向量等和线解决基本定理中的系数和差问题试题版.docx
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向量等和线解决基本定理中的系数和差问题试题版
向量等和线解决基本定理中的系数和、差问题
一、预备知识:
1.平面向量共线定理:
对于平面内三个不同的点A、B、P,若,则P,A,B三点共线.
【引例】已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:
A、P、B三点共线;
(2)若A、P、B三点共线,求证:
m+n=1.
证明:
(1)若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),
所以-=m(-),即=m,所以与共线.
又因为与有公共点B,所以A、P、B三点共线.
(2)若A、P、B三点共线,则存在实数λ,使=λ,所以-=λ(-).
又=m+n.故有m+(n-1)=λ-λ,即(m-λ)+(n+λ-1)=0.
因为O,A,B不共线,所以,不共线,所以所以m+n=1.
2.平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
【引例】小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学,在学习向量三点共线定理时,我们知道当P、A、B三点共线,O为直线外一点,且时,x+y=1(如图1)第二天,小郭提出了如下三个问题,请同学帮助小郭解答.
(1)当x+y>1或x+y<1时,O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系?
写出你的结论,并说明理由
(2)如图2,射线OM∥AB,点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,求实数x的取值范围,并求当时,实数y的取值范围.
(3)过O作AB的平行线,延长AO、BO,将平面分成如图3所示的六个区域,且,请分别写出点P在每个区域内运动(不含边界)时,实数x,y应满足的条件.(不必证明)
【答案】
(1)若,则O、P异侧;若,则O、P同侧,理由见解析;
(2),;(3)Ⅰ:
;Ⅱ:
;Ⅲ:
;Ⅳ:
;Ⅴ:
;Ⅵ:
.
【分析】运用平面向量基本定理和三点共线的结论可解决此问题.
【详解】解:
(1)若,则O、P异侧,若,则O、P同侧;理由如下:
设,则由得,
,
当时,与同向,由平面向量加法的平行四边形法则可知,O、P异侧;
当时,与反向,由平面向量加法的平行四边形法则可知,O、P同侧;
(2)由图及平面向量基本定理可知,,即实数的取值范围是,
当时,由平面向量加法的平行四边形法则可知,;
(3)Ⅰ:
;Ⅱ:
;Ⅲ:
;Ⅳ:
;Ⅴ:
;Ⅵ:
.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的简单应用,考查数形结合思想,属于基础题.
对于等和线的定性认识
【例1】如图,分别是射线上的两点,给出下列向量:
①;②;
③;④;⑤,若这些向量均以为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()
A.①②B.②④C.①③D.③⑤
【练习】如图所示,点在的对角区域的阴影内,已知,则实数对可以是()
A.B.C.D.
【变式1】如图所示,两射线与交于,下列向量若以为起点,终点落在阴影区域内(含边界)的是_______.
①②③④⑤
【练习】如图,,点在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域(不含边界)运动,且.
(1)则的取值范围是__________;
(2)当时,的取值范围是__________.
(3)当时,的取值范围是__________.
【变式2】如图,,点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对可以是()
A.B.C.D.
【练习】如图,A、B分别是射线OM、ON上的点,下列以O为起点的向量中,终点落在阴影区域内的向量是()
A.B.C..
【提优1】(2013.安徽卷)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点AB,满足,则点集,所表示的区域面积是.
(A)(B)(C)(D)
【提优2】如图,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若(,),则的取值范围是.
二、新知:
1.定义:
已知平面内一组基底及任一向量,(λ、μ∈R),如图,若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线,在向量起点相同的前提下,所有以AB与平行直线上的点为终点的向量,其基底的系数和为定值
向量等和线定理:
三点共线+平行线移动(三角形相似)
证明:
设
结合与(或与)同向或反向确定m正负
在上述推理过程中,暗含着,即和的系数相等(等系数)
这条线(和线)与平行,可以认为是这条线平行移动的结果,故在解题过程中,我们可以将这条线平行移动,确定临界位置,从而确定m的取值范围,即系数之和的范围
2.性质
(1)当等和线恰为直线AB时,,称为基线;
(2)当等和线在O点和直线AB之间时,;
(3)当直线AB在O点和等和线之间时,;
(4)当等和线过O点时,;
(5)若两等和线关于O点对称,则定值k互为相反数;
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比;
等和线定理是专门解决有关基向量中系数之和的秒杀工具,对于处理向量分解时的系数之和以及系数最值有关问题,均可以尝试使用向量系数等和线原理
3.解题步骤
①选起点;
②定基线(平移确定等和线值为1的线)
③作平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;
例:
中,为平面内任意一点:
在内部,;在AC,;在外部,
结论:
中,为平面内任意一点:
在内部,;在AC,;在外部,
方法一:
初级等和线
【引例1】在所在平面上的点满足,且,请指出点的位置.
方法二:
中级等和线的构造
【引例2】在所在平面上的点满足,且,请指出点的位置.
【练习】在是边长为6的等边三角形,点满足,且,其中则的取值范围为________.
方法三:
高级等和线的构造
类型一:
非共起点向量
【引例3-1】设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且有,,若,则的值为.
类型二:
非共起点基底/单基底可变
【引例3-2】在正方形ABCD中,如图,E为AB中点,以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设,则的范围为.
【练习】如图,在平行四边形ABCD中,M,N为CD的三等分点,S为AM与BN的交点,P为边AB上一动点,Q为△SMN内一点(含边界),若,则的取值范围是.
题型一:
平行四边形等和线
【例1】在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若(λ、μ∈R),则的值为_________.
【变式1】如图,点P在平行四边形OACD内部(含边界)运动,点B为OD的中点,若,则的范围是()
A.[0,4]B.[0,3]C.[0,2]D.[0,1]
类型二:
梯形等和线
【例2】如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内(含边界)的动点,设,则的最大值等于 .
【变式2】在直角梯形ABCD中,,点E在线段CD上,若,则的取值范围是________.
类型三:
矩形等和线
【例3-1】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在△BCD边上运动.若,则的取值范围为_________.
【变式3-1】在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AB⊥AD,点P满足,且x+2y=1,点在矩形内(包含边)运动,且,则λ的最大值等于()
A.1B.2C.3D.4
【例3-2】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,过点C作BD的平行线分别交AB的延长线、AD的延长线于M、N,动点P在四边形内(含边界)运动.若,则的取值范围为________.
【变式3-2】设长方形ABCD边长分别是AD=1,AB=2(如图所示),点P在BCD内部和边界上运动,设(都是实数),则的取值范围是()
A.[1,2]B.[1,3]C.[2,3]D.[0,2]
类型四:
圆中的等和线
【例4】已知O是△ABC的外心,且AB=4,AC=2,.若,则的值为______.
【变式4】已知O为△ABC的外心,AB=2a,AC=(a>0)∠BAC=120°,若(x,y为实数),则的最小值为________.
题型五:
扇形等和线
【例5】给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的上运动.若,其中,的最大值为 .
【变式5-1
(1)】如图,在扇形中,,点为的中点,点为阴影区域内的任意一点(含边界),若,则的最大值为()
A.B.C.D.
【变式5-1
(2)】如图,在扇形OAB中,∠AOB=60∘,C为弧AB上且与A,B不重合的一个动点,,若存在最大值,则的取值范围为 .
【例5-2】如图,在扇形OAB中,∠AOB=,C为弧AB上的一个动点,若,则的取值范围是.
【变式5-2】若在以为圆心,6为半径的弧上,且,且的取值范围为____.
题型六:
与多边形中的圆相关的等和线
【例6-1】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,若,则的最大值是.
【变式6】如图,在直角梯形ABCD中,,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆上或圆内运动,设,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【例6-2】如图,边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含短点)上运动,P是圆Q上及其内部的动点,设向量,,则的取值范围是.
题型七:
等和线综合类问题
【例7-1】如图,已知点为等边三角形的外接圆上一点,点是该三角形内切圆上一点,若,,则的最大值为
A.B.2C.D.
【例7-2】已知△ABC中,BC=6,AC=2AB,点D满足,设,恒成立,则的最大值为.
【例7-3】在平面直角坐标系xOy中,已知点P在曲线T:
上,曲线T与x轴相交于点B,与y轴相交于点C,点和满足,则的最小值为.
真题回顾
1.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,,与的夹角为,且,与的夹角为45°.若,则.
2.在中,,,,在边上,延长到,使得.若(m为常数),则的长度是 .
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- 向量 解决 基本 定理 中的 系数 问题 试题