初二年级轴对称经典习题附答案解析.docx

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初二年级轴对称经典习题附答案解析

轴对称经典练习附答案

一、选择题

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于

AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）.

A．AD=BDB．BD=CDC．∠A=∠BEDD．∠ECD=∠EDC

2．如图，△ABC中，AB=AC=12，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（）.

A．20B．12C．16D．13

3．如图：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，

），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）

A．4B．5C．6D．8

4．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（）

A．5B．6C．7D．8

5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）

A．2B．3C．4D．5

二、填空题

6．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．

7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图∶①分别以B，C为圆心，以大于

BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝．

8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有个．

9．如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝32°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为。

10．如图，点A、C、F、E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F=度。

11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是

12．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=．

13．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则△ODE的周长cm．

14．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．

15．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D、E，连接DE，则∠ADE=°．

17．如图，己知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=

．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线长为．

18．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．

19．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=度．

三、解答题

20．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5.

（1）求BC的长；

（2）求证：

BD＝CD.

24．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E．

（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是直角三角形；

（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

25．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：

DE=DF．

参考答案

1．D.

【解析】

试题分析：

∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．

故选：

D．

考点：

作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．

2．C

【解析】

试题分析：

根据AB=AC，AD平分∠BAC，则点D为BC的中点，AD⊥BC，则CD=4，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得：

DE=AE，则△CDE的周长=DE+EC+CD=AE+EC+CD=AC+CD=12+4=16.

考点：

（1）、等腰三角形的性质；

（2）、直角三角形的性质

3．C

【解析】

试题分析：

根据等腰三角形的性质可得：

点M的坐标为（0,2）；（0，-2）；（2,0）；（-2,0）；（0,2

）；（0，

）共6个点.

考点：

等腰三角形的性质

4．A

【解析】

试题分析：

根据角平分线的性质可得：

∠OBD=∠OBC，∠OCB=∠OCE，根据平行线的性质可得：

∠OBD=∠DOB，∠OCE=∠COE，则BD=DO，CE=OE，即DE=DO+OE=BD+CE=5.

考点：

等腰三角形的性质

5．C．

【解析】

试题分析：

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

6．2

或2

或2

【解析】

试题分析：

当∠APB=90°时（如图1），

∵AO=BO，

∴PO=BO，

∵∠AOC=60°，

∴∠BOP=60°，

∴△BOP为等边三角形，

∵AB=BC=4，

∴AP=ABsin60°=4×

=2

；

当∠ABP=90°时（如图2），

∵∠AOC=∠BOP=60°，

∴∠BPO=30°，

∴BP=

=2

，

在直角三角形ABP中，

AP=

=2

，

情况二：

如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO，

∵∠AOC=60°，

∴△AOP为等边三角形，

∴AP=AO=2，

故答案为：

2

或2

或2．

考点：

勾股定理．

7．15°或30°或60°或75°或150°

【解析】

试题分析：

根据点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，找出点P的位置，求得∠APC的度数即可．根据点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：

由图可得：

∠AP1C=15°，∠AP2C=30°，∠AP3C=60°，∠AP4C=75°，∠AP5C=150°．

考点：

（1）、等边三角形的性质；

（2）、等腰三角形的性质

8．105°

【解析】

试题分析：

根据AC=AD可得：

∠CDA=∠A=50°，则∠ACD=80°，根据中垂线的性质以及外角的性质可得：

∠B=∠BCD=25°，则∠ACB=80+25=105°.

考点：

等腰三角形的性质

9．5

【解析】

试题分析：

根据等腰三角形的判定定理可得：

△ADE、△BDE、△BDC、△ABD和△ABC为等腰三角形.

考点：

等腰三角形的判定

10．42°

【解析】

试题分析：

根据AB=AC，∠A=32°，则∠ABC=∠C=74°，根据中垂线的性质可得：

∠ABD=32°，则∠CBD=∠ABC－∠ABD=74°－32°=42°.

考点：

中垂线的性质

11．15°

【解析】

试题分析：

设∠F=x°，根据等腰三角形和外角的性质可得：

∠DEC=2x°，∠ACB=4x°，根据等边三角形的性质可得：

4x=60°，则x=15°，即∠F=15°.

考点：

等腰三角形的性质

12．70°或110°

【解析】

试题分析：

本题需要分两种情况来进行讨论，分别画出图形得出答案.两种情况即为锐角三角形和钝角三角形.

考点：

（1）、等腰三角形的性质；

（2）、分类讨论思想

13．5

【解析】

试题分析：

过点P作PE⊥MN，根据等腰三角形底边上的三线合一定理可得ME=

MN=1，根据∠O=60°可得∠OPE=30°，则OE=

OP=6，则OM=OE－ME=6－1=5.

考点：

勾股定理.

14．10

【解析】

试题分析：

根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答．

解：

∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，

∴∠5=∠6，∠1=∠2，

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠4=∠6，∠1=∠3．

∴∠4=∠5，∠2=∠3，

即OD=BD，OE=CE．

∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．

故答案为：

10．

【点评】此题比较简单，利用的是角平分线的定义，平行线及等腰三角形的性质．

15．

．

【解析】

试题分析：

要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．

解：

连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．

取CE中点F，连接DF．

∵等边△ABC的边长为6，AE=2，

∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，

∴CF=EF=AE=2，

又∵AD是BC边上的中线，

∴DF是△BCE的中位线，

∴BE=2DF，BE∥DF，

又∵E为AF的中点，

∴M为AD的中点，

∴ME是△ADF的中位线，

∴DF=2ME，

∴BE=2DF=4ME，

∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，

∴BE=

BM．

在直角△BDM中，BD=

BC=3，DM=

AD=

，

∴BM=

=

，

∴BE=

．

∵EM+CM=BE

∴EM+CM的最小值为

．

点评：

考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．

16．

＜x＜5．

【解析】

试题解析：

依题意得：

10-2x-x＜x＜10-2x+x，

解得

＜x＜5．

考点：

1.等腰三角形的性质；2.解一元一次不等式组；3.三角形三边关系．

17．2

【解析】

试题分析：

作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．

作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，

∴在Rt△PCE中，PE=

PC=

×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），

∴PD=PE=2，

考点：

（1）角平分线的性质；

（2）含30度角的直角三角形．

18．36

【解析】

试题分析：

连接BD，

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠C=∠ABC=72°，

∵BE=BD=BC，

∴∠BDC=72°，

∴∠DBC=36°，

∴∠EBD=36°，

∴∠EDB=72°，

∴∠ADE=180°﹣72°﹣72°=36°，

故答案为：

36

考点：

等腰三角形的性质

19．

【解析】

试题分析：

如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∵△EBD是等边三角形，

∴BE=BD，∠EBD=60°，

∴∠EBD=∠ABC，

∴∠EBF=∠DBC，

又∵EB=BD，

∴△EBF≌△DBC，

∴BF=BC，EF=CD，

∵∠FBC=60°，

∴△BFC是等边三角形，

∴CF=BF=BC，

∵BC=

AB，

∴BF=

AB，

∴AF=FB，

∴点E在AB的垂直平分线上，

∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，

∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为

．

故答案为：

．

考点：

等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

20．10．

【解析】

试题分析：

因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：

4+4+2=10，答：

它的周长是10，故答案为：

10．

考点：

等腰三角形的性质；三角形三边关系．

21．55.

【解析】

试题解析：

∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°

又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E

∴∠C=180°-（∠CFD+∠FDC）=55°

∵AB=AC

∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°

根据四边形内角和为360°可得：

∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD+∠A）=55°

∴∠EDF为55°．

考点：

1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理．

22．

（1）、10；

（2）、证明过程见解析

【解析】

试题分析：

（1）、根据等腰直角三角形的性质得出∠BAC=45°，从而得出∠CAD=30°，根据垂直得出AC=BC=10；

（2）、过D作DF⊥BC于F，然后证明Rt△DCE和Rt△DCF全等，从而得出CF=CE=5，根据BC=10得出BF=FC，从而得出答案.

试题解析：

（1）、在△ABC中，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°．

∵∠BAD＝15°，∴∠CAD＝30°．∵CE⊥AD，CE＝5，∴AC＝10．∴BC＝10．

（2）、过D作DF⊥BC于F.在△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝AC，∴∠ACD＝75°．

∵∠ACB＝90°，∴∠FCD＝15°．在△ACE中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，∴∠ACE＝60°．

∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝15°．∴∠ECD＝∠FCD.∴DF＝DE.

在Rt△DCE与Rt△DCF中，

∴Rt△DCE≌Rt△DCF.

∴CF＝CE＝5．∵BC＝10，∴BF＝FC．∵DF⊥BC，∴BD＝CD．

考点：

（1）、三角形内角和定理；

（2）、三角形全等的判定与性质

23．

（1）、证明见解析；

（2）、直角三角形、理由见解析；（3）、不能，理由见解析；（4）、α=110°或125°或140°

【解析】

试题分析：

（1）、根据△BOC≌△ADC得到OC=DC，结合∠OCD=60°，从而得出等边三角形；

（2）、根据△BOC≌△ADC，∠α=150°得到∠ADC=∠BOC=150°，根据等边三角形得到∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，从而得到三角形的形状；（3）、由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α，当△AOD为等边三角形时，则∠ADO=60°，结合∠ODC=60°得出∠ADC=120°，又根据∠AOD=∠DOC=60°得出∠AOC=120°，从而求出∠AOC+∠AOB+∠BOC≠360°，从而得到答案；（4）、根据△OCD是等边三角形得到∠COD=∠ODC=60°，根据三角形的性质得出∠ADC=∠BOC=α，∠AOD=190°－α，∠OAD=50°，然后分三种情况分别求出α的大小.

试题解析：

（1）、∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC．∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形．

（2）、△AOD是Rt△．理由如下：

∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是Rt△．

（3）、不能理由：

由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.

若△AOD为等边三角形，则∠ADO=60°，又∠ODC=60°，∴∠ADC=∠α=120°.

又∠AOD=∠DOC=60°，∴∠AOC=120°，又∵∠AOB=110°，

∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°．所以△AOD不可能为等边三角形.

（4）、∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，

∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．

①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．

②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．

③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．

综上所述：

当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

考点：

（1）、三角形全等；

（2）、分类讨论思想.

24．

（1）、直角三角形；

（2）、△ECD可以是等腰三角形，∠AED=60°或105°

【解析】

试题分析：

（1）、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，则△ACD是直角三角形；

（2）、分类讨论：

当∠CDE=∠ECD时，EC=DE；当∠ECD=∠CED时，CD=DE；当∠CED=∠CDE时，EC=CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．

试题解析：

（1）、∵△ABC中，AC=BC，∴∠A=∠B=

=

=30°，

∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=30°，又∵∠CDE=30°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，

∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴△ACD是直角三角形；

（2）、△ECD可以是等腰三角形．理由如下：

①当∠CDE=∠ECD时，EC=DE，∴∠ECD=∠CDE=30°，∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∴∠AED=60°，

②当∠ECD=∠CED时，CD=DE，∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，

∴∠CED=

=

=75°，∴∠AED=180°﹣∠CED=105°，

③当∠CED=∠CDE时，EC=CD，∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°，

∵∠ACB=120°，∴此时，点D与点B重合，不合题意．

综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°

考点：

（1）、三角形内角和定理；

（2）、分类讨论思想的运用；（3）、等腰三角形的判定与性质．

25．证明过程见解析．

【解析】

试题分析：

首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，继而可得出结论．

试题解析：

如图，连接CD．∵BC=AC，∠BCA=90°∴△ABC是等腰直角三角形∵D为AB中点

∴BD=CD=AD，CD平分∠BCA，CD⊥AB∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°∴∠A=∠FCD

∵∠CDF+∠CDE=90°∠CDE+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CFD中，

∵∠A=∠FCD，AD=CD，∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CFD（ASA）∴DE=DF．

考点：

（1）、全等三角形的判定与性质；

（2）、等腰直角三角形．

26．∠BAD=20°；∠EDC=30°

【解析】

试题分析：

根据DE⊥AC，AD=AE，∠DAE=80°得出∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°，根据等边三角形的性质得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理得出∠EDC的度数.

试题解析：

当DE⊥AC时，∵AD=AE，∠DAE=80°∴∠ADE=∠E=50°∠DAF=∠EAF=40°

∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°∴∠BAD=60°﹣40°=20°

∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC∴60°+20°=50°+∠EDC∴∠EDC=30°

考点：

三角形内角和定理