步步高选修22第二章 212.docx
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步步高选修22第二章212
2.1.2 演绎推理
学习目标
1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
知识点一 演绎推理的含义
思考 分析下面几个推理,找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电,铀是金属,所以铀能够导电;
(2)一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理叫演绎推理.
梳理
定义
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
知识点二 三段论
思考 所有的金属都能导电,铜是金属,所以铜能导电,这个推理可以分为几段?
每一段分别是什么?
答案 分为三段.
大前提:
所有的金属都能导电.
小前提:
铜是金属.
结论:
铜能导电.
梳理
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
S是P
类型一 演绎推理与三段论
例1
(1)“因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
(2)将下列演绎推理写成三段论的形式.
①平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;
②等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的两底角,则∠A=∠B;
③通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.
解 ①平行四边形的对角线互相平分,大前提
菱形是平行四边形,小前提
菱形的对角线互相平分.结论
②等腰三角形的两底角相等,大前提
∠A,∠B是等腰三角形的两底角,小前提
∠A=∠B.结论
③在数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列,大前提
当通项公式为an=2n+3时,若n≥2,
则an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),小前提
通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可把大前提与小前提都省略,在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
跟踪训练1
(1)推理:
“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________.
(2)函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为
大前提:
________________________________________________________________________.
小前提:
________________________________________________________________________.
结论:
________________________________________________________________________.
答案
(1)②
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线
函数y=2x+5是一次函数
函数y=2x+5的图象是一条直线
类型二 三段论的应用
命题角度1 用三段论证明几何问题
例2 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:
ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.
证明 因为同位角相等,两直线平行,大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提
DE∥BA,且FD∥AE,小前提
所以四边形AFDE为平行四边形.结论
因为平行四边形的对边相等,大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边,小前提
所以ED=AF.结论
反思与感悟
(1)用“三段论”证明命题的格式
×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路;
②找出每一个结论得出的原因;
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
跟踪训练2 已知:
在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,如图所示,求证:
EF∥平面BCD.
证明 因为三角形的中位线平行于底边,大前提
点E、F分别是AB、AD的中点,小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则直线与此平面平行,大前提
EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,EF∥BD,小前提
所以EF∥平面BCD.结论
命题角度2 用三段论证明代数问题
例3 设函数f(x)=
,其中a为实数,若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
解 若函数对任意实数恒有意义,则函数定义域为R,大前提
因为f(x)的定义域为R,小前提
所以x2+ax+a≠0恒成立.结论
所以Δ=a2-4a<0,
所以0 即当0 引申探究 若例3的条件不变,求f(x)的单调递增区间. 解 ∵f′(x)= , 由f′(x)=0,得x=0或x=2-a. ∵00. ∴在(-∞,0)和(2-a,+∞)上,f′(x)>0. ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2-a,+∞). 当a=2时,f′(x)≥0恒成立, ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 当2 ∴在(-∞,2-a)和(0,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,2-a),(0,+∞). 综上所述,当0 当a=2时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当2 跟踪训练3 已知函数f(x)=ax+ (a>1),证明: 函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 证明 方法一 (定义法) 任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1 f(x2)-f(x1)= + - - = - + - = ( -1)+ = ( -1)+ . 因为x2-x1>0,且a>1,所以 >1, 而-1 所以f(x2)-f(x1)>0, 所以f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 方法二 (导数法) f(x)=ax+ =ax+1- . 所以f′(x)=axlna+ . 因为x>-1,所以(x+1)2>0,所以 >0. 又因为a>1,所以lna>0,ax>0, 所以axlna>0,所以f′(x)>0. 于是得,f(x)=ax+ 在(-1,+∞)上是增函数. 1.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 D.在数列{an}中,a1=1,an= (n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 答案 A 解析 A是演绎推理,B、D是归纳推理,C是类比推理. 2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),又y= 是对数函数(小前提),所以y= 是增函数(结论).”下列说法正确的是( ) A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A 解析 y=logax是增函数错误.故大前提错误. 3.三段论: “①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的”,其中的“小前提”是( ) A.①B.②C.①②D.③ 答案 D 4.把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提: ____________; 小前提: ____________; 结论: ____________. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y=x2+x+1是二次函数 函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线 5.设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根. 证明 因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0, 那么方程有两个相异实根.大前提 方程x2-2mx+m-1=0的判别式 Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4 =(2m-1)2+3>0,小前提 所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.结论 1.应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略. 2.合情推理是由部分到整体,由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理. 3.合情推理与演绎推理是相辅相成的,数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理;数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明. 课时作业 一、选择题 1.《论语·学路》篇中说: “名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( ) A.类比推理B.归纳推理 C.演绎推理D.一次三段论 答案 C 2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理( ) A.结论正确B.大前提不正确 C.小前提不正确D.全不正确 答案 C 解析 由于函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确. 3.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 答案 C 解析 由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误. 4.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4),且f(x)在(2,+∞)上为增函数.已知x1+x2<4且(x1-2)·(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒小于0B.恒大于0 C.可能等于0D.可正也可负 答案 A 解析 不妨设x1-2<0,x2-2>0, 则x1<2,x2>2,∴2 ∴f(x2) 从而-f(x2)>-f(4-x1)=f(x1), ∴f(x1)+f(x2)<0. 5.下面几种推理中是演绎推理的是( ) A.因为y=2x是指数函数,所以函数y=2x经过定点(0,1) B.猜想数列 , , ,…的通项公式为an= (n∈N*) C.由圆x2+y2=r2的面积为πr2,猜想出椭圆 + =1的面积为πab D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中,球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 答案 A 6.在R上定义运算⊗: x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则( ) A.-1 C.- D.- 答案 C 解析 由题意知,(x-a)⊗(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a, ∴-x2+x+a2-a<1. 即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x都成立, 则Δ=1-4(-a2+a+1)<0, ∴4a2-4a-3<0,解得-
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