=K dy F可以作为磁感应矢量,相应的电流密度j为 ■1…一1—_ (2)F=(卫%-ye、)时 V,F工「穹+]-0 Ld.r(7V」 K1" F可以作为磁感应矢量,相应的电流番度J为 J=丄VXF二丄-券k^0dxd,」 (3)卩=知%时 V-F=7苏可)**崙+夺=±%0p)=2K产0故F不能为磁感应强度矢量& (4)F=Km* "F=土齐刁;)+日苛弟隽湖)+;如暮 =出如)=° 故F可以作为磁感应矢量,矢量的电流密度J为 J“(7*『=土上赢麝耳鈿加,-}务GFQ%]吐[為詠好鈿g-+务(灯2応]=—cntZfer-2虫印 33-2在内=1500用和风=〃o两种导磁媒质分界面~側的磁感应强度Bi=L5T,与法线方向的夾角为35L求分界面另一侧的磁感应强度的大小及它与法线方向的央角9加 解利用分界面上的衔接条件和折射定律可得 図导二由二1500 Uin外戶2 tan。 ]=t 20 =B(J1-B]Oos9]=1.5X0.819—1.23T Ba-=伽Hh=碧Bn8。 3-4-1在某一场域内,如果磁矢位4=5/%,试求电流密度J的分布“解': .、=_仰 采用直角坐标系,得 ▽机=-必 3-6-1在磁导率产=7所的无限大导磁媒质中.有一载流为10A的长宜细导线距媒质分界面2cm处,试求媒质分界面另一侧(空气)中距分界面1cm姓F点的磁感应强度 解利用恒定磁场中的镜像法,有效区域为空气,则可假设将媒质分界面去掉,上下空间的均为空气(产二〃。 爲在原导磁媒质所在上半空间内,引入镜像电流 r= +用 位于原电流所在处,则p点的磁感应强度为 方向沿以电流所在处为中心的圆的切向方向口其大小为 4ttX107Xy/ 13二2"0.03=1L67X10-ST 3-6_2如题3-6-2图3)所示,求电流I所在区域为有效区时,镜像电流的大小与位置日 解镜像电流的大小与位置均如题3,6-2图(b)所示。 鏡像电流的参考方向设与原电流I的方向一致。 其大小分别为 r= 林+卩1 卩2+丹― 3-7-3如题3-7-3图所示。 求真空中: (1)沿Z轴放置的无限长线电流和匝数为1(J。 。 的矩形回路之间的互感; (2)如矩形回路及其长度所标尺寸的单位不是米而是厘米,再重新求其互感。 解设无限长直线电流为L则在N匝矩形回路内产生的磁感应强度为 在的范围内,味电流『了处选一个d5三5心的小面元,穿过小面元的磁通为 B•d5=毁X5dv 该磁通与电流交链的磁通链为 叫临=Nd、=x5dy 如: x5dy= 题3-7-3图 无限K线电流和而数为1000的矩形冋路之间的互感为 niH M=亨=0.916 当图中所标尺寸为厘米时,上式可得 =9.16pH 0-05X旳N°,05lnO^ 习题(4-1) 411长直导线载有电流i=丄成nsf,在其附近有一矩形线框,如題4-1-1图所示。 求线框中的感应电动势。 解应用安培环路定律,可以解得导线周围任- 点的磁感应强度为 穿过以速度日运动的矩形线框的磁链为 412设电场强度E(£)=V/m,w=10^rad/sD计算下列各料 媒质中的传导电流密度和位移电流密度幅值的比值: (1)铜y-5.8xiO7S/m,er-l; (2)蒸清水r=2xW-*S/mter=80; (3)聚苯乙烯>=10一%$/01,七=253 解传导电流密度Jc和位移电流密度Jd分别由以下公式求得 幅值的比值为 将己知条件代入上式,可得各种韓质的K值: 由此可知,当频率较低时”较大的媒质中可以忽略位移电流"很小的摞质中以位移电流为主,如聚苯乙烯仁 -4.47xl0_y
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