版高考数学理一轮复习全国经典版第8章 平面解析几何 第1讲直线的倾斜角与斜率.docx
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版高考数学理一轮复习全国经典版第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
(1)定义:
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为0°≤α<180°.
2.直线的斜率
(1)定义:
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα,倾斜角是90°的直线斜率不存在.
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.
考点2 直线方程的几种形式
[必会结论]
直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系
θ
0°
0°<θ<90°
90°
90°<θ<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
牢记口诀:
“斜率变化分两段,90°是分界线;
遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.( )
(2)斜率公式k=,不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线.( )
(3)当直线的斜率不存在时,其倾斜角存在.( )
(4)过点P(x1,y1)的直线方程一定可设为y-y1=k(x-x1).( )
(5)直线方程的截距式+=1中,a,b均应大于0.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)× (5)×
2.[课本改编]过点M(-1,m),N(m+1,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( )
A.1B.C.2D.
答案 A
解析 由=1,得m=1.故选A.
3.[课本改编]倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是( )
A.x-y+1=0B.x-y-1=0
C.x+y-1=0D.x+y+1=0
答案 D
解析 直线的斜率为k=tan135°=-1,所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0.
4.[课本改编]过两点(0,3),(2,1)的直线方程为( )
A.x-y-3=0B.x+y-3=0
C.x+y+3=0D.x-y+3=0
答案 B
解析 所求直线的斜率k==-1,又过点(0,3),所以直线方程为y-3=-x,即x+y-3=0.
5.已知直线l:
ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )
A.1B.-1
C.-2或-1D.-2或1
答案 D
解析 由题意可知a≠0.当x=0时,y=a+2;当y=0时,x=,∴=a+2,解得a=-2或a=1.
6.[2018·长春模拟]直线l:
(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________.
答案 (2,-2)
解析 直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,
由解得x=2,y=-2,
所以直线l恒过定点(2,-2).
板块二 典例探究·考向突破
考向 直线的倾斜角与斜率
例 1 直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.
答案 (-∞,-]∪[1,+∞)
解析 如图,
∵kAP==1,kBP==-,
∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞).
若将题中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
解 ∵P(-1,0),A(2,1),B(0,),∴kAP==,kBP==.
如图可知,直线l斜率的取值范围为.
若将题中条件改为“经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点”,求直线l的倾斜角α的范围.
解 如图所示,kPA==-1,kPB==1,由图可观察出:
直线l倾斜角α的范围是∪.
触类旁通
直线的斜率与倾斜角的区别与联系
【变式训练1】
(1)[2018·重庆巴蜀中学诊断]直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.B.
C.∪D.∪
答案 B
解析 依题意,直线的斜率k=-∈[-1,0),因此其倾斜角的取值范围是.
(2)若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y等于( )
A.-1B.-3C.0D.2
答案 B
解析 由k==tan=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.
考向 求直线的方程
例 2 根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
(3)与直线3x-4y-5=0关于y轴对称.
解
(1)由题设知该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α,则sinα=(0<α<π),
从而cosα=±,则k=tanα=±,
故所求直线方程为y=±(x+4),
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)由题设知截距不为0,设直线方程为+=1,又直线过点(-3,4),从而+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(3)直线3x-4y-5=0与y轴的交点为A,所求直线过A,且斜率k=-,所求直线方程为y=-x-,即3x+4y+5=0.
触类旁通
求直线方程的两种方法
(1)直接法:
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.
(2)待定系数法,即设定含有参数的直线方程,由条件列出方程(组),再求出参数,最后将其代入直线方程.
【变式训练2】 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
解
(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的方程为=,即x+2y-4=0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x,y),
则x==0,y==2.
BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为+=1,即2x-3y+6=0.
(3)由
(1)知直线BC的斜率k1=-,
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.
由
(2)知点D的坐标为(0,2).
可求出直线的点斜式方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
考向 直线方程的应用
例 3 [2018·无锡检测]已知直线l:
kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:
直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
解
(1)证明:
直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).
(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).
(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,
∴A,B(0,1+2k).
又-<0且1+2k>0,
∴k>0.故S=|OA||OB|=××(1+2k)=≥(4+4)=4,
当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
触类旁通
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题:
解决这类问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题:
一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决.
【变式训练3】 已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:
(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.
解
(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
设直线l的方程为+=1,则+=1,
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
(2)设直线l的斜率为k,则k<0,
直线l的方程为y-1=k(x-1),
则A,B(0,1-k),
所以|MA|2+|MB|2=2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4.
当且仅当k2=,即k=-1时取等号,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
核心规律
1.明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.
2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法.
满分策略
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.
2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.
3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列12——都是漏掉“过原点”情况惹的祸
[2018·济南检测]求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.
错因分析 利用截距式方程求解时,忘记过原点的情况,而漏掉直线方程3x-2y=0.
解 解法一:
(1)当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),则直线l的斜率为k==,
因此,直线l的方程为y=x,即3x-2y=0.
(2)当截距不为0时,可设直线l的方程为+=1.
∵直线l过点P(2,3),∴+=1,∴a=5,
∴直线l的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
解法二:
由题意可知所求直线斜率存在,
则可设y-3=k(x-2),且k≠0.
令x=0,得y=-2k+3.
令y=0,得x=-+2.
于是-2k+3=-+2,解得k=或-1.
则直线l的方程为y-3=(x-2)或y-3=-(x-2),
即直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
答题启示 在选用直线方程时,常易忽视的情况有:
1选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线;
2选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况;
3选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.
跟踪训练
过点(5,2),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A.2x+y-12=0
B.2x+y-12=0或2x-5y=0
C.x-2y-1=0
D.x+2y-9=0或2x-5y=0
答案 D
解析 当直线经过坐标原点时,直线方程为y=x,即2x-5y=0;当直线不经过坐标原点时,设直线方程为+=1,则+=1,解得b=,故所求的直线方程是+=1,即x+2y-9=0.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.直线x+y+1=0的倾斜角是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 由直线的方程得直线的斜率k=-,设倾斜角为α,则tanα=-,所以α=.
2.[2018·沈阳模拟]直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足( )
A.ab>0,bc<0B.
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