高考数学总复习教案85空间几何体的表面积和体积 高考.docx
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高考数学总复习教案85空间几何体的表面积和体积高考
第八章 立体几何初步第5课时 空间几何体的表面积和体积
考情分析
考点新知
了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式,会求一些简单几何体的表面积和体积,体会积分思想在计算表面积、体积中的运用.
1了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式).
②会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.
1.(必修2P69习题10改编)用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的底面面积为________.
答案:
π或π
解析:
有两种情况:
以3π为圆柱的高时,圆柱底面积为π,以π为圆柱的高时,圆柱底面积为π.
2.(原创)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.
答案:
π
解析:
几何体为圆锥,圆锥的底面半径为2,高也为2,体积V=×π×4×2=π.
3.(2013·南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为的扇形,则此圆锥的高为________cm.
答案:
2
解析:
设圆锥的底面半径为r,则2πr=×3,所以r=1,此圆锥的高为=2.
4.(必修2P55练习4改编)已知正方形ABCD的边长为2,E、F分别为BC、DC的中点,沿AE、EF、AF折成一个四面体,使B、C、D三点重合,则这个四面体的体积为________.
答案:
解析:
折成的四面体为三棱锥AECF,S△ECF=×1×1=,高为AB=2,所以这个四面体的体积为V=S△ECF·
AB=××2=.
5.(必修2P69复习题5改编)若长方体三个面的面积分别为,,,则此长方体的外接球的表面积是________.
答案:
6π
解析:
设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c,则解得长方体外接球半径为R==,外接球的表面积为S=4π=6π.
1.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧=ch,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.柱体的体积公式是V柱体=Sh.
2.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面的中心,该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是S正棱锥侧=ch′;锥体的体积为V锥体=Sh.
3.正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底之间的部分叫做正棱台,其侧面积公式是S正棱台侧=(c+c′)·h′;台体的体积公式是V台体=h(S++S′).
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环;圆柱的侧面积公式是S圆柱侧=cl=2πr,圆锥的侧面积公式为S圆锥侧=cl=πrl,圆台的侧面积公式为S圆台侧=(c+c′)l=π(r+r′)l.
5.球体的体积公式是V球=πR3,其中R为球的半径.
[备课札记]
题型1 与几何体的表面积有关的问题
例1如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6,则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点,以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________.
答案:
(18+24)π
解析:
设O为正方体外接球的球心,则O也是正方体的中心,O到平面AB1D1的距离是体对角线长的,即为.又球的半径是正方体对角线长的一半,即为3,由勾股定理可知,截面圆的半径为=2,圆锥底面面积为S1=π·
(2)2=24π,圆锥的母线即为球的半径3,圆锥的侧面积为S2=π×2×3=18π.因此圆锥的全面积为S=S2+S1=18π+24π=(18+24)π.
如图,在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.
解:
如题图,设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心到该圆面的距离为d,在三棱锥PABC中,
∵PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=PC=a,
∴AB=AC=BC=a,
且点P在△ABC内的射影是△ABC的中心O′,
由正弦定理,得=2r,∴r=a.
又根据球的截面圆性质,有OO′⊥平面ABC,
而PO′⊥平面ABC,
∴P、O、O′三点共线,球的半径R=.
又PO′===a,
∴OO′=R-a=d=,
∴=R2-,解得R=a.
∴S球=4πR2=3πa2.
题型2 与几何体体积有关的问题
例2 如图①所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图②所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连结AB,设点F是AB的中点.
(1)求证:
DE⊥平面BCD;
(2)若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.
图①
图②
(1)证明:
在题图①中,
∵AC=6,BC=3,∠ABC=90°,∴∠ACB=60°.
∵CD为∠ACB的平分线,
∴∠BCD=∠ACD=30°.∴CD=2.
∵CE=4,∠DCE=30°,∴DE=2.
则CD2+DE2=EC2.∴∠CDE=90°.DE⊥DC.
在题图②中,∵平面BCD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,DE平面ACD,∴DE⊥平面BCD.
(2)解:
在题图②中,∵EF∥平面BDG,EF
平面ABC,平面ABC∩平面BDG=BG,∴EF∥BG.
∵点E在线段AC上,CE=4,点F是AB的中点,
∴AE=EG=CG=2.
作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD,
∴BH⊥平面ACD.由条件得BH=.
S△DEG=S△ACD=×AC·CD·sin30°=.
三棱锥B-DEG的体积V=S△DEG·BH=××=.
在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为线段BC的中点,E、F为线段AC的三等分点(如图①).将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置,连结B′C(如图②).
(1)若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱锥B′-ADC的体积;
(2)记线段B′C的中点为H,平面B′ED与平面HFD的交线为l,求证:
HF∥l;
(3)求证:
AD⊥B′E.
图①
图②
(1)解:
在直角△ABC中,D为BC的中点,所以AD=BD=CD.又∠B=60°,所以△ABD是等边三角形.取AD中点O,连结B′O,所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC,平面AB′D∩平面ADC=AD,B′O平面AB′D,所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为BC的中点,所以AC=,B′O=.所以S△ADC=××1×=.所以三棱锥B′ADC的体积为V=×S△ADC×B′O
=.
(2)证明:
因为H为B′C的中点,F为CE的中点,所以HF∥B′E.又HF平面B′ED,B′E平面B′ED,所以HF∥平面B′ED.因为HF
平面HFD,平面B′ED∩平面HFD=l,所以HF∥l.
(3)证明:
连结EO,由
(1)知,B′O⊥AD.
因为AE=,AO=,∠DAC=30°,
所以EO==.
所以AO2+EO2=AE2.所以AD⊥EO.
又B′O
平面B′EO,EO
平面B′EO,B′O∩EO=O,
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E
平面B′EO,所以AD⊥B′E.
题型3 简单几何体的综合应用
例3 (2013·徐州调研)在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?
最大容积是多少?
解:
设箱底边长为x,则箱高为h=×(0 箱子的容积为V(x)=x2×sin60°×h=ax2-x3(0 由V′(x)=ax-x2=0,解得x1=0(舍),x2=a, 且当x∈时,V′(x)>0;当x∈时,V′(x)<0, 所以函数V(x)在x=a处取得极大值, 这个极大值就是函数V(x)的最大值: V=a×-×=a3. 答: 当箱子底边长为a时,箱子容积最大,最大值为a3. 四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a. (1)求该四面体的体积的最大值; (2)当四面体的体积最大时,求其表面积. 解: (1)如图,在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中点为P,BC的中点为E,连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC, ∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC=·S△BPC·AP+S△BPC·PD=·S△BPC·AD=··a·x =≤·=a3(当且仅当x=a时取等号). ∴该四面体的体积的最大值为a3. (2)由 (1)知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形,△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a,底边长为a, ∴S表=2×a2+2××a×=a2+a×=a2+=a2. 【示例】 (本题模拟高考评分标准,满分14分) 如图,底面边长为a,高为h的正三棱柱ABC-A1B1C1,其中D是AB的中点,E是BC的三等分点.求几何体BDEA1B1C1的体积. 学生错解: 解∵BD=,BE=,∠DBE=60°, ∴S△DBE=BD·BEsin∠DBE=a2,S△A1B1C1=·A1B1·B1C1sin60°=a2. 由棱台体积公式得 VBDEA1B1C1=h(S△BDE+S△A1B1C1+) =h =a2h. 审题引导: (1)弄清组合体的结构,这里几何体DBEA1B1C1不是棱台,也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台; (2)运用体积公式进行计算. 规范解答: 解: 如图,取BC中点F,连结DF、C1D、C1E、C1F,得正三棱台DBFA1B1C1及三棱锥C1DEF. ∵S△A1B1C1=a2, S△DBF=S△ABC=a2,(4分) ∴VDBFA1B1C1=h(S△DBF+S△A1B1C1+) =h(a2+a2+)=a2h.(8分) ∴VC1DEF=h··a2=a2h,(10分) ∴VBDEA1B1C1=VDBFA1B1C1VC1DEF=a2h-a2h=a2h.(14分) 错因分析: 没有弄清所给几何体的结构,几何体DBEA1B1C1不是棱台. 1.(2013·南京调研)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm. 答案: 13 解析: 根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为=13(cm). 2.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π,半径为18cm的扇形,则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________. 答案: 解析: 设母线长为l,底面半径为r,则依题意易知l=18cm,由αl=2πr,代入数据即可得π×18=2πr,解得r=12cm,因此所求角的余弦值即为==. 3.(2013·济南模拟改)如图所示,在正三棱锥S-ABC中,M、N分别是SC、BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则正三棱锥SABC外接球的表面积是________. 答案: 36π 解析: 在正三棱锥S-ABC中,易证SB⊥AC,又MN∥BS,∴MN⊥AC.∵MN⊥AM, ∴MN⊥平面ACM.∴MN⊥SC,∴∠CSB=∠CMN=90°,即侧面为直角三角形,底面边长为2.此棱锥的高为2,设外接球半径为R,则(2-R)2+=R2,∴R=3,∴外接球的表面积是36π. 4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题: 在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注: ①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 答案: 3 解析: 本题考查圆台的体积公式.做出圆台的轴截面如图,由题意知,BF=14(单位寸,下同),OC=6,OF=18,OG=9,即G是OF中点,所以GE为梯形的中位线,所以GE==10,即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(100π+36π+)=588π.盆口的面积为142π=196π,所以=3,即平地降雨量是3寸. 5.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证: CE⊥平面PAD; (2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积. (1)证明: 因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE. 因为AB⊥AD,CE∥AB, 所以CE⊥AD. 又PA∩AD=A, 所以CE⊥平面PAD. (2)解: 由 (1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1. 因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形. 所以SABCD=SABCE+S△ECD=AB·AE+CE·DE=1×2+×1×1=. 又PA⊥平面ABCD,PA=1, 所以VP-ABCD=SABCD·PA=××1=. 1.(2013·福州模拟)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为________. 答案: 解析: 三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=. 2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是________. 答案: 48 解析: 因为球的体积为π,柱体的高为2r=4,又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等,r=2,所以底面边长a=4,所以V柱=×(4)2×4=48. 3.(2013·杭州模拟)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积. 解: 由已知得CE=2,DE=2,CB=5, S表面=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,V=V圆台-V圆锥=(π·22+π·52+)×4-π×22×2=π. 4.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值? 并求出该最大值(结果精确到0.01平方米). 解: 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为=1.2-2r,∴塑料片面积S=πr2+2πr(1.2-2r)=πr2+2.4πr-4πr2=-3πr2+2.4πr=-3π(r2-0.8r)=-3π(r-0.4)2+0.48π.∴当r=0.4时,S有最大值0.48π,约为1.51平方米. 1.几何体体积的求法: (1)若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体,可直接套用公式计算求解; (2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征,弄清组合体的结构十分必要. 2.求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法: 选择恰当的棱或母线将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离. 请使用课时训练(B)第5课时(见活页). [备课札记]
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