高三数学一轮复习讲义 专题15 等比数列.docx
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高三数学一轮复习讲义专题15等比数列
专题15等比数列
考纲导读:
考纲要求:
理解等比的概念,了解数列通项公式的意义;了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项;掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.
考纲解读:
等比数列图象的孤立点落在一条近似指数函数图象上.此处为数形结合解决数列问题提供了依据.
考点精析:
考点1、等比数列的概念与性质
这种题型主要是依据等比数列的概念进行判断或证明、求通项式等,有时也可以利用通项公式或前n项和公式以及等比数列有关性质来解决.一般均为中档题,多出现于客观题之中.
【考例1】(·雅礼中学月考)在等比数列中,,则等于.
解题思路:
利用等比数列的通项公式可以分析得的值,要注意等比中项性质的巧妙应用(本题易出现两解的错误).
正确答案:
由,可得,∴.
回顾与反思:
等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似,就是“比”与“差”的区别,但等比数列隐含着数列的各项不为零,公比不为零,项与公比的正负号有着密切的关系等等.
知识链接:
等比数列的定义.如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫等比数列,其中常数叫做数列的公比,记作.通项公式.等比数列{}的首项为,公比为,则称为数列的通项公式.
【考例2】(·西安八校联考)数列{}中,,且对于任意的正整数有,则的值为()
A.B.C.D.
解题思路:
利用等比中项的性质可以求得该值.
正确答案:
由已知条件可得,于是得,
故应选D.
回顾与反思:
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.等比数列的定义表达式形式为,其中为常数,也可以写成,为常数(注意比较二者的区别).
知识链接:
通项公式,从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是函数的图象上的一群孤立点.
考点2、等比数列的前n项和公式
这类题型主要依据通项公式和前n项和公式中的五个基本量、、、、间的关系进行推导与判断.多为中档题,常出现于解答题之中,客观题中以开放题出现居多.
【考例1】(·西城模)设的公比为q的等比数列,其前n项的积为Tn,并且满足条件.给出下列结论:
①0 其中正确结论的编号是. 解题思路: 将条件中的各个不等式运用数的性质加以判断可得,由此可以利用等比数列性质判断推理各命题的正确性. 正确答案: 由, 由且 而, 由 若即.即 由,,,, 的最小自然数为199. 综上所述,①③④正确. 回顾与反思: 明确等比数列前n项和公式的函数解析式结构特点,利用这些特点我们可以判断一个数列是不是等比数列,如果是等比数列,我们还可以据此直接求出数列的首项和公比. 知识链接: 等比数列前n项和公式或等比数列前n项和公式变形,其中. 【考例2】(·福建文)已知数列满足 (I)证明: 数列是等比数列; (II)求数列的通项公式; (II)若数列满足证明是等差数列。 解题思路: 首先利用已知条件构造等比数列,然后通过叠加求和求其通项公式. 正确答案: (I)证明: 是以为首项,2为公比的等比数列。 (II)解: 由(I)得 (III)证明: ① ② ②-①,得 即 ③ ④ ④-③,得 即 是等差数列. 回顾与反思: 用类比的方法探索问题和解决问题,这里是等比数列,并且在等号的两旁,因此由递推式得到的(n-1)个等式相加后,很多项可以消去,进而顺利求出 知识链接: 由于数列可以看作是正整数n的函数,因此对于以递推关系式出现的问题,常常可以从递推关系式中的n=1,2,3,....入手,得到一系列的等式,通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算,使问题获解.递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识 考点3、等差与等比的类比 这种题型主要是通过等差数列与等比数列间的相互关系或相互间的数与数的特征进行命题,一般均为中档题,客观题、解答题中均可能出现. 【考例1】(·扬州二模)数列是各项为正数的等比数列,是等差数列,且,则( ) A. B. C.D.与的大小不确定. 解题思路: 本题考查了等差数列与等比数列的等差中项的性质及均值不等式的应用. 正确答案: 由已知可得,故应选B. 回顾与反思: 数列是研究数(已知的、未知的)的某种变化规律,因此灵活运用不等式、方程,将数列中已知与未知的东西沟通起来,也是解决数列问题的一种重要途径. 知识链接: 整体意识是指从问题的整体结构、整体特征出发,对问题进行整体处理的一种解题思想.对某些数列问题,如果能透过其局部从整体着手,往往能收到事半功倍之效. 【考例2】(·湖北八校一联)已知.,且对任何m.都有: ①;②,给出以下三个结论: (1) (2)(3),其中正确的个数为() A.3B.2C.1D.0 解题思路: 本题考查化归思想,解析由特殊情况化归为一般情况,找出规律进行解题.表示数列是以为首项,2为公差的等差数列;表示数列是以为首项,2为公比的等比数列,利用两个数列的通项公式可依次递推得结论. 正确答案: 由 = 又 所以只有 (1) (2)正确,故选B. 回顾与反思: 高考中许多数列问题,往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解这类问题,常常可以通过构造新数列,来实现问题的转化.强化构造意识,有助于创新能力的提高. 知识链接: 数列问题中,常常出现一些非常规的递推式,直接运用递推法往往难以求解,这时我们可以尝试将其变形、代换,转化为我们熟知的常规形式或已有的模型,从而达到解决问题的目的.强化化归意识,有助于提高解决新异问题的能力. 创新探究: 【探究1】设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q. 创新思路: 本题主要考查等比数列的基础知识、逻辑推理能力和运算能力.解法一用到等比数列求和公式,所以要考虑q是否为1,解法三利用了等比数列前n项和的性质,过程比较简捷. 解法一: 若q=1,则S3=31,S6=61,S9=9a1,但a1≠0故S3+S6≠2S9与题设矛盾, ∴q≠1. 又依题意S3+S6=2S9 可得, 由q≠0得2q6-q3-1=0 (舍), ∴ 解法二: ∵S3+S6=2S9,∴S9-S3=S6-S9, ∴ 解法三: ∵ 又S3,S6-S3,S9-S6成等比数列, ∴由消去S9得S3=2S6 ∴ 【探究2】有个正数,排成矩阵(n行n列的数表,如图): 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,且满足: , (1)求公比q; (2)用k表示; (3)求的值. 创新思路: 从2003年秋季及2004年春季高考题都推出了“数阵问题”,此后该类型的试题成为高考中数列命题的新趋向,在复习中应当引起我们的高度重视. 解析: (1)∵每一行的数列成等差数列,成等差数列, ;又每一列的数成等比数列,故, (2) (3)∵第k列的数成等比数列 记,由错位相消法,可得 方法归纳: 1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具,应有意识去应用. 2.在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题目的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 3.等比数列最值问题一般局限在数列的通项上,此时的等比数列都是单调数列,最值在首项或末项取得,因此判断单调性是解决这类问题的关键. 4.对于数列中某些探索性问题,用常规方法难以求解时,往往可以考虑从特殊情形出发,由此发现规律,猜测一般结论,再对一般结论给予逻辑证明.强化猜想意识,往往能为一般问题的解决提供方向,它是我们认识事物的重要手段。 过关必练: 一、选择题: 1.(·苏州调研)在等比数列中,已知,,,则 A.B.5C.D.4 2.(·重庆文)在等比数列中,若且,的值为 A.2B.4C.6D.8 3.(·东北四校二模)等比数列{}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则() A.B.C.D. 4.(·东城)数列是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,则有() A.B. C.D.的大小不确定 5.(·南京一模)如果成等比数列,那么关于的方程() A.一定有两个不同的实数根B.一定有两个相同的实数根 C.一定有没有实数根D.以上三种情况均可出现 二、填空题: 6.(·全国Ⅱ)在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为. 7.(·海淀区期中)等比数列中,a3=8,S5=S3+16则. 8.等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于. 9.(·黄冈3月模)已知a、b、c为等比数列,a、m、b和b、n、c是两个等差数列,则=. 10.(·黄冈3月模)已知是等比数列,且 ,则自然数n的最大值是. 三、解答题: 11.(·全国Ⅰ文)已知为等比数列,求的通项公式。 12.(·西安二模)数列{a中,a且{a是以3为公比的等比数列,记b(n∈N. (1)求a的值; (2)求证: {b}是等比数列. 13.(·全国Ⅱ)已知是各项为不同的正数的等差数列,、、成等差数列,又 (Ⅰ)证明{}为等比数列; (Ⅱ)如果数列{}前3项的和等于,求数列{}的首项和公差d. 14.(·全国Ⅲ)在等差数列中,公差的等比中项. 已知数列成等比数列,求数列的通项 过关必练参考答案: 1.D解析: 由,,,可得,又由,可知,应选D. 2.D解析: ∵为等比数列,∴,解得, 又∵∴,故应选D. 3.B解析: ∵,∴,故应选B. 4.B解析: ∵, 当且仅当时,不等式取等号,∴应选B. 5.C解析: 本题考查等比数列性质的运用,及利用判别式判断一元二次方程根的情况.成等比数列,则方程的判别式,所以方程一定没有实数根.故选C. 6.216解析: 三个数成等比,通常设为,可得插入的三个数的乘积为216. 7.40或22解析: 本题考查了等比数列的通项公式及前项和公式的灵活应用. 由,可解之得.即得或. 当时,;当时,. 8.4解析: 设a1,a3,a11组成的等比数列公比为q.∴a3=a1q=2q,a11=a1q2=2q2又∵数列{an}是等差数列∴a11=a1+5(a3-a1) ∴2q2=a1+5(2q-a1)∴2q2=2+5(2q-2),解得q=4 9.2解析: 由题意得: 则 10.4解析: 令公比为,则┄ 则, 所以有 则和大于零的最大自然数. 11.解析: 设等比数列{}的公比为q,则q≠0,a2==,a4=a3q=2q 所以+2q=,解得q1=,q2=3, 当q1=,a1=18.所以=18×()n-1==2×33-n. 当q=3时,a1=,所以=×3n-1=2×3n-3. 12.解析: (1)∵{a是公比为3的等比数列 ∴a,∴a, a (2)∵{a是公比为3的等比数列,∴a ∴a都是公比为3的等比数列. ∴a,∴
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