高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.docx
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高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1
——教学资料参考参考范本——
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1
______年______月______日
____________________部门
[读教材·填要点]
1.反证法
首先假设要证明的命题是不正确的,然后利用公理,已有的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(或已证明过的定理,或明显成立的事实)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来结论是正确的,这种方法称为反证法.
2.放缩法
在证明不等式时,有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简,达到证明目的,这种方法称为放缩法.
[小问题·大思维]
1.用反证法证明不等式应注意哪些问题?
提示:
用反证法证明不等式要把握三点:
(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.
2.运用放缩法证明不等式的关键是什么?
提示:
运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当.如果所要证明的不等式中含有分式,那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小;反之,如果把分母缩小,则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大,这时应该注意不等式的变化情况,可以与相应的函数相联系,以达到判断大小的目的,这些都是我们在证明中的常用方法与技巧,也是放缩法中的主要形式.
用反证法证明否定性结论
[例1] 设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:
4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.
[思路点拨] 本题考查反证法的应用.解答本题若采用直接法证明将非常困难,因此可考虑采用反证法从反面入手解决.
[精解详析] 假设4a(1-b)>1,4b(1-c)>1,4c(1-d)>1,4d(1-a)>1,则有
a(1-b)>,b(1-c)>,
c(1-d)>,d(1-a)>.
∴>,>,
>,>.
又∵≤,≤,
≤,≤,
∴>,>,
>,>.
将上面各式相加得2>2,矛盾.
∴4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.
(1)当证明的结论中含有“不是”,“不都”,“不存在”等词语时,适于应用反证法,因为此类问题的反面比较具体.
(2)用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾,②与假设矛盾,③与显然成立的事实相矛盾.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.
解:
(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,
两式相减得an+1=an,
所以{an}是首项为1,公比为的等比数列,
所以an=.
(2)反证法:
假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p 则2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1.① 又因为p 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,所以假设不成立,原命题得证. 用反证法证明“至多”、“至少”型命题 [例2] 若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证: a,b,c中至少有一个大于0. [思路点拨] 由于问题是“至少型”命题,故可用反证法证明. [精解详析] 假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0, 而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3 ∴π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)≥0 ∴a+b+c>0这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a,b,c中至少有一个大于0. (1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时,或证明否定性命题、惟一性命题时,可使用反证法证明.在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾,也可以与已知矛盾,与显然的事实矛盾,也可以自相矛盾. (2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾. 2.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证: a,b,c,d中至少有一个是负数. 证明: 假设a,b,c,d都是非负数, 即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0, 则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd. 这与已知中ac+bd>1矛盾, ∴原假设错误, 故a,b,c,d中至少有一个是负数. 用放缩法证明不等式 [例3] 求证: -<1++…+<2-(n∈N*且n≥2). [思路点拨] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用,解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式,但我们不能利用求和公式或其他方法求和,因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式,进而求和,并证明该不等式. [精解详析] ∵k(k+1)>k2>k(k-1), ∴<<. 即-<<-(k∈N+且k≥2). 分别令k=2,3,…,n得 -<<1-,-<<-, … -<<-,将这些不等式相加得 -+-+…+-<++…+<1-+-+…+-, 即-<++…+<1-. ∴1+-<1+++…+<1+1-. 即-<1+++…+<2-(n∈N+且n≥2)成立. (1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换,即欲证a>b,可换成证a>c且c>b,欲证a (2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标.而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如: 舍去或加上一些项: 2+>2; 将分子或分母放大(缩小): <,> ,<,>(k∈R,k>1)等. 3.设n是正整数,求证: ≤++…+<1. 证明: 由2n≥n+k≥n(k=1,2…,n),得≤<. 当k=1时,≤<; 当k=2时,≤<; … 当k=n时,≤<, ∴=≤++…+<=1. [对应学生用书P23] 一、选择题 1.否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c都是偶数 C.a、b、c中至少有两个偶数 D.a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 解析: 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种,而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况,故反面的情况有3种,只有D项符合. 答案: D 2.设M=+++…+,则( ) A.M=1 B.M<1 C.M>1D.M与1大小关系不定 解析: ∵210+1>210,210+2>210,…,211-1>210, ∴M=+++…+ <=1. 答案: B 3.设a,b,c∈(-∞,0),则三数a+,b+,c+的值( ) A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 解析: 假设都大于-2, 则a++b++c+>-6,∵a,b,c<0, ∴a+≤-2,b+≤-2,c+≤-2, ∴a++b++c+≤-6,这与假设矛盾,则选C. 答案: C 4.已知p=a+,q=-a2+4a(a>2),则( ) A.p>qB.p C.p≥qD.p≤q 解析: ∵p=(a-2)++2,又a-2>0, ∴p≥2+2=4,而q=-(a-2)2+4, 由a>2,可得q<4,∴p>q. 答案: A 二、填空题 5.给出下列两种说法: ①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时,可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以上两种说法正确的是________. 解析: 反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①错误;对于②,其假设正确. 答案: ② 6.用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点,其中任意两点的距离最大为d,距离为d的两点间的线段称为这组点的直径,求证直径的数目最多为n条”时,假设的内容为________. 解析: 对“至多”的否定应当是“至少”,二者之间应该是完全对应的,所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n+1条”. 答案: 直径的数目至少为n+1条 7.A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________. 解析: A=+++…+≥==. 答案: A≥ 8.设a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系是________. 解析: ∵a>0,b>0, ∴N=+>+ ==M. ∴M 答案: M 三、解答题 9.已知0 x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1. 证明: 法一: 假设x(2-y)>1且y(2-z)>1且z(2-x)>1均成立, 则三式相乘有: xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1.① 由于0 ∴0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1. 同理: 0<y(2-y)≤1,且0<z(2-z)≤1, ∴三式相乘得: 0 ②与①矛盾,故假设不成立. ∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1. 法二: 假设x(2-y)>1且y(2-z)>1且z(2-x)>1. ∴++>3.③ 又++ ≤++=3④ ④与③矛盾,故假设不成立, ∴原题设结论成立. 10.已知实数x、y、z不全为零,求证: ++>(x+y+z). 证明: =≥ =|x+|≥x+. 同理可得: ≥y+, ≥z+. 由于x、y、z不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式累加得: ++>++=(x+y+z). 11.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1). (1)求数列{an}的通项公式an; (2)设数列的前n项和为Tn, 求证: ≤Tn<. 解: (1)由Sn=nan-2n(n-1)得 an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n, 即an+1-an=4. ∴数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列, ∴an=4n-3. (2)证明: Tn=++…+ =+++…+ = =<. 又易知Tn单调递增,故Tn≥T1=, 得≤Tn<.
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- 高中数学 第一章 不等式 基本 性质 证明 方法
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