浙江省普通高中学业水平考试数学试题附解析.docx
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浙江省普通高中学业水平考试数学试题附解析
2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题(附解析)
一、单选题
1.己知集合A=[x≡R卩Vx<3},
则卜冽关系正确的是(
)
A・IWA
B.2gA
C.3∈A
D.4^A
2.函数/(x)=2v的值域是()
A.(-∞,0)
B.(0,+8)
C.(ι,+∞)
D.(→o,-WO)
3.已知等差数列{。
”}的首项4=3,
公差d=2,则y=(
)
A.7
E.9
C.11
D.13
4.己知直线厶:
x-y-i=0与$x-2αy+2=0平行,则实数。
的值是()
5.双曲线=1的渐近线方程是
3
A.yβx±y=0
C.3x±y=0
6.己知/(x)是奇函数,其部分图象如图所示,则/(x)的图象是()
【答案】B
Y
J
D.
∖
V
7
丿
O
OX
7.
SC中,角…,C所对的边分别切,b"己知心彳,看彳
=3,则b=()
8.
A.6
B.3√3
C.
D∙√6
设cieR,贝IJ“a=l”是的(
A.充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
x-y+4≥0
x+y-4≤0,则x+2y的最人值是(y≥0
A.O
E.4
C.8
D.
12
则该三棱锥的体积是
10・已知某三棱锥的三视图如图所示,
侧视图
A.1
E・
3
2
C.3
9D.—
2
11.己知实数X,
y满足X
^+>r=1,
则∙o的最大值是()
A.1
E.
√3
c.d
1D.—
2
2
2
12.己知向量N,
b满足C
1=1,b=
:
2,Q∙b=l,则a与b的夹角是()
A.30o
E.
45。
C.60°
D.12(Γ
V3>
.(π∖
13.已知角Q为第四彖限角,&的终边与单位圆交于点尸-√∏
则Sma+—
2丿
I4丿
A.
E.
√2
C.卫
D.也
10
10
10
10
()
14.己知Q,0是两个不同平面,加,”是两条不同直线,则下面说法正确的是()
A.若allβ,In丄α,"〃0,则加//〃E..若allβ,加丄α,n∕/β,则〃7丄〃
C.若G丄0,InHa,"丄0,则〃?
/加D.若G丄0,InIla,"丄0,则加丄〃
15.设数列{(-lf1∙3n}的前"项和为S”,则对任意的正整数"恒成立的是()
A.∖>S,l+1B.∖ 16.己知a>b>[,则下列不等式一定成立的是() A.IOgu(IOgtI∕? )∙logz,(IOgbα)>0B.IOgU(IOgub)+logz,(IOgbα)>0 C.Iog“(IOgZJa)∙log”(IOg“∕? )>0D.IOgU(log/)+IOgb(IOgub)>0 22 17.己知椭圆C: £_+2_=1(«>/? >0)的右焦点为F,左顶点为A•若点P为椭圆C上的点,PF丄X轴, 且SuI却F<浮则椭圆C的离心率的取值范围是( 18. 侧棱长为2・E,F分别是侧面 如图,己知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形, ACCIAI和侧面ABBIAI±的动点,满足二面角A-EF-AI为直二面角•若点P在线段EF上,且AP丄EF, 则点P的轨迹的面积是 () 19.己知04的方程为(x-2)2+(>∙-2)2=1,则其圆心A坐标为;半径为 20.已知幕函数y=f(x)的图彖过点(3,√3),则/(4)=. 21.如图,在长方体ABCD-AlBiCIDI中,已知43=2,BC=BB严1,则直线AB与平面AIBICD所 成角的正弦值是. 22.若数列@”}满足匕=2,%]=4色+4扬+1,则使得α,1≥20202成立的最小正整数“的值是. 四、解答题 23.已知函数/(x)=COS2Cr+-Sill+,x∈R. I6丿I6丿 (1)求/(彳)的值; (H)求/(x)的最大值,并写出相应的X的取值集合. 24.在平面直角坐标系中,点M(-1,0),"(1,0),直线PM,PN相交于点、P(X』),且直线PM的斜 率与直线PN的斜率的差的绝对值是2. (I)求点P的轨迹E的方程; (II)设直线/: y=d(k>0)交轨迹E于不同的四点,从左到右依次为A,B,C,£>.问: 是否存在满足IABI=: |〃Cl=ICDl的直线/? 若存在,求出R的值;若不存在,请说明理由. 25.设awR,已知函数/(x)=∣λ2-λ∣+∣λ2-λ∣,a-∈[-1,1].(I)当Q=O时,判断函数/(x)的奇偶性; (II)当GSo时,证明: f(x)≤a2-a+2; (III)若/(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围. 2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题(解析) 一、单选题 1.己知集合A={x∈∕? 卩Vx<3},则下列关系正确的是() A.IeAB.Ac.3∈AD.4住人 【答案】D 【详解】 因为集合A={x∈Λ∣l 【答案】C 【详解】 因为等差数列仏”}的首项兔=3,公差d二2,所以6∕3=λi+4J=3+S=11 故选: C A.丄 1 E.一一C.1 D.-1 2 2 【答案】A 【详解】 ∙.∙∕1∕∕∕2,/.« [l×(-2,)-(-I)Xl=O丄 ^1)x2-(-2λ)×(-1)≠0,解保2' 4.己知直线人: x-y-1=O与人: x-2αy+2=0平行,则实数“的值是( 故选: A- Azx+Bzy+cz=0平行,则A1B2-A2B1=0且BlC2-B2Cl≠0. 5.双曲线疋-丄=1的渐近线方程是() 3 A・y∕3x±y=0E・X±y∣3y=O C.3x±y=OD.x±3y=O 【答案】A 【详解】 22 双曲线X2-Zl=1的渐近线方程是X2-—=0,即√3x±y=0 33 故选: A 6.已知/(X)是奇函数,其部分图象如图所示,则/(X)的图象是() 【答案】B 【详解】因为奇函数的图彖关于原点对称,所以/(X)的图彖是 y 7 厂 O\ 故选: B 7∙在WC中’角A'B'C所对的边分别为"b,心异烽〃吟心,≡=() A.6B.3√3C.3√2D.√6 【答案】C 【详解】 3sin? 3√? 由正弦定理丄二一? 一得: b=竺嘤=——=^-=3√2. SmASlnBSInASm£丄 62 故选: C. &设gR,则“。 =1”是“亍=1”的() B.必要而不充分条件 D・既不充分也不必要条件 当CF=I时,则α=±l,不一定有a=l9 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【详解】 当d=l时,充分性成立;反过来, 故必要性不成立,所以“。 =1”是aa2=l9f的充分而不必要条件・故选: A x-y+4≥0 9.若实数%,y满足不等式组λr+y-4≤0,则x+2y的最大值是()y≥0 A.0E.4C.8D.12 【答案】C 【详解】 x-y+4≥0 不等式组[x+y-4≤0表示的平面区域如图,令x+2y=z,即y=--x+-, C22 b≥o 17 由图可得当直线y=--χ+^过点(0,4)时Z最大,最大值为8 故选: C io.己知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是() 【答案】B 【详解】 解: 由三视图可知该几何体为三棱锥,直观图如图,故体积为V=-×丄x3xJJx√J=2322 故选: B. 又O≤0,b)<",所以N与5的夹角为60。 11・已知实数X,y满足x2+y2=l,则小的最大值是() A.1B.退C.也D.- 222 【答案】D 【详解】 解: 因为X2+y2≥2xy,所以2xy≤x2+y2=l,得Xy-^• 故选: D. 12.已知向量N,5满足同=1,円=2,打=1,则N与5的夹角是() D.120 A.30oB.45°C.60° 【答案】C 【详解】 HaS1=2 故选: C. 13.已知角&为第四彖限角,&的终边与单位圆交于点P∖l,nι 15 【答案】A 【解析】首先求出〃-然后由任意角的三角函数的定义得CoSa和sιnα,然后由正弦的两角和计算公式可 Z・(π得su∖α+4 【详解】 <3 J4 因为角α为第四彖限角,α的终边与单位圆交于点P-Jn,所以W=--3 故选: A 【答案】B 【详解】 若α∕∕0,加丄a,n∕∕β,则加丄〃,故A错误,B正确; 若G丄0,nιHa,"丄0,则加与〃可以平行、相交或异面,故c、D错误; 故选: B 15.设数列{(-l)n+1∙3,,}的前川项和为S”,则对任意的正整数〃恒成立的是() B-SJIVSf^ A∙Sn>5n+1 C.S">S"TD.S2“VS 【答案】D 【详解】 因为S”+厂S“=(一1)用3讯,确定不了符号; S2h-Sz=(-l)2w+1•3"=-32n<0,所以S2n 故选: D 16.已知α>b>l,则下列不等式一定成立的是() A∙log“(IOEb)∙log,(IOgba)>Q E.log“(lOg“b)+IOgb(IOg/,d)>O C.IOg“(IOgba)∙logz,(IOgab)〉0 D.⅛(logz,d)+log”(IOgUb)>Q 【答案】B 【详解】 因为a>b>i.所以OVlOgabVI,log∕,α>l,所以IOgtI(IOgtfb) 所以IOga(IOg“b)∙log”(IOgzJa)<0f故A错误, 同理可得IOg“(log”d)∙log’,(IOg(Zb)<0,故C错误 令r=log^∈(0,1),则IOgba=7 所以IOga(Iog“b)+IOgfe(Iogbα)=IOg“/+Iogb;=IOg“'-Iogb'=厂」~一∕τ=fgJ;OgLd flog IOgza∙IOgfb 因为r∈(0,l),a>b>l,所以log,b>log,a,log,λ IOg/? —IOga 所以IOo(710;b>O,即⅛(Iogab)+log/,(IOgbα)>O,故E正确 同理可得IOgU(logz,λ)+logz,(IOgtlZ? ) 故选: B 22 17.已知椭圆C: £_+君=ι(α>b>O)的右焦点为F,左顶点为4•若点P为椭圆C上的点,PF丄X轴, <λη (.2、 (2Λ A, BISJ C. k1> D. JJJ 且论际V穹,则椭毗的离心率的取值范围是( ) 【答案】D 【详解】 所以SilIZPAF=所以巴-v(α+c)'+2τ 因为e∈(0,l),所以e∈f∣,l 故选: D 18.如图,已知直三棱柱ABC-AlBICI的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2∙E,F分别是侧面ACCIAl和侧面ABBIAl上的动点,满足二面角A-EF-Al为直二面角.若点P在线段EF上,且AP丄EF,则点P的轨迹的面积是 () 【答案】B 【详解】解: •••二面角A-EF-Al为直二面角•••平面AEF丄平面EFA, 又T点P在线段EF匕且AP丄APu平面AEF,平面AEFn平面EFA=EF .・・AP丄平面EfA,连接A1P, ・•・APΔ.AlP,ΛP在以AA为直径的球上,且P在三棱柱ABC-AiBICi内部, ・•・P的轨迹为以AA为直径的球在三棱柱ABC-AIBICI内部的曲面, 又•・•三棱柱ABC-AIBiCI为正三棱柱, ・•・P的轨迹为以AA为直径的球面,占球面的;, 6 ・•・点P的轨迹的面积是S=丄×4^∙=-. 63 故选: B. 二、双空题 19.已知04的方程为(x-2): +(y-2): =l,则其圆心A坐标为;半径为. 【答案】(2,2)1 【详解】 因为OA的方程为(x-2)2+(y-2)2=l, 所以其圆心A坐标为(2,2),半径为1 故答案为: (2,2);1 三、填空题 20.已知幕函数y=f(x)的图彖过点(3“),则/(4)=. 【答案】2 【详解】 Vy=/(x)为幕函数,•••可设/(x)=xα,.∙.∕(3)=3α=√3,解得: a= : .f(x)=,•■f⑷=2. 故答案为: 2. 21.如图,在长方体ABCD-AiBiCiDL中,已知AB=2,BC=BBi=It则直线AF与平面AIBICD所成角的正弦值是 【答案】迥 10 【详解】 如图,连接Bq,交CB∖于K,连接AK,由题,Ad丄平面BBLCIC,所以A耳丄BCit又四边形BBlCiC是正方形, 所以丄CBI,AIBl∩CBI=B1,所以BC]丄平面CBLAiD, 即ZBAIK为直线Aβ与平面AIBICD所成的角, 又AB=2»BC=BBI=It所以4ιβ=y∣AB2+AAj2=√5» BKjBCL牛故SlSA=竺=半=亜 221AiB√510 故答案为: 迥 10 22.若数列{a”}满足q=2,qrκ=4%+4j石+1,则使得≥20202成立的最小正整数〃的值是 【答案】11 【详解】 •••Q”+i=4a”+4城+1=(2妬+1)~,.∙.5∕^=2城+1,.∙∙7ξ^+l=2(5∕ξ"+l), •••数列{"7+l}是以√^+l=√2÷l为首项,2为公比的等比数列,.∙.√^+l=(√2+l)×2H-1,λ√^=(√2+1)×2M-I-1, 202J 由暫≥2020'得: 城≥2020,即2π^1≥=2021×(√2-1)≈837,•••29=512,21°=1024且•••满足题意的最小正整数"=11∙故答案为: 11∙ 四、解答题 23.已知函数/(x)=COS2x+-Snrx+f,XeR・ (1【)求/(X)的最人值,并写出相应的X的取值集合. 【详解】 所以,/(χ)的最大值为1. 当且仅当2x+-=2kπ时,即X=R龙一兰(k∈Z)时,/(x)取得最人值,36 所以,取得最大值时X的集合为∖xx=kπ-^,kEz∖. 24.在平面直角坐标系中,点M(-1,0),N(l,0),直线PM,PN相交于点P(X』),且直线PM的斜率与直线PN的斜率的差的绝对值是2. (I)求点P的轨迹E的方程; (II)设直线/: y=kx{k>6)交轨迹E于不同的四点,从左到右依次为A,B,C,D.问: 是否存在 满足IABI=IBCI=ICDl的直线/? 若存在,求岀R的值;若不存在,请说明理由• 【答案】(【)y=±(χ2-i)(χ≠±i);(H)存在,牛. 【详解】 (【)由已知得,I^W-^Vl=2,即一J——J=2, X÷1X-I 化简得到点P的轨迹E的方程为y=+(χ2-I)(X≠±1). (II)假设存在直线/满足题意. 设A(λ,h)'3(七,儿),C(X3,%),D(X4,yJ∙ 由方程组F='r消去〉',整理得疋+也_1=0,所以X1+X3=-^∙y=Y-X" 1>2因为∖AB∖=∖BC∖,所以点B是力C的中点,故B 因为点B在y=x2-l±, 由k>0, 3 同理,由IBq=ICDl得到k=芈 综上可知存在k=巫的直线/满足题意. 25.设aeRf已知函数f(x)=∖x2-a∖+∖a2-x∖,X∈[-l,l]. (I)当G=O时,判断函数/'(x)的奇偶性; (II)当OSO时,证明: /(x)≤^2-λ+2: (In)若∕W≤4恒成立,求实数α的取值范围. 【答案】(I)/(x)为偶函数;(1【)证明见解析;(III)[一1冷 【详解】 (【)当4二0时,/(x)=∣x2∣+∣x∣,定义域为[—1,1],且对于任意的"[-1,1],有/(→-)=∣√∣+∣x∣=∕(x)恒成立,所以函数/(χ)为偶函数. (II)当OSO时,因为χ∈[-l,l], 所以,f(X)=∖χ2~a+Cl2-X=X2-cι+a2-X 即对于任意的∈[-1,1],/(x)≤λ2-^+2恒成立. (III)i^f(x)=∖x1-a∖+∖cf-x∖(-l≤x≤i)的最大值为M, 则f(x)≤4恒成立OM<4・ (i)当αS0时,由(II)可知, 对于任意的Λ∈[-L1],f(x)≤a2-a+2=f(-l)恒成立, 所以,M=Cr-a+2∙ α+254 由<解得一I≤α<0・ [a≤0 (ii)当OVaVI时,因为x∈[-1,1], 所以,∕ω=∣X2-^∣+∣α2-x∣≤∣x2∣+∣α∣÷∣α2∣+∣x∣≤4恒成立. (iii)当α>l时,因为a-∈[-L1], II寸 -E •的⅛∏^鑒 r
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