三年高考数学理真题分类解析专题07导数的应用.docx
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三年高考数学理真题分类解析专题07导数的应用
专题07导数的应用
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
1.导数与函数的
单调性
了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)
理解
选择题
解答题
★★★
2.导数与函数的极
(最)值
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)
掌握
解答题
★★★
3.生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
掌握
选择题
★☆☆
分析解读
1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.
2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.
3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.
命题探究练扩展
2018年高考全景展示
1.【2018年理数天津卷】已知函数,,其中a>1.
(I)求函数的单调区间;
(II)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明;
(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间,单调递增区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.
(III)由题意可得两条切线方程分别为l1:
.l2:
.则原问题等价于当时,存在,,使得l1和l2重合.转化为当时,关于x1的方程存在实数解,构造函数,令,结合函数的性质可知存在唯一的x0,且x0>0,使得,据此可证得存在实数t,使得,则题中的结论成立.
详解:
(I)由已知,,有.
令,解得x=0.
由a>1,可知当x变化时,,的变化情况如下表:
x
0
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.
(III)曲线在点处的切线l1:
.
曲线在点处的切线l2:
.
要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,
只需证明当时,存在,,使得l1和l2重合.
即只需证明当时,方程组有解,
由①得,代入②,得.③
因此,只需证明当时,关于x1的方程③存在实数解.
设函数,即要证明当时,函数存在零点.
,可知时,;
时,单调递减,又,,
故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即.
由此可得在上单调递增,在上单调递减.
在处取得极大值.因为,故,
所以.
下面证明存在实数t,使得.由(I)可得,当时,
有,所以存在实数t,使得,因此,当时,存在,使得.
所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.
点睛:
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
2.【2018年理北京卷】设函数=[].
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,)处的切线与轴平行,求a;
(Ⅱ)若在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
【答案】
(1)a的值为1
(2)a的取值范围是(,+∞)
【解析】分析:
(1)先求导数,再根据得a;
(2)先求导数的零点:
,2;再分类讨论,根据是否满足在x=2处取得极小值,进行取舍,最后可得a的取值范围.
详解:
解:
(Ⅰ)因为=[],
所以f′(x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)=[ax2–(2a+1)x+2]ex.
f′
(1)=(1–a)e.由题设知f′
(1)=0,即(1–a)e=0,解得a=1.
此时f
(1)=3e≠0.所以a的值为1.
点睛:
利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.
3.【2018年江苏卷】记分别为函数的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明:
函数与不存在“S点”;
(2)若函数与存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“S点”,并说明理由.
【答案】
(1)证明见解析
(2)a的值为(3)对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
【解析】分析:
(1)根据题中“S点”的定义列两个方程,根据方程组无解证得结论;
(2)同
(1)根据“S点”的定义列两个方程,解方程组可得a的值;(3)通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程,再判断方程组是否有解即可证得结论.
详解:
解:
(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.
由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得,此方程组无解,
因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.
(2)函数,,则.
设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)与g(x0)且f′(x0)与g′(x0),得
,即,(*)
得,即,则.当时,满足方程组(*),即为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.
(3)对任意a>0,设.因为,且h(x)的图象是不间断的,所以存在∈(0,1),使得,令,则b>0.
函数,则.
由f(x)与g(x)且f′(x)与g′(x),得
,即(**)
此时,满足方程组(**),即是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
点睛:
涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
4.【2018年理新课标I卷】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,证明:
.
【答案】
(1)当时,在单调递减.,当时,在单调递减,在单调递增.
(2)证明见解析.
(i)若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.
(ii)若,令得,或.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.
(2)由
(1)知,存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于
,
所以等价于.设函数,由
(1)知,在单调递减,又,从而当时,.所以,即.
点睛:
该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
2017年高考全景展示
1.【2017课标II,理11】若是函数的极值点,则的极小值为()
A.B.C.D.1
【答案】A
【解析】
试题分析:
由题可得
因为,所以,,故
令,解得或,所以在单调递增,在单调递减
所以极小值为,故选A。
【考点】函数的极值;函数的单调性
【名师点睛】
(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值。
2.【2017浙江,7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是
【答案】D
【解析】
试题分析:
原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D.
【考点】导函数的图象
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:
若导函数图象与轴的交点为,且图象在两侧附近连续分布于轴上下方,则为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数的正负,得出原函数的单调区间.
3.【2017课标II,理】已知函数,且。
(1)求;
(2)证明:
存在唯一的极大值点,且。
【答案】
(1);
(2)证明略。
【解析】
试题分析:
(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得,注意验证结果的正确性;
(2)结合
(1)的结论构造函数,结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式。
试题解析:
(1)的定义域为。
设,则,等价于。
因为,因,而,得。
若,则。
当时,,单调递减;
当时,,单调递增。
所以是的极小值点,故
综上,。
(2)由
(1)知,。
设,则。
当时,;当时,,
所以在单调递减,在单调递增。
又,,,
所以在有唯一零点,在有唯一零点1,
且当时,;当时,,
当时,。
因为,所以是的唯一极大值点。
由得,故。
由得。
因为是在(0,1)的最大值点,
由,得。
所以。
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系。
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数。
(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题。
(4)考查数形结合思想的应用。
4.【2017课标3,理21】已知函数.
(1)若,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,求m的最小值.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点,列方程解得;
(2)利用题意结合
(1)的结论对不等式进行放缩,求得,结合可知实数的最小值为
(2)由
(1)知当时,.
令得.从而
.
故.
而,所以的最小值为.
【考点】导数研究函数的单调性;导数研究函数的最值;利用导数证明不等式
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
5.【2017浙江,20】(本题满分15分)已知函数f(x)=(x–)().
(Ⅰ)求f(x)的导函数;
(Ⅱ)求f(x)在区间上的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)[0,].
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)利用求导法则及求导公式,可求得的导数;(Ⅱ)令,解得或,进而判断函数的单调区间,结合区间端点值求解函数的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)因为
所以
=.
(Ⅱ)由
解得或.
因为
x
()
1
()
()
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