点到直线的距离定律.docx

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点到直线的距离定律

点与直线直线方程

一.教学内容:

点到直线的距离;

点关于点、关于直线的对称点;

直线关于点、关于直线的对称直线;

直线方程复习;

二.知识点:

1.点到直线距离公式及证明

|AxoByoC|d~iAnr

关于证明:

根据点斜式，直线PQ的方程为（不妨设A丸）

解方程组

AxByCBxAyBxoAyo,

这就是点Q的横坐标，又可得

XXo

B2xoAByOACA2xoB2xo

A（AxoByoC）

__B"，

BB（AxoByoC）

yyo

A（xxo）—A^—

所以,

|（AXoByoC）2

|AxoByoC|

Va2b2。

这就推导得到点P（xo，yo）到直线I:

Ax+By+C=0的距离公式。

如果A=0或B=0,上式的距离公式仍然成立。

F面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。

设点Q的坐标为（X1，yi）,则

Co,

^（A^O）,

Ax1By1

yiyo

XiXo

把方程组作变形,

把①，②两边分别平方后相加,

222222

（AB）（XiXo）（Ba）（yiyo）

2

（AxoByoC）,

所以,

2

A2B2

（XiXo）2（yiyo）2（AXoByoC）

所以,

|AxoByoC|

—2学

7AB

此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下:

设P1（x1，y1）、P2（X2，y2）是直线I上的任意两点，则

Ax1ByiCo③

Ax2By2Co④

把③、④两式左右两边分别相减，得

A（xiX2）B（yiy2）0,

由向量的数量积的知识，知

n-P2P10,

这里n=（A,B）。

所以n=（A,B）是与直线I垂直的向量。

d|PPo|cos,

（如图所示）

/F畑％）

<7

-0°x<_

一（LAoa）8（lxoxm

一（LAOA二Xox）-（8/）一

Soo.

-so--on--so。

一£丄一（

^te

〈一S8一一。

du-P

（底更®吕）

。

08话8疋芷一P

2.平行线间的距离公式

3.点关于点的对称点（中点坐标公式）4.已知P0（X0,y0）直线I:

Ax+By+C=0（B丸）

点P。

（X0,y。

）关于直线I的对称点:

设为Pi（Xi，yi）

b^lc0

22

则A2

•（A）1

XiX0B

特别地关于特殊直线的对称点。

（X轴、y轴、直线y=x，直线y=—x）

5.直线I关于点Po（X0,yo）对称直线（三种方法）

6.直线I关于直线l1A1XByG0的对称直线（三种方法）

特别地直线I关于特殊直线y=±x+b的对称直线。

【典型例题】

例1.求与直线1:

5X12y60平行且到I的距离为2的直线的方程。

解法一：

设所求直线的方程为5x12yc0,

在直线5x12y60上取一点P0（0,1）,

2

点P0到直线5X12yc0的距离为

|12X_c|2

——2=

|c6|

13

J52（12）2

由题意，得

13

2。

•'•C=32或c=—20,

解法二：

设所求直线的方程为

5x12yc0,

由两平行直线间的距离公式,

故所求直线的方程为

5x12y320和5x12y

200。

小结：

求两条平行线之间的距离,

可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线

的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。

也可以直接套两平行

例2.已知正方形的中心为G（-1,0）,一边所在直线的方程为x+3y-5=0，求其他三边所在的直线方程。

解：

正方形中心G（-1,0）到四边距离均为

1156

Jl232金

则1\_Cl1具，即|ci1|6。

解得Ci5或Ci7。

故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0

设正方形另一组对边所在直线的方程为3x—y+c2=0。

则|3X

（1）C2I6

即|C23|6，

3。

所以正方形另两边所在直线的方程为:

3xy90和3xy30。

综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为:

x3y70、3xy90、3xy30。

小结：

本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程。

例3.求直线x2y10关于直线xy10对称的直线的方程。

由x2y10,得X1

解法一：

xy10，y0

•••点（1,0）为两已知直线的交点。

设所求直线的斜率为k，由一条直线到一条直线的角的公式,

11

得一2,k2。

111k

2

故所求直线方程为

y2（x1），即2xy20。

y0）,

即直线x2y10关于直线xy10对称的直线的方程为2xy20。

解法三：

设P（x,y）是所求直线上的任一点，P关于直线x+y—1=0对称的点为P0（X0,

则P0在直线x2y10上。

-Xo2yo10,

kPPoj

XXo

1—y—2（1—X）—1=02x—y—2=0即为所求。

小结：

求直线I关于直线11对称的直线的方程，只要在I上取两点A、B，求A、B关于11

的对称点A、B'，然后写出直线AB的方程即为所求。

解法二和解法三中，都用到了求一个点

P关于某直线I的对称点Po的问题。

这个问题的解法就是根据：

①直线PoP与直线I垂直；②

求直线的方程。

截距相等的直线方程。

得x4，y3。

•所求直线的方程为y3x,

4

即3x4y0。

当所求直线不过原点时,

设所求直线方程为xya,

因为点（—4,3）在直线x+y=a上,

43a，a1,

故所求直线方程为Xy10。

在（*）式中，令x0得y-一6

25

2

所以6或

7

把6和

7

列条件的a、b的值。

（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到11、12的距离相等。

分析：

考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。

a2

令y0得x6。

32

由题意，得766。

532

1

—。

3

1

1分别代入（*）式整理,

3ab40

由①、②解得a=2,b=2。

•••l1的斜率也存在,

1a,b

故ll和l2的方程可分别表示为

例6.

解:

•••f（x）—2x2Jx24x8

已知函数f（X）Jx22x2Jx24x8,求f（X）的最小值，并求取得

J（x1）2（01）2J（x2）2（02）2

它表示点P（x,0）与点A（1,1）的距离加上点P（X,0）与点B（2,2）的距离之和,即在X轴上求一点P（X,0）与点A（1,1）、B（2,2）的距离之和的最小值。

由下图可知，转化为求两点A'（1,-1）和B（2,2）间的距离，其距离为函数f（x）的最小值。

BC2.2）

A'（IT）

•••f（X）的最小值为J（12）2（12）2屈

再由直线方程的两点式得A'B方程为3xy4Go

令yG得x4。

当x-时，f（x）的最小值为JIGo

33

小结：

数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。

例7.用解析法证明：

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

则直线AB的方程为bxay

直线BC的方程为bx

ayabG

设底边AC上任意一点为

P（X,G）（—awxwa）,

贝yp至Uab的距离|PE|

|bxab|b（ax）

妇2—b2寸a2b2

P到BC的距离为|PF|ja^

A到BC的距离

h|baab|2abja__b2

b2

•••|PE||PF|

b（ax）b（ax）

__b^Ja2b2

•••原命题得证。

例8.等腰直角三角形斜边所在直线的方程是

3x—y=0,—条直角边所在直线I经过点（4,

—2）,且此三角形的面积为10,求此直角三角形的直角顶点的坐标。

解：

设直角顶点为C,C到直线y=3x的距离为d,

1

10,

则--d•2d

2

.——Qk

•d如，设l的斜率为k，则飞tan45

1

•••l的方程为y2—（X4），即x2y80

2

设I'是与直线y3x平行且距离为J10的直线,

则J-mL心0,.・.m±10,

J10

•I'的方程是3xy±100

012

0得C点坐标是G

由方程组x2y80及x2y8

3xy1003xy10

（2834）

（7，7）

例9已知直线I:

（2m）x（12m）y43m0,

（1）求证：

不论m为何实数，直线I恒过一定点M;

（2）过定点M作一条直线11,使h夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求h的方程;

（3）若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，求l2的方程。

0,

解：

（1）化原直线方程为2xy4m（x2y3）

2xy40

由x2y30，定点M的坐标为（1，2）

（2）设过点M的直线方程为x1,

ab

它与x轴、y轴分别交于A（a,0）,B（0,b）。

••M为AB中点，由中点坐标公式得a=—2,b=—4,

•••所求直线方程为2xy40

当且仅当k=-2时，围成的三角形面积最小,

【模拟试题】

求其他三边所在直线的方程。

E

Al

C逹

r

（1991年全国高考题）

【试题答案】

13x4y

250或x5

提示：

（1）

当直线I的斜率存在时，可设

I的方程为ykxbo

根据题意，得

•••所求的直线

（2）当直线

105kb,

|b|

5,

k

解得

b

3

4

25

I的方程为3x4y

25

I的斜率不存在时，直线的倾斜角为2

即直线I与x轴垂直。

根据题意，得所求直线I的方程为x

提示：

点P（1,1）到直线x•

cos

y•sin2

0的距离为

|cossind盂

2|

・2—

Sin

|sin

cos

2|

|V2sin（

2|

[0,

•••当sin（

1,即

—时,

4

|J2

2|

最大。

3.提示:

|sin

由

cos2

1|

[0,

sin2

得

sin

••sin

4.解：

可设

CD所在直线方程为:

x3ym0,

则|m5|2•|105|

•m7或17

o

•••点E在CD上方，.・.m=—17。

经检验不合题意，舍去。

••m=7,.・.CD所在直线方程为X3y70。

••AB丄BC,

•••可设BC所在直线方程为3xyn0

I30n|I105|

AD所在直线方程为3Xy

5.分析：

在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。

解:

在直线2x7y60上任取一点，如P（3,0）,

［注意］

用上面方法可以证明如下结论:

|CiC2I

解：

设直线方程为y2k（x1），则kxy

xy10或7xy

角，则由夹角公式求得所求直线的斜率

•••所求直线方程为x

7y15

0或7xy50

［注意］

在寻求问题解的过程中,数形结合可优化思维过程。

8.分析：

画图分析，可知符合题意的直线

I有2条。

解：

画图分析，可知符合题意的直线

I有2条。

其一直线经过AB的中点；其二直线与AB

所在的直线平行。

又由AB的中点为（一

1,1）得所求直线为yX2；当所求直线与AB所

在的直线平行时，得所求直线方程为y

4

8x6y25的斜率为

9.解：

直线

3

3，与它垂直的直线斜率为4，因此原点关于此直线

对称的点应在直线y

3

—x

4上。

对照选项，只有（

4,3）在直线上，故选D。

［评注］本题考查直线方程和对称点的有关知识。

k7或k

解之得